基于約束總體最小二乘方法的到達(dá)時(shí)差到達(dá)頻差無(wú)源定位算法

曲付勇 孟祥偉

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基于約束總體最小二乘方法的到達(dá)時(shí)差到達(dá)頻差無(wú)源定位算法

曲付勇 孟祥偉*

(海軍航空工程學(xué)院電子信息工程系 煙臺(tái) 264001)

兩步加權(quán)最小二乘方法(two-stage WLS)是求解TDOA/FDOA無(wú)源定位問(wèn)題的經(jīng)典線性方法，但也存在著定位偏差和均方誤差對(duì)測(cè)量噪聲的適應(yīng)能力較差的缺點(diǎn)。該文根據(jù)TDOA/FDOA的偽線性定位方程組特點(diǎn)，將其建立為一種帶約束條件的約束總體最小二乘(CTLS)模型，并采用拉格朗日乘子法求解帶約束條件的CTLS問(wèn)題，建立了幾種最小二乘類(lèi)定位方法的統(tǒng)一解，從而將約束加權(quán)最小二乘(CWLS)定位解和約束最小二乘(CLS)定位解變?yōu)樵撐腃TLS定位解的特例。仿真表明，該文方法比兩步加權(quán)最小二乘方法具有更低的均方誤差，并能夠有效減小定位偏差，因而具有更好的測(cè)量噪聲適應(yīng)能力。

無(wú)源定位；到達(dá)時(shí)差；到達(dá)頻差；最小二乘；偏差；均方誤差

1 引言

2 時(shí)差頻差定位方程的描述

將式(1)兩邊求導(dǎo)，得到距離差變化率的公式為

這里采用和文獻(xiàn)[7]中一致的表達(dá)式。

3 帶約束條件的CTLS定位求解

利用Lagrange乘子法，將式(9)轉(zhuǎn)化為對(duì)式(10)的最小化：

整理式(14)可得

本文基于CTLS的定位算法計(jì)算過(guò)程如下：

4 討論

(1)本文定位解與two-stage WLS的關(guān)系。two- stage WLS中給出的偽線性方程組[2]是

(3)文獻(xiàn)[7]中CTLS定位解是通過(guò)極小化

5 仿真分析

圖1給出了CTLS, CWLS與two-stage WLS 3種定位算法對(duì)近場(chǎng)源的定位位置偏差和速度偏差隨接收站位置誤差變化的性能曲線。由圖1可以看出，CTLS方法的位置偏差和速度偏差相比two-stage WLS和CWLS都得到了顯著的降低，表明CTLS方法能夠有效減弱偏差的影響。

圖2給出了3種定位算法對(duì)近場(chǎng)源的定位位置均方誤差和速度均方誤差隨接收站位置誤差變化的性能曲線。圖2中，CTLS方法的位置均方誤差的“門(mén)限效應(yīng)”相比two-stage WLS有了明顯的改善。當(dāng)接收站位置誤差分別大于7.5 dB, 12.5 dB時(shí)，two- stage WLS和CWLS的定位位置均方誤差開(kāi)始偏離CRLB，性能曲線開(kāi)始發(fā)散，而CTLS方法直到大于15 dB時(shí)其位置均方誤差才大于CRLB，并且隨著接收站位置誤差的增大，CTLS方法的位置均方誤差要低于CWLS與two-stage WLS定位位置均方誤差。從圖2可以看出，相比位置均方誤差，速度均方誤差對(duì)時(shí)頻差測(cè)量誤差的變化更為敏感。當(dāng)接收站位置誤差分別大于5 dB, 7.5 dB時(shí)，two-stage WLS和CWLS的定位位置均方誤差開(kāi)始偏離CRLB，而CTLS方法大于10 dB時(shí)其位置均方誤差才大于CRLB，并且隨著接收站位置誤差的增大，CTLS方法的速度均方誤差要低于CWLS與two-stage WLS定位位置均方誤差。

圖3給出了3種定位算法對(duì)遠(yuǎn)場(chǎng)輻射源的位置偏差和速度偏差隨接收站位置誤差變化的性能曲線。顯然，隨著位置誤差的增大，3種方法的偏差不斷增大，這表明3種方法只能隨接收站位置誤差的減小獲得漸進(jìn)無(wú)偏的性能。由圖3可以看出，CTLS定位方法的位置偏差和速度偏差要低于CWLS和two-stage WLS的位置偏差和速度偏差。

圖1 3種算法得到的近場(chǎng)輻射源位置和速度偏差隨接收機(jī)位置誤差的變化曲線

圖2 3種算法得到的近場(chǎng)輻射源位置和速度均方誤差隨接收機(jī)位置誤差的變化曲線

圖3 3種算法得到的遠(yuǎn)場(chǎng)輻射源位置和速度偏差隨接收機(jī)位置誤差的變化曲線

圖4給出了3種定位算法對(duì)遠(yuǎn)場(chǎng)輻射源的位置均方誤差和速度均方誤差隨接收站位置誤差變化的性能曲線，以及位置和速度的CRLB。從圖4可以看出，當(dāng)接收站位置誤差分別大于-7.5 dB, -2.5 dB時(shí)，two-stage WLS和CWLS的定位位置均方誤差開(kāi)始偏離CRLB，性能曲線開(kāi)始發(fā)散，而CTLS方法直到大于0 dB時(shí)其位置均方誤差才大于CRLB，并且隨著接收站位置誤差的增大，CTLS方法的位置均方誤差要低于CWLS與two-stage WLS定位位置均方誤差。相比位置均方誤差，速度均方誤差對(duì)時(shí)頻差測(cè)量誤差的變化更為敏感。當(dāng)接收站位置誤差分別大于-20 dB, -12.5 dB時(shí)，two-stage WLS和CWLS的定位速度均方誤差開(kāi)始偏離CRLB，而CTLS方法直到大于-10 dB時(shí)其速度均方誤差才大于CRLB，并且隨著接收站位置誤差的增大，CTLS方法的速度均方誤差要低于CWLS與two-stage WLS定位速度均方誤差。

仿真2 考察遠(yuǎn)場(chǎng)源中3種算法定位偏差和均方誤差隨時(shí)頻差測(cè)量誤差變化的性能。

圖6給出了3種定位算法的定位位置和速度均方誤差隨時(shí)頻差測(cè)量誤差的變化曲線，以及位置和速度的CRLB。從圖6可以看出，當(dāng)測(cè)量誤差分別大于7.5 dB, 12.5 dB時(shí)，two-stage WLS和CWLS的定位位置均方誤差開(kāi)始偏離CRLB，而CTLS方法直到大于15 dB時(shí)其位置均方誤差才大于CRLB。相比位置均方誤差，速度均方誤差對(duì)時(shí)頻差測(cè)量誤差的變化更為敏感。當(dāng)測(cè)量誤差分別大于-2.5 dB, 5 dB時(shí)，two-stageWLS和CWLS的定位位置均方誤差開(kāi)始偏離CRLB，而CTLS方法直到大于7.5 dB時(shí)，其位置均方誤差才大于CRLB。

綜合分析3種方法的定位偏差和均方誤差，當(dāng)均方誤差開(kāi)始偏離CRLB時(shí)，此時(shí)估計(jì)已為有偏估計(jì)，由于CWLS方法考慮定位方程的約束關(guān)系，能夠減弱其對(duì)定位偏差的影響，而本文中CTLS方法不僅考慮了約束關(guān)系，而且降低了偽線性方程中由于觀測(cè)矩陣和測(cè)量向量相關(guān)導(dǎo)致的偏差影響，因而具有更低的偏差，且均方誤差相比CWLS與two-stage WLS也得到了有效改善。

仿真3 在仿真1條件下以近場(chǎng)源為例，仿真本文算法的收斂性。

圖4 3種算法得到的遠(yuǎn)場(chǎng)輻射源位置和速度均方誤差隨接收機(jī)位置誤差的變化曲線

圖5 3種算法得到的遠(yuǎn)場(chǎng)輻射源位置和速度偏差隨時(shí)頻差誤差的變化曲線

圖6 3種算法得到的遠(yuǎn)場(chǎng)輻射源位置和速度均方誤差隨時(shí)頻差誤差的變化曲線

圖7 本文算法得到的近場(chǎng)輻射源位置迭代曲線

6 結(jié)論

本文根據(jù)TDOA/FDOA偽線性方程組的特點(diǎn)，研究了基于約束總體最小二乘的無(wú)源定位算法?；诶窭嗜粘俗臃ń⒘藥追N最小二乘類(lèi)定位方法的統(tǒng)一解，并給出了具體的求解方法。同時(shí)討論了two-stage WLS, CWLS, CLS等定位方法解與本文定位解的關(guān)系，說(shuō)明CWLS和CLS為本文定位解的特例。通過(guò)仿真表明，在時(shí)頻差誤差和接收機(jī)位置誤差適度的條件下本文方法比two-stage WLS和CWLS方法具有更低的均方誤差，并能夠有效減小定位偏差，因而具有更好的測(cè)量噪聲適應(yīng)能力。

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曲付勇： 男，1984年生，博士生，研究方向?yàn)闊o(wú)源定位、數(shù)據(jù)壓縮.

孟祥偉： 男，1966年生，教授，博士生導(dǎo)師，研究方向?yàn)槔走_(dá)信號(hào)檢測(cè)、信號(hào)理論、定位等.

Source Localization Using TDOA and FDOA MeasurementsBased on Constrained Total Least Squares Algorithm

Qu Fu-yong Meng Xiang-wei

(,,264001,)

The two-stage Weighted Least Squares (WLS) method is a well-known linear approach in Time- Difference-Of-Arrival (TDOA) and Frequency-Difference-Of-Arrival (FDOA) passive localization. But this method can only attain the CRLB in a modest noise environment and the bias of the localization result is significant for strong noise. This paper discusses a Constrained Total Least Square (CTLS) solution to the pseudo linear equations with two constrains for TDOA/FDOA localization. A unified expression for several LS solutions is derived based on Lagrange multiplier. The Constrained Weighted Least Square (CWLS) method and Constrained Least Square (CLS) localization method reduce to the special cases of the localization solution. The simulation results show that the proposed method has lower Mean Square Error (MSE) and lower bias compared with the two-stage WLS method, and it is more robust to noise.

Passive localization; Time-Difference-Of-Arrival (TDOA); Frequency-Difference-Of-Arrival (FDOA); Least Square (LS); Bias; Mean Square Error (MSE)

TN971

A

1009-5896(2014)05-1075-07

10.3724/SP.J.1146.2013.01019

孟祥偉 mengxw163@163.com

2013-07-11收到，2013-11-26改回

國(guó)家自然科學(xué)基金(61179016)資助課題