自同構(gòu)群階為16pq的有限群

陳克林，孟 偉，何宣麗

（1.云南民族大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院，云南昆明650031；2.廣西大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，廣西南寧530004）

自同構(gòu)群階為16pq的有限群

陳克林1，孟 偉1，何宣麗2

（1.云南民族大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院，云南昆明650031；2.廣西大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，廣西南寧530004）

設(shè)G是有限群，m是正整數(shù)，關(guān)于自同構(gòu)方程｜Aut（G）｜＝m的求解是一個難題.此課題的系統(tǒng)研究始于上世紀(jì)70年代末.目前已經(jīng)取得了一系列的結(jié)果.在過去研究的基礎(chǔ)上討論群方程｜Aut（G）｜＝16pq的求解問題，找出了所有滿足條件的有限冪零群.

自同構(gòu)群；循環(huán)群；冪零群；群階

通過自同構(gòu)群的階來研究有限群的階，一直是群論研究的熱點，同時也是一個難點.1979年Iyer［1］提出關(guān)于自同構(gòu)群方程的問題，即：給定一個有限群X，問是否存在有限群G使得Aut（G）＝X成立.并進(jìn)一步證明解是存在的.Machale和Flannery［2-3］給出了自同構(gòu)群的階為p，pq，p2，p3及p4情形的有限群結(jié)構(gòu).Curan［4］證明了不存在有限群G使得Aut（G）的階為pn（p是奇素數(shù)，n≥4），陳貴云［5］給出了自同構(gòu)群的階無平方因子情形的有限群結(jié)構(gòu).Flym［6］給出了自同構(gòu)群階為25的有限群結(jié)構(gòu).李世榮［7-11］給出了自同構(gòu)群的階為p2q2和p3q的有限群，并進(jìn)一步研究了自同構(gòu)群階無立方因子情形的有限群.杜妮和李世榮［12］給出了4pq情形有限群的分類.國內(nèi)其他學(xué)者給出了自同構(gòu)群的階為2pq2，4p2q，8pq，8p2q，8p2q2，16p等情形的有限冪零群的結(jié)構(gòu)［13-17］.本文作為以上問題的繼續(xù)，研究自同構(gòu)群的階為16pq.

本文考慮的皆為有限群，所用的術(shù)語和符號都是標(biāo)準(zhǔn)的.另外，文中用Zn表示n階循環(huán)群，Dn表示n階二面體群，Q8表示8階四元數(shù)群，A×B表示群A與B的直積.

1 預(yù)備引理

2 主要結(jié)果

類似上面的計算可知Pi?Z（4p＋1）或Z52（i＝1，2），進(jìn)而可知G?Z52（4p＋1），Z2·52（4p＋1）.

由7），8）知：P1?Z（4p＋1）或Z，P2?Z2p＋1或Z，P3?Z3或Z4，所以有G?Z3（4p＋1）（2p＋1），Z4（4p＋1）（2p＋1），.

由上面知Pi?Z（2p＋1）或Z（i＝1，2），P3?Z5或Z8，所以有.完成此定理的證明.

1）G?Z2×Z2×Z3×Z13；

2）G?Z2×Z2×Z32×Z5；

3）G?Z2×Z2×Z7×Z5；

4）G?D8×Z2p＋1；

5）G?Q8×Z7；

6）G?Z4×Z2×Z2p＋1.

證明 由于G是冪零群，則G可以表示為Sylow-p-子群的直積，即

進(jìn)一步有：

假設(shè)G非循環(huán)，則必存在某個Pi非循環(huán)，不失一般性，可假設(shè)P1非循環(huán).假設(shè)P1?Zp1×Zp1.此種情況下，Aut（P1）?GL（2，p1）.因此

1）如果P1?D8，則｜Aut（P1）｜＝8.由引理1知｜Aut（P2）｜＝2p，由前面計算可知P2?Z2p＋1.從而得到G?D8×Z2p＋1.

2）如果P1?Q8，則｜Aut（P1）｜＝24.由引理1知｜Aut（P2）｜＝6，所以P2?Z7.從而有G?Q8×Z7.

4）如果P1?Z4×Z2，則｜Aut（P1）｜＝8.由引理1知｜Aut（P2）｜＝2p，由前面計算可知P2?Z2p＋1.從而得到G?Z4×Z2×Z2p＋1.

完成此定理的證明.

［1］IYER H K.On solving the equation Aut（X）＝G［J］.Roky Mountain JMath，1979，9（4）：653-670.

［2］FLANNERY D，MACHALE D.Some finite groupswhich are rarely automorphism Groups-I［J］.Proc Royal Irish Acad，1981，81A（2）：209-215.

［3］MACHALE D.Some finite groups which are rarely automorphism Groups-I［J］.Proc Roral Irish Acad，1983，83A（2）：189-196.

［4］CURRAN M J.Automorphisms of certain p-groups（p odd）［J］.Bulletin of the Australian Mathematical Society，1988，38（2）：299-305.

［5］陳貴云.自同構(gòu)階為p1p2…pn或pq2的有限群［J］.西南師范大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，1990，15（1）：21-28.

［6］FLYM J，MACHAIE D.Determining all finite groups whose automorphism group is p-group［J］.Proc Royal Irish Acad，1991.91A（2）：259-264.

［8］LISR.Finite groups with automorphism group of order 8p［J］.Proc Royal Irish Acad，1994，94A（2）：193-205.

［9］LISR.Finite groups with automorphism group of order p3q（p odd）［J］.Proc Royal Irish Acad，1994，94A（2）：207-218.

［10］LISR.Automorphism groups of some finite groups［J］.Science in China，Ser A，1994，37（3）：295-303.

［11］杜妮，李世榮.具有4pq階自同構(gòu)群的有限群［J］.數(shù)學(xué)學(xué)報，2004，46（1）：181-188.

［12］ZHONG Xiang-gui，LI Shi-rong.Finite groups with automorphism group of order 2pq2（p＞q＞2）［J］.Proc Royal Irish Acad，2006，106A（2）：179-190.

［13］孟偉，婁本功，盧家寬.具有4p2q階自同構(gòu)群的有限冪零群［J］.云南大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2009，31（S2）：327-329.

［14］孟偉，李春琴.具有8pq階自同構(gòu)群的有限冪零群［J］.云南民族大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2011，20（4）：272-274.

［15］MENG Wei，LU Jia-kuan，CHEN Ke-lin.Finite nilpotent groups with automorphism group of order8p2q2［J］.South Asian Journal of Mathematics，2011，1（1）：29-33.

［16］CHEN Ke-lin.Finite nilpotent groups with automorphism group of order 8p2q［J］.South Asian Journal of Mathematics，2011，1（2）：29-33.

［17］鐘詳貴，張福生，張紅.具有16p階自同構(gòu)群的有限冪零群［J］.廣西師范大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2009，27（1）：21-24.

（責(zé)任編輯 梁志茂）

Finite groups with automorphism group of order 16pq

CHEN Ke-lin1，MENG Wei1，HE Xuan-li2
（1.School of Mathematics and Computer Science，Yunnan University of Nationalities，Kunming 650031，China；2.Department of Mathematics，Guangxi University，Nanning 530004，China）

Let G be a finite group，m a positive integer，and the solution to the equation｜Aut（G）｜＝m is a difficult task.The earliest research appeared in the late 1970s.Afterwards，there has been a series of solutions to it by mathematicians.This paper gives all solutions to the equation｜Aut（G）｜＝16pq as well as all finite nilpotent groups G.

automorphism group；cyclic group；nilpotent group；order

O152.1

：A

：1672-8513（2014）01-0044-04

2013-07-19.

國家自然科學(xué)基金（11361075，11226045）.

陳克林（1957-），男（白族），學(xué)士，教授.主要研究方向：基礎(chǔ)數(shù)學(xué).

孟偉（1981-），男，碩士，副教授.主要研究方向：有限群.