基于組合混沌和位運算的圖像加密算法

浩 明

（西安郵電大學(xué) 通信與信息工程學(xué)院，陜西 西安710121）

引言

隨著網(wǎng)絡(luò)和多媒體技術(shù)的發(fā)展和普及，圖像等多媒體數(shù)據(jù)的安全問題日益引起人們的關(guān)注。由于數(shù)字圖像具有冗余度高、數(shù)據(jù)量大、數(shù)據(jù)相關(guān)性強等特點，采用傳統(tǒng)的加密方式進行加密將導(dǎo)致加密速度慢、實時性差等缺點。如何結(jié)合數(shù)字圖像的特點設(shè)計有效的數(shù)字圖像加密算法成為信息安全領(lǐng)域的一個研究熱點?；煦缦到y(tǒng)具有初值敏感性、非周期性、非收斂性、偽隨機性等良好的密碼學(xué)特性，是非線性確定系統(tǒng)。由于內(nèi)在隨機性而產(chǎn)生的外在復(fù)雜表現(xiàn)，是一種貌似隨機的非隨機現(xiàn)象。混沌系統(tǒng)的這些特點使其被廣泛應(yīng)用于數(shù)據(jù)加密技術(shù)［1－7］。當前，基于混沌的數(shù)字圖像加密方式主要包括基于置亂的加密技術(shù)、基于灰度替換的加密技術(shù)和基于混合迭代結(jié)構(gòu)的圖像加密技術(shù)［8－11］。其中基于像素位置置亂的加密算法雖然可以達到對圖像加密的目的，但其安全性較差，無法滿足實際需求。由于僅通過像素位置置亂加密圖像的加密方式存在可恢復(fù)周期等安全隱患，研究者進一步提出了將像素位置置亂和灰度替代相結(jié)合的加密方式，這種混合迭代結(jié)構(gòu)的加密方式可以有效提高算法的保密性。本文研究了基于混沌和位運算的圖像加密算法［12－18］，在此基礎(chǔ)上，給出了一種改進的基于組合混沌和位運算的圖像加密算法，該方法首先對灰度圖像進行位平面分解，通過對高四位分別進行置亂變換，再與低四位整體進行置亂變換，然后組合置亂后的位平面，并與二值矩陣進行異或運算得到密文圖像。由于在加密過程中結(jié)合具有可控放大因子的像素灰度替代加密，能夠取得更好的加密效果和安全性。

1 Logistic映射及其特性

1.1 混沌映射

Logistic映射是一種典型的一維混沌系統(tǒng)，其公式定義為

式中：μ為分支參數(shù)，0≤μ≤4；k為迭代次數(shù)，Xk∈（0，1）。當3.569…≤μ≤4時，Logistic映射處于混沌狀態(tài)，此時對給定的不同初始條件x0和y0，得到的序列｛xk｝∞k＝0和｛yk｝∞k＝0表現(xiàn)出非周期、非收斂、偽隨機等混沌性質(zhì)。

1.2 基于混沌排序的圖像加密算法

設(shè)任意明文圖像P的大小為M×N，混沌映射的初始條件為μ，x0取正整數(shù)t，由（1）式生成混沌序列｛xk｝k∞＝0，從其中第t＋1項開始，取其中T項，對取得的序列｛Xt＋1，Xt＋2，…，Xt＋T｝進行排序得到序列｛Xt＋1，Xt＋2，…，Xt＋T｝，計算序列｛Xt＋1，Xt＋2，…，Xt＋T｝在原序列｛Xt＋1，Xt＋2，…，Xt＋T｝中的位置信息，得到對應(yīng)圖像行坐標置亂操作的置亂向量TM＝｛h1，h2，…，hT｝，實現(xiàn)圖像的行置亂。同理可以得到對圖像進行列坐標置亂的置亂向量TN，實現(xiàn)對圖像的列置亂。通過以上兩個過程，實現(xiàn)對圖像的位置置亂加密。圖1給出了以上方法進行圖像加密后的實驗結(jié)果。

圖1的實驗結(jié)果表明，利用像素級別的圖像置亂加密算法，原始圖像和密文圖像的灰度直方圖沒有發(fā)生改變，說明基于位置置亂的圖像加密方式不改變圖像的灰度統(tǒng)計信息［19－21］，這種特點將使得加密結(jié)果不能有效抵抗統(tǒng)計分析攻擊。因此，接下來我們給出一種改進的基于混沌和位運算圖像加密算法。

圖1 加密效果Fig.1 Effectiveness of encryption

2 算法原理

2.1 基于混沌和位運算圖像加密算法

基于混沌和位運算圖像加密算法，首先將每個像素分解為bit位，p（i，j）表示原始圖像的第i行、第j列的像素值，pt（i，j）表示（i，j）位置像素p（i，j）分解的第t位（t＝0，…，7）。由（2）式將一幅灰度圖像轉(zhuǎn)換為由0和1組成的二值矩陣：

（3）式可將二值圖像恢復(fù)成灰度圖像：

以大小為M ×N 灰度圖像為例，由（2）式可轉(zhuǎn)化成大小為M×8 N的二值圖像。

該加密過程如下：

Step1：首先讀取一幅大小為M×N的灰度圖像A。

Step2：由（2）式將圖像A轉(zhuǎn)換為M×8 N的二值圖像，記為B。

Step3：由（1）式產(chǎn)生混沌序列，按照1.2節(jié)的方法，構(gòu)造行、列置亂向量，置亂圖像B，得圖像C。

Step4：用（3）式對圖像C進行變換，得大小為M×N的密文圖像D。

Step5：加密過程結(jié)束。

圖2給出了應(yīng)用以上方法進行圖像置亂加密的仿真結(jié)果。

圖2 圖像置亂加密結(jié)果Fig.2 Results of image permutation encryption

圖2 的結(jié)果表明，基于Logistic和位運算圖像加密算法所得密文圖像的灰度直方圖均勻性較差，加密效果較差，無法保證圖像的安全性。因此，本文對該方法進行了改進，采用基于組合混沌和位運算的圖像加密算法，取得了良好的加密效果。

2.2 改進算法及其分析

一幅數(shù)字圖像總可以分解成多個位平面，每個位平面含有不同的圖像信息。高位和低位分別代表了數(shù)字圖像的輪廓和細節(jié)，處理不同的位平面相當于對圖像不同位置信息進行處理。

一幅m比特灰度級灰度圖像，各點像素的灰度值可由下面多項式表示：

式中：ai表示第i位的取值，ai∈｛0，1｝；2i表示第i位的權(quán)重，i＝0，1，…，m－1。

對于灰度圖像，相同的二進制bit位構(gòu)成該圖像的一個位平面，也就是說同一個bit位的系數(shù)集合就是一個二值圖像，稱作一個位平面。位平面從0開始到m－1共可構(gòu)成m個位平面，也可將這m個圖像組合恢復(fù)出原始圖像。一個灰度級為256的灰度圖像H（x，y），其各像素點的灰度值表示為

以大小512像素×512像素，256個灰度級的“Lena”圖為例。根據(jù)像素每位的位置進行分解，圖3是分解后的8個二值圖像，Pici代表所有像素第i位所組成的二值圖像。像素中，每位所包含圖像信息量的大小取決于其所在像素的位置，例如，一個像素的第8位的“1”代表128（27），而第1位的“1”代表1（20）。（6）式表示第i位所提供像素p（i）所含圖像信息百分比。表1列出不同位平面包含圖像信息百分比，盡管p（i）不能完全反應(yīng)人類肉眼感知的精確百分比信息，但明顯看到高位較低位攜帶更大圖像信息，其中i∈［0，7］，p（i）計算式為

表1的統(tǒng)計結(jié)果表明，灰度圖像像素的高四位（第8、7、6、5位）包含了整幅圖像信息的94.125%，然而低四位（第4、3、2、1位）僅含不到6%的圖像信息。因此，將位平面分為兩類，對高四位（Pic8，Pic7，Pic6，Pic5）分別進行置亂，低四位作為整體進行置亂，可以減少加密的執(zhí)行時間。

表1 不同位像素信息百分比Table 1 Percents of different bit pixel information

改進算法的原理為對每個位平面進行置亂再組合，其像素位置和像素值被同時改變。因此，同時取得了置亂和擴散的雙重效果，增強了圖像安全性。此外，各個位平面的錯誤比特分散相互獨立，增強其抗攻擊能力。將混沌序列應(yīng)用到該加密算法，產(chǎn)生置亂序列進行圖像加密，混沌序列的初始值和參數(shù)可以作為密鑰。本文加密算法基本思想是：首先對灰度圖像進行位平面分解，考慮到圖像的高四位含有較大的信息量，因此高四位分別進行置亂，低四位構(gòu)成一個整體進行置亂，然后組合置亂后的位平面，最后與另一個等大的二值矩陣異或得到密文圖像，算法原理如圖4，其中位平面的分解和組合公式參考（2）式和（3）式。

圖4 基于組合混沌的位運算圖像加密算法Fig.4 Bit operation encryption algorithm based on combined chaos

加密算法流程如下：

Step1：首先讀取一幅大小為M×N的灰度圖像A。

Step2：對圖像A進行位平面分解，獲取5個位平面Pic8～Pic4。

Step3：設(shè)定初值S10，S20及參數(shù)μ，應(yīng)用（1）式生成兩組初始混沌序列S1（m）、S2（m），m＝1，2，…，5。

Step4：由step3產(chǎn)生的兩組數(shù)作初值，再由（1）式生成5組用于行和列置亂混沌序列sx（i），i＝1，2，…，M 和sy（j），j＝1，2，…，N，其中，M、N分別表示圖像的長和寬；

Step5：用step4生成的混沌序列分別對各個位平面進行置亂操作，再組合成M×8 N的二值矩陣B；

Step6：設(shè)定初值p、q、x0、y0，由一般的 Henon映射［22］模型

，生成混沌序列構(gòu)造與B大小相同的二值矩陣C，與B進行異或運算得到圖像D。

Step7：將M×8 N的二值矩陣圖像D，恢復(fù)成M×N的密文圖像E。

Step8：加密過程結(jié)束。

解密過程與加密過程類似，所需的混沌序列與加密完全相同，對密文圖像實施相反的操作，可恢復(fù)原始圖像。圖5為相應(yīng)的解密流程圖。

圖5 基于組合混沌的位運算圖像解密流程圖Fig.5 Flow chart of bit operation decryption algorithm based on combined chaos

圖6 給出了應(yīng)用以上圖像加密算法的實驗結(jié)果，圖6（b）混沌序列初始條件和參數(shù)S10、S20、μ、p、q、x0、y0分 別 為 0.875 6、0.363 5、3.8、1.4、0.3、0.355 4、0.373 5。實驗結(jié)果表明，明文圖像變得面目無存，因此該算法的加密效果良好，保密性高。

圖6 置亂加密圖比較Fig.6 Comparison of permutation encryption

3 算法分析

3.1 密鑰空間分析

本文加密算法在不同階段分別選取不同的初始條件和參數(shù)S10、S20、μ、p、q、x0、y0產(chǎn)生混沌序列，根據(jù)IEEE浮點標準［23］可得本節(jié)加密算法的密鑰為K≈248×248×248×248／2≈2192，因此該加密算法具有巨大的密鑰空間，可以有效地抵密鑰的窮舉攻擊，安全性較強。

3.2 密鑰敏感性測試

圖7（a）和（b）分別是對圖6（a）和（c）在μ、p、q、x0、y0不變，S10和S20變換一位的結(jié)果（例如：圖7（b），S10＝0.875 7，S20＝0.363 4）。實驗結(jié)果表明，即使密鑰相差10－4，仍解密不出任何原始圖像信息，解密圖像變得雜亂無章，因此該算法具有良好的抗破解性能，算法保密安全性較好。

圖7 密鑰敏感性測試Fig.7 Sensitivity testing of key

3.3 直方圖測試

以圖6為例，圖8分別給出原始圖像直方圖和密文圖像直方圖對比結(jié)果。

圖8（b）和（d）表明，原始圖像經(jīng)過2.2節(jié)的加密算法加密后，密文圖像灰度直方圖均勻分布開來，明文圖像較高的相關(guān)性被擴散到整個密文，每個灰度級的像素非常均勻地分部開，原始圖像的統(tǒng)計特性完全被打破，因此該算法具有優(yōu)良的抗統(tǒng)計分析性能。

圖8 直方圖測試Fig.8 Histogram testing

3.4 抗攻擊性測試

圖9 （a）和（b）分別是對密文疊加強度為0.001的高斯噪聲與0.25的椒鹽噪聲后，通過正確解密流程所得的解密圖像。很顯然，圖像的恢復(fù)質(zhì)量受到噪聲影響，但是圖像的基本內(nèi)容仍清晰可見。

圖9實驗結(jié)果表明，在密文圖像受到破壞后，仍能較好地解密恢復(fù)出原始圖像，因此，本算法具有較好抗破壞性。

圖9 抗攻擊性測試Fig.9 Anti-attack testing

3.5 算法速度測試

由于本文僅對明文分解含有信息量較大的高四bit位平面進行加密，算法執(zhí)行效率高。表2中給出了本文算法，及像素位置置換算法（PLP）和二維數(shù)據(jù)加密算法（增強型TDCEA）速度的比較。

表2 幾種加密方法效率比較Table 2 Efficiency comparsion of some encryptionmethods

表2的實驗結(jié)果表明本文算法對于不同大小的數(shù)字圖像，加密速度顯著高于其他算法，更適合于實時圖像加密傳輸。

4 結(jié)論

本文提出了基于組合混沌和位平面的圖像加密算法，改進算法結(jié)合具有可控放大因子的像素灰度替代加密，能夠取得更好的加密效果和安全性。理論分析和仿真結(jié)果表明，該算法能實現(xiàn)強大的密鑰空間與良好的灰度直方圖，具有抗攻擊能力高、速度快等優(yōu)點。

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