一個易錯的簡易邏輯問題引發(fā)的思考

何承全

摘 要：中學(xué)課本中經(jīng)常出現(xiàn)蘊涵形式（p→q）的復(fù)合命題，當(dāng)一個蘊涵形式（p→q）的復(fù)合命題中p是q的充分不必要條件時，書寫其否定形式時容易犯一種常見的錯誤，如“q：x=y”，其否定不能簡單地寫成“？劭q：x≠y”，而應(yīng)該寫成“x不一定等于y”. 本文針對此問題做了一些探討.

關(guān)鍵詞：命題；命題的否定；一定等于；不一定等于

■問題的提出？搖

在講命題的否定時，有這樣的一個結(jié)論：如果一個命題是正確的，那么這個命題的否定一定是錯的；相反，如果一個命題是錯誤的，那么這個命題的否定一定是正確的. 例如，命題1：如果兩直線平行，則同位角相等（此命題正確），其否定形式為：如果兩直線平行，則同位角不相等（此命題不正確）. 命題2：若m>■，方程x2+x+m=0有解（此命題不正確），其否定形式為：若m>■，方程x2+x+m=0無解（此命題正確）.

對照以上的結(jié)論，筆者讓學(xué)生做如下的問題：寫出命題“若a2=b2，則a=b”的否定形式并判定兩個命題的真假.

學(xué)生答案一致如下：其否定形式為：若a2=b2，則a≠b. 兩個命題都是假命題.

問題出在哪？筆者無法向?qū)W生解釋前面的結(jié)論，甚至自己也開始懷疑結(jié)論“如果一個命題是正確的，那么這個命題的否定一定是錯的；相反，如果一個命題是錯誤的，那么這個命題的否定一定是正確的”的正確性.

■思考

命題是能夠判定真假的陳述句，命題有簡單命題和復(fù)合命題之分，簡單命題可由五種邏輯聯(lián)結(jié)詞連結(jié)構(gòu)成復(fù)合命題，它們分別是：否定詞“非”，合取詞“且”，析取詞“或”，蘊涵詞“如果……，那么……”，等值詞“當(dāng)且僅當(dāng)”.

命題“若a2=b2，則a=b”是一種由蘊涵詞“如果……，那么……”連結(jié)兩個簡單命題而成的復(fù)合命題，其邏輯格式為“如果p，那么q”，其真值情況取決于p，q的真值性，具體見下表（T表示正確，F(xiàn)表示錯誤）：

■

下面為了說明的方便，我們把命題“若a2=b2，則a=b”記為命題A，把其否定形式“若a2=b2，則a≠b”記為命題B.

①若a，b同號或同為零，a，b無論怎樣取值，由上表可知，命題A正解，命題B不正確.

②若a，b異號，a，b無論怎樣取值，由上表可知，命題A不正確，命題B正確.

由此仍然說明結(jié)論“如果一個命題是正確的，那么這個命題的否定一定是錯的；相反，如果一個命題是錯誤的，那么這個命題的否定一定是正確的”的正確性.

■回歸中學(xué)課本

作為邏輯意義上的命題“若a2=b2，則a=b”，其正確性是可以變化的，但中學(xué)課本中的形如“若a2=b2，則a=b”的命題，其“a=b”是指只要條件具備，a就一定等于b，它的否定應(yīng)該是“若a2=b2，則a不一定等于b”. 類似與這樣的問題在中學(xué)課本中還有很多，又例如：“若x滿足x2-2x-3=0，則x=3”等等，這類問題“結(jié)論”是“題設(shè)”的充分不必要條件，命題的否定形式并不是把“=”改為“≠”那么簡單，而是把“等于”改為“不一定等于”.