常利率復(fù)合二項風(fēng)險模型的破產(chǎn)概率分布

喬克林，喬小寧，曹振江

(延安大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院，陜西 延安 716000)

經(jīng)典風(fēng)險模型及其推廣模型的重要結(jié)果為保險公司穩(wěn)定經(jīng)營奠定了堅實的理論基礎(chǔ)，但隨著金融市場的不斷繁榮和發(fā)展，出現(xiàn)了保險公司在同一保險事故發(fā)生時可能面臨多個風(fēng)險的情況，并且保險公司的大部分盈余來自于投資收入，所以討論有固定利率的多險種風(fēng)險模型更能與保險公司的實際運作相符合。由于帶利率的風(fēng)險模型難度比較大，因此目前對這類問題的研究還不夠深入。當(dāng)理賠和保單的到達次數(shù)是一個Poisson過程的情形，文獻［1－5］中有比較系統(tǒng)的研究，主要使用更新方程和鞅的方法。但對于理賠和保單的到達次數(shù)是二項過程的情況研究較少。為了使得風(fēng)險理論研究內(nèi)容和結(jié)果更加豐富多彩、更具有使用價值本文將對常利率下的復(fù)合二項雙險種模型的破產(chǎn)概率做進一步的研究。

1 模型引入

以下所涉及的隨機過程和隨機變量都定義在同一個完備的概率空間(Ω，F(xiàn)，P)上，考慮模型

假設(shè):

3)當(dāng)理賠發(fā)生時，以下三種理賠有且僅有一種可能發(fā)生:(1)只發(fā)生第一種險種的索賠:(2)只發(fā)生第二種險種的索賠:(3)兩種索賠都發(fā)生。

以上三種事件發(fā)生的概率分別為P1，P2，P3，顯然P1+P2+P3=1。

設(shè)第一種險種的索賠額Z1，服從分布函數(shù)H1(z)，均值為μ1;第二種險種的索賠額Z2，服從分布函數(shù)H2(z)，均值為μ2;則第三種事件的索賠額應(yīng)服從分布函數(shù)H1*H2(z)，均值為 μ1+μ2，且Z1，Z2是相互獨立的。設(shè)Dj=Z1jδ1+Z2jδ2+(Z1j+Z2j)δ3為保險的第j次的理賠額，其中δk為0－1隨機變量，當(dāng)δk=1時，表示第k種事件發(fā)生，而且對于每次索賠，有且僅有一個δk=1，它發(fā)生的概率為Pr(δk=1)=pk，k=1，2，3。Zij表示第i種險種在第j次索賠時的索賠額，且它們相互獨立，i=1，2。用D表示任意的Dj，由全概率公式可知D的分布函數(shù)為H(D)=p1H1(D)+p2H2(D)+p3H1*H2(D)，則

E［D］= μD=p1μ1+p2μ2+p3(μ1+ μ2);

5)存在r∞＞0，使得當(dāng)r→r∞時，有

模型的實際背景:在保險公司的事務(wù)中，假定只在離散時間n進行至多一次賠付并且收取保費，在連續(xù)時間段(n－1，n］中進行的賠付以及收取的保費均視為在時刻n進行的。并且在時刻n=0時保險公司有初始資本u。

由于破產(chǎn)只可能發(fā)生在理賠時刻，記為:

則τδ為模型(1.1)的破產(chǎn)時刻;若將保險公司在第n次理賠或之前破產(chǎn)的概率記為:

則模型(1.1)在初始資本u下的破產(chǎn)概率為φδ(u)=P(T＜ ∞ |Uδ(0)=u);Ψδ(u)為模型(1.1)在初始資金為u下的生存概率，則有

2 主要結(jié)果

引理［6］對所有0 ＜S＜t，及整數(shù)m，n(m＜n)，用@表示分布相同，有

其中U(i)表示［0，t－s］上n－m個均勻分布的獨立隨機變量U1，U2，L，Un－m的第i個次序統(tǒng)計量，特別地，若令s=0，m=0，有

定理2.1 保險公司第n+1次賠付破產(chǎn)或之前破產(chǎn)概率為

證明 假設(shè)第一次索賠導(dǎo)致破產(chǎn)，由定義可得

假設(shè)第n+1次索賠或之前導(dǎo)致破產(chǎn)，由定義可得

推論2.1 保險公司的破產(chǎn)概率為

證明:定理2.1中的n→∞時即證。

推論2.2 保險公司的生存概率為

且Ψδ(u)滿足如下積分方程:

證明 顯然(2.4)式成立;下證(2.5)式成立，由推論2.1及(2.4)式有

綜上所述，保險公司的生存概率滿足上述積分方程式(2.5)。證畢。

［1］喬克林，李粉香.帶利率的特殊雙險種風(fēng)險模型的破產(chǎn)概率［J］.經(jīng)濟數(shù)學(xué)，2009，26(4):824－828.

［2］喬克林，李萍.一類雙復(fù)合模型的破產(chǎn)概率的初步研究［J］. 延安大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版，2011，23(4):40 －42.

［3］喬克林，侯致武，廖金林.常利率下特殊雙險種風(fēng)險模型的破產(chǎn)問題［J］.湘潭大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報，2011，33(3):23－26.

［4］喬克林，侯致武.一類隨機保費下帶利率的雙險種風(fēng)險模型的破產(chǎn)問題［J］.河南科學(xué)，2011，29(9):1013－1016.

［5］喬克林，劉鳳鳳.一類相依風(fēng)險模型破產(chǎn)概率上界的數(shù)值分析布［J］.科學(xué)技術(shù)與工程，2012，12(32):1671－1875.

［6］劉莉，茆詩松.常利率下風(fēng)險模型破產(chǎn)問題的研究［D］.華東師范大學(xué)博士學(xué)位論文，2004.

［7］GerberH.U.數(shù)學(xué)風(fēng)險論導(dǎo)論［M］(成世學(xué)，嚴穎譯).北京:世界圖書出版公司，1997.

［8］Garbled J．Aspects of risk theory［M］．Springer．Berlin．1991．

［9］劉莉，茆詩松.常利率下風(fēng)險模型破產(chǎn)問題的研究［D］.華東師范大學(xué)博士學(xué)位論文，2004.

［10］唐國強，帶息雙二項風(fēng)險模型的破產(chǎn)問題［J］.經(jīng)濟數(shù)學(xué)，2006，23(3):235 －242.

［11］黃玉娟，余文廣，劉紅梅 .Proceedings of International Conferenceon Engineering and Business Management(EBM2010).