“動(dòng)圓問(wèn)題”探討

張金蘭

關(guān)于“動(dòng)圓問(wèn)題”向來(lái)備受各類數(shù)學(xué)競(jìng)賽的青睞。筆者對(duì)此問(wèn)題亦頗感興趣，特對(duì)其探討了一番。本文試圖給出能被中小學(xué)生理解的較為簡(jiǎn)潔的解法及個(gè)人教學(xué)建議。

問(wèn)題：O1（r1）和O2（r2）外切于點(diǎn)A。固定O2（r2），讓O1緊貼O2作不滑動(dòng)的旋轉(zhuǎn)滾動(dòng)。當(dāng)O1回到原來(lái)的位置時(shí)，O1旋轉(zhuǎn)了幾圈（如圖1）？改“外切”為“內(nèi)切”呢？

下面的探討以外切為例。

一、以半徑所在的向量為參照

先考慮半徑比為整數(shù)比的情況，假設(shè)r1：r2=1：3。將O2的圓周展成一條線段BC，O1沿線段BC從點(diǎn)B開(kāi)始（如圖2）作無(wú)滑動(dòng)的旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)C（如圖3）。易知，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)了3圈。將O1與點(diǎn)C“粘合”在一起，再把線段BC還原成圓周（如圖4），這時(shí)又順時(shí)針旋轉(zhuǎn)了1圈。所以共旋轉(zhuǎn)3+1=4圈，即O1旋轉(zhuǎn)了4圈。

圖2 圖3

內(nèi)切的情況與外切相似，但將O1與點(diǎn)C“粘合”在一起再把線段BC還原成圓周時(shí)，是逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)了1圈。所以共旋轉(zhuǎn)了3-1=2圈，即O1旋轉(zhuǎn)了2圈。

所以，當(dāng)O1與O2的半徑比r1：r2是（任意正數(shù)比）時(shí)，外切的情況：O1旋轉(zhuǎn)了+1圈；內(nèi)切的情況（r2>r1）：旋轉(zhuǎn)了-1圈。

二、以圓心O1的軌跡為參照

由于在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中所經(jīng)過(guò)的軌跡及方向不容易把握，比較抽象，影響學(xué)生進(jìn)行思維。筆者以為，從考察點(diǎn)O1的軌跡來(lái)思考這個(gè)問(wèn)題，可達(dá)到“以靜制動(dòng)”的效果。

一個(gè)圓在一條直線或曲線上作無(wú)滑動(dòng)的旋轉(zhuǎn)，自轉(zhuǎn)n°圓心角所對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)就是圓心所經(jīng)過(guò)的軌跡長(zhǎng)。因此圓心經(jīng)過(guò)的軌跡長(zhǎng)與這個(gè)圓的周長(zhǎng)比恰是圓旋轉(zhuǎn)的圈數(shù)。

如圖5，若O1與O2的半徑比是r1：r2是（任意正數(shù)比），當(dāng)O1緊貼O2作不滑動(dòng)的旋轉(zhuǎn)回到原來(lái)的位置時(shí)，點(diǎn)O1所經(jīng)過(guò)的軌跡是以（r1+r2）為半徑的圓周，周長(zhǎng)是O1周長(zhǎng)的倍，所以O(shè)1旋轉(zhuǎn)了+1圈。

內(nèi)切時(shí)（r2>r1），點(diǎn)O1所經(jīng)過(guò)的軌跡是以（r2-r1）為半徑的圓周，周長(zhǎng)是O1周長(zhǎng)的倍，所以O(shè)1旋轉(zhuǎn)了圈。

三、信息技術(shù)支持下的教學(xué)

筆者在翻閱資料時(shí)，發(fā)現(xiàn)兩圓外切且r1：r2=1：3情況的題目在美國(guó)ETS的一次考試中出現(xiàn)過(guò)。更為有趣的是，當(dāng)時(shí)考試中心制定的標(biāo)準(zhǔn)答案是“3圈”！由此可見(jiàn)，這個(gè)連專家都會(huì)不小心犯錯(cuò)的問(wèn)題比較抽象、難理解，學(xué)生需要具備較強(qiáng)的空間想象能力和推理能力方能吃透此題。

筆者以為，從教學(xué)的角度來(lái)看，教師可以使用信息技術(shù)來(lái)輔助教學(xué)，降低問(wèn)題的抽象性，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)它的直觀感受。

用《幾何畫(huà)板》軟件作出兩個(gè)外切的O1、O2，切點(diǎn)為A，畫(huà)出半徑O1A（圖1）；使用軟件的動(dòng)畫(huà)功能讓O1緊貼O2作不滑動(dòng)的旋轉(zhuǎn)回到原來(lái)的位置，同時(shí)追蹤切點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)的軌跡。觀察在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中與初始位置共向的次數(shù)（圖6-1至圖6-4），也即是O1旋轉(zhuǎn)了4圈。點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)的軌跡是3個(gè)花瓣形曲線，長(zhǎng)為O1周長(zhǎng)的3倍。

圖6-1 圖6-2

圖6-3 圖6-4

通過(guò)特殊情況的動(dòng)畫(huà)演示，學(xué)生在腦海中對(duì)“動(dòng)圓問(wèn)題”形成一種直觀上的認(rèn)識(shí)，對(duì)其有個(gè)初步的了解，有助于學(xué)生理解題目和形成解題策略。