含阻挫的不對稱鐵磁梯子自旋模型的量子相圖

潘麗華，胡 冰，劉擁軍

（揚州大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，江蘇 揚州 225002）

含阻挫的不對稱鐵磁梯子自旋模型的量子相圖

潘麗華，胡 冰，劉擁軍＊

（揚州大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，江蘇 揚州 225002）

采用嚴(yán)格對角化和密度矩陣重整化群方法研究阻挫和對稱性對鐵磁梯子基態(tài)的影響，得到體系在不對稱強度參數(shù)－阻挫強度參數(shù)空間的基態(tài)相圖.結(jié)果表明：在不對稱性較強的體系中，隨著阻挫強度的增大，系統(tǒng)基態(tài)從鐵磁相轉(zhuǎn)變?yōu)榭傋孕齋≠0的傾斜相、再到總自旋S＝0的反鐵磁相；隨著不對稱強度參數(shù)αa的增大，傾斜相存在的阻挫強度參數(shù)區(qū)間越來越窄；當(dāng)αa＞0.08時，則不經(jīng)歷傾斜相，直接從鐵磁相一階相變?yōu)榭傋孕齋＝0的反鐵磁相.

鐵磁自旋梯子；密度矩陣重整化群；阻挫效應(yīng)；基態(tài)相圖

自旋梯子模型已得到人們的廣泛關(guān)注，其研究結(jié)果不僅豐富了人們對量子態(tài)和量子相變的認(rèn)識，而且隨著實驗技術(shù)的進(jìn)步，也具有較大的應(yīng)用價值.在近鄰反鐵磁作用的兩腿梯子模型中，如果不考慮次近鄰間相互作用，則體系基態(tài)為自旋單態(tài)并存在自旋能隙［1－2］；如果次近鄰間存在較大的反鐵磁阻挫，則系統(tǒng)基態(tài)可類似于自旋s＝1的鏈［3］；而在中等強度的阻挫區(qū)間，則存在Columnar－dimer相［4－6］.由此可見，阻挫效應(yīng)可引起豐富的基態(tài)相圖.近年來，人們通過實驗陸續(xù)發(fā)現(xiàn)了一些包含邊共享的Cu O2鏈的新材料，如Rb2Cu2Mo3O12［7］，NaCu2O2［8］和 LiCu VO4［9］，這些材料可描述為最近鄰自旋間存在鐵磁相互作用、而次近鄰自旋間存在反鐵磁阻挫的s＝1／2自旋鏈，從而掀起人們對近鄰鐵磁自旋系統(tǒng)的研究熱潮［10－15］.對含次近鄰反鐵磁阻挫的一維鐵磁自旋鏈的理論研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)反鐵磁－鐵磁耦合強度比值小于0.25時，系統(tǒng)基態(tài)為鐵磁態(tài)；大于0.25時則轉(zhuǎn)變?yōu)樽孕龁螒B(tài)；在相變點處，兩種狀態(tài)簡并［12］.Japaridze等［13］研究了鏈間反鐵磁關(guān)聯(lián)而鏈內(nèi)自旋間鐵磁耦合的兩腿梯子模型，在外加垂直磁場作用下，得到從自旋單態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)橛心芟兜臈l帶鐵磁相、再到純鐵磁相的量子磁相圖.筆者［15］曾經(jīng)研究了近鄰鐵磁耦合的梳子模型，發(fā)現(xiàn)隨著次近鄰反鐵磁阻挫的增強，基態(tài)從鐵磁相轉(zhuǎn)變?yōu)閮A斜相、再轉(zhuǎn)變?yōu)榉磋F磁相；與其不同的是，在鐵磁梯子模型中，隨著次近鄰反鐵磁阻挫的增強，基態(tài)從鐵磁相直接轉(zhuǎn)變?yōu)榉磋F磁相.在本文中，筆者將在此基礎(chǔ)上研究兩條鏈上的近鄰鐵磁耦合強度不相等的不對稱梯子模型，重點討論隨著不對稱強度和阻挫強度的改變體系將經(jīng)歷怎樣的物理過程.

1 研究對象和方法

本文研究對象為含反鐵磁阻挫的不對稱鐵磁梯子模型（見圖1），格點自旋s＝1／2，其中一條鏈（鏈1）上最近鄰格點與鏈間最近鄰格點自旋間存在鐵磁耦合相互作用，另一條鏈（鏈2）上最近鄰格點自旋間則為另一強度的鐵磁耦合相互作用，而鏈間次近鄰格點自旋間存在反鐵磁阻挫相互作用，模型的哈密頓量可表示為

其中自旋算符s i，j的下標(biāo)i是鏈上格點標(biāo)號，j＝1，2則分別標(biāo)記兩條自旋鏈；L為鏈長；J1＜0，J2＜0表示鐵磁耦合強度，J×＞0表示反鐵磁阻挫的強度.本文固定參數(shù)J1＝－1，定義不對稱強度參數(shù)αa＝｜J2／J1｜，阻挫強度參數(shù)αf＝｜J×／J1｜.

圖1 含阻挫的兩腿不對稱鐵磁梯子模型Fig.1 Two－leg frustrated asymmetric ferromagnetic spin ladder

在模型（1）中，若J2＝0，則模型退化成文獻(xiàn)［15］30所研究的混合梳子模型；若J2＝－1，則為常規(guī)的兩腿梯子模型.可以推測認(rèn)為，隨著不對稱強度αa的改變，系統(tǒng)將呈現(xiàn)有趣的相變行為.

鏈長較短時，采用嚴(yán)格對角化方法研究阻挫和對稱性對體系基態(tài)自旋圖像的影響；隨著系統(tǒng)格點數(shù)的增加，則采用密度矩陣重整化群（DMRG）方法［16－17］，保留密度矩陣塊的最小維度為M＝320，保證截斷誤差小于10－7.

本文主要分析在不同不對稱強度下，系統(tǒng)基態(tài)能、基態(tài)能對阻挫的一階導(dǎo)數(shù)以及基態(tài)總自旋隨反鐵磁阻挫強度的變化情況.基態(tài)總自旋由S＝s1，1＋s1，2＋s2，1＋s2，2＋ … ＋s L，1＋s L，2定義，滿足

S（S＋1）為算符S2的本征值.根據(jù)公式（2），可以先將所有格點間的自旋關(guān)聯(lián)函數(shù)值求和得到數(shù)值C，再解一元二次方程S（S＋1）＝C，即得系統(tǒng)的基態(tài)總自旋S.

另外，筆者還計算了系統(tǒng)處于基態(tài)時中間位置（i＝L／2）橫檔上兩個自旋格點間的熵.熵定義為

其中ρi1，i2是基態(tài)波函數(shù)對格點自旋（s i，1，s i，2）的約化密度矩陣.熵可較好地反映系統(tǒng)的量子相變［18－20］.

2 計算結(jié)果

2.1 嚴(yán)格對角化方法

利用嚴(yán)格對角化方法，引入周期性邊界條件，計算了長度L＝6的不對稱梯子系統(tǒng)的基態(tài)總自旋（見圖2）.從圖2（a）可以看出，當(dāng)αa＝0時，基態(tài)從總自旋S＝6的單純鐵磁態(tài)依次轉(zhuǎn)變到總自旋S＝5，4，3，2，1，0的量子態(tài)（若采用開放性邊界條件，則觀察不到S＝1的平臺［15］32），中間傾斜相的參數(shù)區(qū)間為0.25＜αf＜0.49.隨著不對稱強度的減弱，即隨αa的增大，0＜S＜6的量子態(tài)存在的阻挫參數(shù)區(qū)間逐漸減?。蹐D2（b）－（e）］.當(dāng)αa≥0.08時，則如圖2（f）所示，隨著阻挫的增強，系統(tǒng)基態(tài)直接從鐵磁態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)镾＝0的態(tài).

2.2 密度矩陣重整化群方法

嚴(yán)格對角化方法只能計算尺寸較小的系統(tǒng)，其計算結(jié)果中的量子化平臺是由于有限尺寸效應(yīng)而造成的；隨著系統(tǒng)格點數(shù)的增大，這些量子化平臺將呈現(xiàn)連續(xù)變化.本文采用開放邊界條件的DMRG方法研究了尺寸較大的系統(tǒng).圖3給出了L＝40的不對稱梯子體系基態(tài)中每個格點的平均能量［E＝E0／（2L）］對阻挫的一階導(dǎo)數(shù)dE／dαf.當(dāng)阻挫較小時，基態(tài)能量可表示為E0＝0.25（L－1）（2J1－αa＋2αf）＋0.25J1，其一階導(dǎo)數(shù)為一常數(shù).由圖3可見，當(dāng)αf較小時，可得到dE／dαf＝0.243 75的平臺；隨著不對稱強度αa的增大，平臺開始下降的臨界點αf也逐漸增大.當(dāng)αa＜0.08時，dE／dαf在中間阻挫區(qū)域存在一段連續(xù)下降的區(qū)間［圖3（a）－（c）］；隨著αa的增強，中間傾斜相的參數(shù)區(qū)間越來越窄；而當(dāng)αa＞0.08時，dE／dαf則經(jīng)歷一次突變［圖3（d）－（f）］.

圖2 周期邊界條件下L＝6的不對稱梯子系統(tǒng)基態(tài)的嚴(yán)格對角化結(jié)果Fig.2 The exact diagonalization calculation results of the L＝6 asymmetric ladder under periodic boundary condition

圖3 L＝40的不對稱鐵磁梯子模型中基態(tài)能對阻挫的一階導(dǎo)數(shù)Fig.3 The first derivative of the ground state energy d E／dαf for L＝40 asymmetric ferromagnetic spin ladder

從鐵磁相到其他相的臨界點比較容易確定，為了更準(zhǔn)確地確定傾斜相到反鐵磁相的相變點臨界值，筆者計算了系統(tǒng)中中間位置橫檔兩個自旋格點間的熵，結(jié)果如圖4所示.可以發(fā)現(xiàn)，隨著阻挫強度的改變，整個參數(shù)范圍分成3個區(qū)間.在鐵磁相區(qū)間，熵值為一固定數(shù)值；在S＝0的反鐵磁相區(qū)間，熵值在某一數(shù)值附近隨阻挫強度的增大有微小的連續(xù)變化；而在中間的傾斜相區(qū)域，則呈拋物線型；且在相變點附近，熵值有很明顯的臨界點變化行為.

圖4 L＝40的不對稱鐵磁梯子模型中中間位置橫檔上兩個格點間的熵Fig.4 The entropy of the two－sites along the middle rung of L＝40 asymmetric ferromagnetic spin ladder

由此可見，L＝40的不對稱梯子體系可得圖5所示的基態(tài)相圖，共存在3個相：鐵磁相（FM）、傾斜相（canted）、S＝0的反鐵磁相.可以發(fā)現(xiàn)，傾斜相只存在于不對稱性較強的不對稱梯子體系.當(dāng)αa＝0時，傾斜相存在于0.25＜αf＜0.44的中間強度阻挫參數(shù)區(qū)間；隨著不對稱強度參數(shù)αa的增大，傾斜相存在的阻挫強度參數(shù)區(qū)間不斷變窄；當(dāng)αa＞0.08時，則不存在傾斜相，基態(tài)直接從鐵磁態(tài)一階相變?yōu)镾＝0的反鐵磁態(tài).

由已有計算結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)：只有當(dāng)不對稱強度參數(shù)αa≤0.08時才存在傾斜相，該臨界值αac＝0.08基本不受尺寸效應(yīng)的影響；從鐵磁相轉(zhuǎn)變到傾斜相或反鐵磁相的臨界點的尺寸效應(yīng)也不明顯；只有從傾斜相轉(zhuǎn)變?yōu)榉磋F磁相的相變點臨界值存在一定的尺寸效應(yīng)；因此，圖5所示的相圖可以定性地描述為熱力學(xué)極限下（L→∞）不對稱梯子模型在不對稱強度參數(shù) －阻挫強度參數(shù)（αa－αf）空間的基態(tài)相圖.

圖5 L＝40的不對稱鐵磁梯子體系在αa－αf 空間的相圖Fig.5 Quantum phase diagram of L＝40 asymmetric ferromagnetic spin ladder inαa－αf space

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Quantum phase diagram of a frustrated asymmetric ferromagnetic spin ladder

PAN Lihua，HU Bing，LIU Yongjun＊

（Sch of Phys Sci ＆Tech，Yangzhou Univ，Yangzhou 225002，China）

By using exact diagonalization method and density matrix renormalization group method，this paper studies the ground states of the two－leg spin－1／2 asymmetric ferromagnetic ladder model，of which the nearest－neighbor interaction is ferromagnetic （FM）and the diagonal next－nearestneighbor interaction is antiferromagnetic（AF）.The author gives the phase diagrams of frustration versus the asymmetric strength.When the ladder is strongly asymmetric，there is a finite intermediate frustration region occupied by the canted state phase between FM and AF phases.The phase boundaries are dependent on the asymmetric strength.On the other hand，when the asymmetric strength is not strong enough，the ground state demonstrates a first order phase transition from ferromagnetism to antiferromagnetism as frustration increasing.

ferromagnetic spin ladder；density matrix renormalization group；effect of frustration；quantum phase diagram

O 413.1

A

1007－824X（2014）01－0021－05

2013－10－21.＊ 聯(lián)系人，E－mail：yjliu＠yzu.edu.cn.

江蘇省科技支撐計劃（工業(yè)）項目（BE2009106）.

潘麗華，胡冰，劉擁軍.含阻挫的不對稱鐵磁梯子自旋模型的量子相圖 ［J］.揚州大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2014，17（1）：21－25.

（責(zé)任編輯 時 光）