淺談構(gòu)造函數(shù)法在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

黃紫敬

摘 要：構(gòu)造函數(shù)法是指運(yùn)用函數(shù)概念和性質(zhì)，構(gòu)造輔助函數(shù)解題的一種方法，它極具技巧性和創(chuàng)造性。利用構(gòu)造函數(shù)法解題的關(guān)鍵在于找到能反映題目特征的函數(shù)，再利用函數(shù)的性質(zhì)求解問(wèn)題。巧用構(gòu)造法解題能打破常規(guī)，找到解決問(wèn)題的捷徑。本文通過(guò)例題說(shuō)明構(gòu)造函數(shù)法在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：構(gòu)造函數(shù)；高中數(shù)學(xué)；解題

函數(shù)思想是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一個(gè)核心思想。構(gòu)造函數(shù)法便是利用了函數(shù)思想，將原來(lái)的數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為容易解決的函數(shù)問(wèn)題。一些看似非常復(fù)雜的題目，如果能用函數(shù)的觀點(diǎn)加以分析，?？墒箚?wèn)題變得簡(jiǎn)單明了，從而易于解決問(wèn)題。根據(jù)題意，構(gòu)造函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中一種常用的方法，它可以用來(lái)證明不等式、解不等式以及解方程等。

一、利用構(gòu)造函數(shù)法證明不等式

不等式的證明對(duì)很多學(xué)生來(lái)說(shuō)是難點(diǎn)。證明不等式除了可以用常見(jiàn)的比較法、反證法、分析法外，還可以用構(gòu)造函數(shù)法。利用構(gòu)造函數(shù)法證明不等式，關(guān)鍵在于找到一個(gè)能反映不等式特征的函數(shù)。

例1.求證■≤■+■

分析：仔細(xì)觀察題目可以發(fā)現(xiàn)，題目中三個(gè)分式形狀相似，由此可以聯(lián)想到構(gòu)造函數(shù)f（x）=■，再利用函數(shù)的單調(diào)性去證明不等式。

證明：構(gòu)造函數(shù)f（x）=■，由于f（x）在（-∞，1），（-1，+∞）上均遞增，再由不等式性質(zhì)|a+b|≤|a|+|b|可得：

■≤■=■+■≤■+■

二、利用構(gòu)造函數(shù)法解不等式

不等式的求解是高中數(shù)學(xué)中一種比較常見(jiàn)的題型。對(duì)于一些形式特殊的不等式，如果我們能針對(duì)其結(jié)構(gòu)特點(diǎn)巧妙構(gòu)造函數(shù)，往往會(huì)取得事半功倍的效果。

例2.求不等式x6-（x+2）>（x+2）3-x2的解集。

分析：這是一道解高次不等式的問(wèn)題，根據(jù)題目的結(jié)構(gòu)特征，可以聯(lián)想到構(gòu)造函數(shù)解不等式。

解析：原不等式可化為x6+x2>（x+2）3+（x+2），設(shè)f（x）=x3+x則f（x）在R上單調(diào)遞增，所以原不等式等價(jià)于f（x2）>f（x+2），即x2>x+2，解得：x<-1或x>2。

三、利用構(gòu)造函數(shù)法解方程

在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，有時(shí)會(huì)遇到一些結(jié)構(gòu)比較特殊的方程。當(dāng)用常規(guī)方法無(wú)法解決這一類(lèi)方程時(shí)，巧妙運(yùn)用構(gòu)造函數(shù)法，題目往往就能迎刃而解。

例3.解方程3x+4x+5x=6x。

分析：此題比較特殊，既合并不了，又分解不了。根據(jù)方程與函數(shù)的關(guān)系，可聯(lián)想到通過(guò)構(gòu)造函數(shù)方法來(lái)研究方程的解。

解析：原方程可以變形為：（■）x+（■）x+（■）x-1=0

設(shè)f（x）=（■）x+（■）x+（■）x-1，觀察并計(jì)算知：

f（1）=1，f（2）<1，f（3）=0

所以x=3是原方程的一個(gè)根。

因?yàn)椋ā觯﹛，（■）x，（■）x均為R上的嚴(yán)格減函數(shù)，故f（x）是R上的嚴(yán)格減函數(shù)。

當(dāng)x>3時(shí)，f（x）f（3）=0。

所以原方程有且僅有一個(gè)解，x=3。

通過(guò)以上例題可以看出，在解題時(shí)，構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)妮o助函數(shù)幫助探求解題思路，往往可以帶來(lái)很大的方便。構(gòu)造函數(shù)法是一種極具技巧性和創(chuàng)造性的解題方法，它不僅可以用來(lái)培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性，還可以讓學(xué)生感受到解題的樂(lè)趣。此外，構(gòu)造函數(shù)法還滲透了化歸、猜想等數(shù)學(xué)方法，對(duì)提高學(xué)生的解題能力具有非常大的幫助。

參考文獻(xiàn)：

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