幾何模型幾何抽象幾何語(yǔ)言幾何興趣

俞求是

《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)》七年級(jí)上冊(cè)第四章是“幾何圖形初步”.本章是初中數(shù)學(xué)“圖形與幾何”領(lǐng)域的第一章，本章將在小學(xué)階段所學(xué)的“圖形與幾何”初步知識(shí)的基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)幾何學(xué)的一些最基本的概念，以及直線、射線、線段和角的一些基本知識(shí)，了解這些知識(shí)的一些初步應(yīng)用.

本章共安排了4小節(jié)和兩個(gè)選學(xué)內(nèi)容，教學(xué)時(shí)間約需16課時(shí).

1本章內(nèi)容概述

本章教學(xué)內(nèi)容是初等幾何學(xué)中最基本的一些知識(shí).我們生活的現(xiàn)實(shí)空間的各種物體都以其所具有的各種空間形式存在于我們周圍，學(xué)習(xí)有關(guān)圖形與幾何的知識(shí)能使人們更好的認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)空間，并把有關(guān)的知識(shí)應(yīng)用于實(shí)際生活和工作之中.本章是初中階段“圖形與幾何”領(lǐng)域的第一章，介紹圖形與幾何的一些最基本的概念和圖形.一些最基本的概念，如幾何圖形、立體圖形、平面圖形、體、面、線、點(diǎn)等，要在本章中從現(xiàn)實(shí)具體物體中抽象、歸納出來，直線、線段、射線、角及有關(guān)的概念在本章中得到比較詳細(xì)的介紹，并被廣泛應(yīng)用于后續(xù)的教學(xué)中.本章的教學(xué)屬于初中幾何圖形知識(shí)學(xué)習(xí)的起始階段，對(duì)于后續(xù)相關(guān)知識(shí)的學(xué)習(xí)影響深遠(yuǎn).

在第4.1節(jié)，教科書首先用引言中北京奧林匹克公園的俯瞰圖和第4.1節(jié)開始的實(shí)物照片，引導(dǎo)學(xué)生觀察現(xiàn)實(shí)生活中各種物體，從而進(jìn)入到本章幾何圖形初步知識(shí)的學(xué)習(xí)中來.接著，教科書首先指出各種物體都具有形狀、大小、位置的幾何特征，并從學(xué)生熟悉的方體紙盒開始，讓學(xué)生經(jīng)歷從具體物體的外形抽象概括出長(zhǎng)方體、圓柱、球、幾何圖形的過程，認(rèn)識(shí)幾何圖形、立體圖形、平面圖形的概念；讓學(xué)生通過從不同方向看立體圖形得到平面圖形和想象幾何體的展開圖的過程，認(rèn)識(shí)可以用平面圖形表示立體圖形，以及立體圖形和平面圖形的聯(lián)系；并進(jìn)一步從體、面、線、點(diǎn)之間的關(guān)系以及運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)（點(diǎn)動(dòng)成線、線動(dòng)成面、面動(dòng)成體）進(jìn)一步認(rèn)識(shí)基本幾何圖形，并滲透了幾何圖形的集合觀點(diǎn).

在第4.2節(jié)和第4.3節(jié)，教科書介紹最基本的平面圖形——直線、射線、線段和角的知識(shí).

直線、射線、線段和角都是重要而基本的幾何圖形，有關(guān)直線、射線、線段和角的概念和性質(zhì)、表示、畫法、計(jì)算等，都是重要的幾何基礎(chǔ)知識(shí)，是學(xué)習(xí)后續(xù)圖形與幾何知識(shí)以及其他數(shù)學(xué)知識(shí)的必備基礎(chǔ).在小學(xué)階段，學(xué)生對(duì)于直線、射線、線段和角等內(nèi)容有了初步感性知識(shí)，認(rèn)識(shí)是很初淺的，有必要在初中階段加深理解.

教科書在第4.2節(jié)首先讓學(xué)生通過思考探究得到關(guān)于直線的基本事實(shí)：經(jīng)過兩點(diǎn)有一條直線，并且只有一條直線.這個(gè)基本事實(shí)又被稱為“直線公理”，非常好地刻畫了直線這種最基本的幾何圖形.接著，教科書介紹了關(guān)于直線的基本事實(shí)的實(shí)際應(yīng)用，以及直線的符號(hào)表示，介紹了相交直線的概念.線段、射線是和直線密切相關(guān)的兩個(gè)基本概念，教科書介紹了它們的畫法和符號(hào)表示，以及線段的大小比較、線段的和與差等.在圖形與幾何的教學(xué)中，畫圖教學(xué)和作圖教學(xué)是重要內(nèi)容，應(yīng)該在教學(xué)中引起重視.教科書在本節(jié)介紹了畫線段和作線段的方法.在本節(jié)最后通過一個(gè)思考欄目，得到關(guān)于線段的基本事實(shí)：兩點(diǎn)之間線段最短.這是線段的一個(gè)重要的性質(zhì)，在許多問題尤其是有關(guān)線路長(zhǎng)短之類的幾何不等式問題中是一個(gè)基本的出發(fā)點(diǎn).教科書讓學(xué)生通過思考、探究、比較得到以上的基本事實(shí)，并舉例說明了基本事實(shí)的應(yīng)用.

教科書在第4.3節(jié)首先從一些角的實(shí)例開始，認(rèn)識(shí)學(xué)習(xí)角概念的實(shí)際必要性，并引入角的定義和角的符號(hào)表示方法.角的概念可以從靜態(tài)和動(dòng)態(tài)兩種角度去認(rèn)識(shí)，在后續(xù)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中兩種角度的認(rèn)識(shí)都需要，所以教科書在思考欄目中也引入了角的動(dòng)態(tài)觀點(diǎn).接著，教科書安排了角的大小的角度制度量和表示、角的大小比較、角的和與差、角平分線、余角和補(bǔ)角及其性質(zhì)等內(nèi)容.

教科書在第4.4節(jié)安排了一個(gè)課題學(xué)習(xí)：“設(shè)計(jì)制作長(zhǎng)方體形狀的包裝紙盒”.安排這個(gè)課題學(xué)習(xí)的目的是讓學(xué)生借助所學(xué)的幾何初步知識(shí)，逐漸學(xué)會(huì)獨(dú)立思考，學(xué)會(huì)和他人合作，并經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題的過程，并在活動(dòng)過程中培養(yǎng)空間想象能力，邏輯思維能力，動(dòng)手操作能力和在實(shí)踐中應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力.

本章的重點(diǎn)內(nèi)容是幾何與圖形的基本概念和線段和角的基本知識(shí)，這些概念和知識(shí)來源于幾何現(xiàn)實(shí)的抽象和概括，在教學(xué)中，必須應(yīng)該注意圖形與幾何的知識(shí)與客觀實(shí)際的聯(lián)系，概念的抽象性是教學(xué)的主要難點(diǎn)，應(yīng)該予以重視，當(dāng)然，也應(yīng)該根據(jù)學(xué)生的實(shí)際把握適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)要求.另外，對(duì)圖形的表示和畫圖、作圖，對(duì)幾何語(yǔ)言的學(xué)習(xí)、運(yùn)用等，都需要一個(gè)學(xué)習(xí)并逐漸熟悉的過程.這些，對(duì)于今后的學(xué)習(xí)都很重要，同時(shí)也是本章的難點(diǎn).

2編寫時(shí)考慮的幾個(gè)問題

2.1注意揭示幾何圖形基本概念源于現(xiàn)實(shí)世界的抽象性特點(diǎn)

現(xiàn)實(shí)空間中的各種物體都以其特有的形狀、大小和位置存在于我們周圍，幾何學(xué)就是研究圖形的形狀、大小和位置的學(xué)科，學(xué)習(xí)圖形與幾何的知識(shí)能使人們更好的認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)空間，并在實(shí)際工作中運(yùn)用有關(guān)幾何知識(shí)解決問題.本章引入的是幾何圖形的一些最基本概念，如幾何圖形、點(diǎn)、線、面、體、平面圖形、立體圖形、幾何圖形等概念，這些概念是從現(xiàn)實(shí)中抽象出來的最基本的幾何概念，必須注意這些基本概念和客觀現(xiàn)實(shí)的聯(lián)系，初步了解這些概念的抽象性特點(diǎn)，從而初步能用幾何觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)世界.教科書首先從常見的長(zhǎng)方體形狀的實(shí)物抽象出一個(gè)特殊的幾何體——長(zhǎng)方體，以及從不同側(cè)面得到長(zhǎng)方形或正方形等平面圖形，再?gòu)睦狻㈨旤c(diǎn)得到線段、點(diǎn)，以此為特例，推廣到從其他實(shí)物可以抽象得到圓柱、球等幾何體，并指出在小學(xué)學(xué)習(xí)的其他幾何圖形也是從物體外形中抽象得出，從而引入幾何圖形的概念.這樣的過程能讓學(xué)生初步體會(huì)幾何圖形的抽象性特點(diǎn).本章中的許多基本幾何概念都是循著這樣的思想引入的.

2.2讓學(xué)生在觀察、操作、想象、交流等活動(dòng)中學(xué)習(xí)知識(shí)發(fā)展空間觀念

數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該重視培養(yǎng)學(xué)生形成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，在新的學(xué)習(xí)階段開始時(shí)尤其要注意這個(gè)問題.本章是初中階段“圖形與幾何”內(nèi)容學(xué)習(xí)的開始，“圖形與幾何”教學(xué)的一個(gè)重要目標(biāo)是發(fā)展學(xué)生的空間觀念，培養(yǎng)空間想象力，為了達(dá)到教學(xué)目標(biāo)，本章教科書重視讓學(xué)生從事動(dòng)手操作、觀察、想象、交流等活動(dòng)，給學(xué)生提供一些現(xiàn)實(shí)的、有意義的、并有一定挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)任務(wù)，開展數(shù)學(xué)活動(dòng)，引導(dǎo)他們?cè)诨顒?dòng)中獲得幾何圖形知識(shí)和有關(guān)技能，豐富學(xué)生進(jìn)行形象思維的思想材料，發(fā)展空間觀念，培養(yǎng)空間想象力.

在本章的教科書中，安排了許多觀察、思考、探究、舉例、畫圖等學(xué)習(xí)活動(dòng)，如從一些圖案中發(fā)現(xiàn)平面圖形，想象由9個(gè)正方體組成的立體圖形從不同方向看得到怎樣的平面圖形，探索一些常見幾何體的展開圖，通過畫圖、觀察、思考等活動(dòng)，從生活中的現(xiàn)象得到關(guān)于直線、線段的性質(zhì)，探索畫一個(gè)角等于已知角的方法，等等.通過這些學(xué)習(xí)活動(dòng)，鼓勵(lì)學(xué)生勤思考、勤動(dòng)手、多交流.動(dòng)手操作是學(xué)習(xí)開始階段重要的一環(huán)，它可以幫助學(xué)生豐富經(jīng)驗(yàn)，認(rèn)識(shí)圖形，驗(yàn)證學(xué)生的空間想象，在本章較多地安排了操作性活動(dòng)，鼓勵(lì)學(xué)生先動(dòng)手操作、后思考結(jié)論，以后可以逐步過渡到先思考、后動(dòng)手驗(yàn)證.

2.3重視幾何語(yǔ)言的培養(yǎng)和訓(xùn)練

正確掌握幾何語(yǔ)言是學(xué)好幾何知識(shí)的必備條件.幾何圖形是“圖形與幾何”的研究對(duì)象，一般按照“實(shí)物和模型→幾何圖形→文字表示→符號(hào)表示”的程序進(jìn)行教學(xué).其中，圖形是從實(shí)物和模型第一次抽象后的產(chǎn)物，也是形象、直觀的語(yǔ)言；文字語(yǔ)言是對(duì)圖形的描述、解釋和討論；符號(hào)語(yǔ)言則是對(duì)文字語(yǔ)言的簡(jiǎn)化.顯然，首先建立的是圖形語(yǔ)言，然后引入文字語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言，最后形成三種數(shù)學(xué)語(yǔ)言的綜合運(yùn)用，如果三種語(yǔ)言達(dá)到了融匯貫通的程度，就基本掌握對(duì)象了.

在本章中，特別注意“模型→圖形→文字→符號(hào)”這個(gè)抽象的過程.教科書首先強(qiáng)調(diào)實(shí)物原型的作用，引入了大量實(shí)物模型，讓學(xué)生從中抽象出幾何圖形.其次，教科書重視圖形語(yǔ)言的作用，對(duì)于圖形的文字和符號(hào)描述，都是緊密聯(lián)系圖形，發(fā)揮直觀圖形的作用，在圖形基礎(chǔ)上發(fā)展其他數(shù)學(xué)語(yǔ)言.例如，關(guān)于線段的比較、線段的和與差、線段的中點(diǎn)、角的比較、角的平分線等，都是先以圖形直觀給出，再聯(lián)系到數(shù)量，給出文字的描述，最后再給出符號(hào)的表示，使幾種幾何語(yǔ)言優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)，以收到較好的教學(xué)效果.

本章教科書除了重視“模型→圖形→文字→符號(hào)”的轉(zhuǎn)化過程外，也重視相反的教學(xué)過程，即“符號(hào)→文字→圖形”的教學(xué)過程，讓學(xué)生先理解符號(hào)或文字所表達(dá)的圖形及關(guān)系，并把它們用圖形直觀表示出來，化“無(wú)形”為“有形”.本章注意安排了一些這樣的練習(xí)、習(xí)題，教學(xué)中要重視這些方面的訓(xùn)練，使學(xué)生能較快掌握三種語(yǔ)言的運(yùn)用，從而更好地掌握所研究的幾何圖形知識(shí).

2.4重視培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)幾何知識(shí)的興趣

本章教科書是“圖形與幾何”領(lǐng)域的第一章，是初中幾何課的入門課，學(xué)生所接觸的是一個(gè)以圖形研究為主的領(lǐng)域，基礎(chǔ)知識(shí)多，基本概念多而抽象，學(xué)生對(duì)于這些抽象概念的理解有一定的難度.對(duì)于接踵而來的各種幾何術(shù)語(yǔ)學(xué)生在小學(xué)階段只有一些感性的認(rèn)識(shí)，盡管初中生對(duì)于進(jìn)一步學(xué)習(xí)會(huì)有好奇心，但這種好奇心也并不穩(wěn)定.另外，本章的一些結(jié)論基本上是一些事實(shí)性結(jié)論，是學(xué)生通過一些畫圖、思考、探究而得，缺少通過嚴(yán)格計(jì)算、論證得到結(jié)論的過程，過程略顯簡(jiǎn)單.以上各種因素都會(huì)影響學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣.為了培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)的興趣，教科書注意揭示所學(xué)知識(shí)和實(shí)際的聯(lián)系，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)所學(xué)知識(shí)在實(shí)際工作生活中的廣泛應(yīng)用價(jià)值，是今后從事各行各業(yè)工作所必備的知識(shí)，確立知識(shí)的有用性，從而重視知識(shí)的學(xué)習(xí)；另一方面，教科書在一些習(xí)題中適當(dāng)增加一些探索規(guī)律、猜想結(jié)論的問題，讓學(xué)生初步認(rèn)識(shí)在幾何知識(shí)的學(xué)習(xí)中有很多規(guī)律奧秘需要去探究，讓學(xué)生體驗(yàn)到探究的樂趣，發(fā)現(xiàn)的喜悅，從而提高學(xué)習(xí)的興趣.再一方面，教科書重視對(duì)于畫圖、作圖等活動(dòng)，讓學(xué)生在動(dòng)手操作的活動(dòng)中培養(yǎng)幾何學(xué)習(xí)的興趣.

3對(duì)教學(xué)的幾個(gè)建議

3.1注意和小學(xué)知識(shí)內(nèi)容的銜接

本章一方面是初中“圖形與幾何”領(lǐng)域的第一章，又是小學(xué)相關(guān)知識(shí)的繼續(xù)，本章的部分概念在小學(xué)也接觸過，在教學(xué)中，要注意了解小學(xué)數(shù)學(xué)中“圖形與幾何”的內(nèi)容和要求以及與本章內(nèi)容要求的聯(lián)系和區(qū)別.

從課程標(biāo)準(zhǔn)看，和本章內(nèi)容相聯(lián)系，小學(xué)階段在“圖形與幾何”領(lǐng)域的要求有：對(duì)于一些簡(jiǎn)單幾何體和平面圖形有一些感性的了解，能結(jié)合實(shí)例了解線段、射線和直線，了解一些幾何體和平面圖形的基本特征，知道周角、平角，了解周角、平角、鈍角、直角、銳角之間的大小關(guān)系，能辨認(rèn)從不同方向（前面、側(cè)面、上面）看到的物體的形狀圖，能認(rèn)識(shí)最簡(jiǎn)單的幾何體（長(zhǎng)方體、正方體和圓柱）的展開圖.

本章的教學(xué)應(yīng)在小學(xué)的相關(guān)內(nèi)容基礎(chǔ)上進(jìn)行，教學(xué)中要注意聯(lián)系和區(qū)別，在已有知識(shí)基礎(chǔ)上進(jìn)行教學(xué)，特別要避免簡(jiǎn)單重復(fù).

3.2要充分發(fā)揮實(shí)物、模型、圖片的作用和信息技術(shù)的應(yīng)用

圖形的知識(shí)、幾何的知識(shí)是從現(xiàn)實(shí)中來的，所以圖形與幾何知識(shí)的教學(xué)材料非常普遍地存在于我們的周圍，可以看成幾何圖形的實(shí)物隨處可見，生動(dòng)具體，當(dāng)然，許多幾何圖形還需要借助精心挑選的實(shí)物或特制的模型來進(jìn)行教學(xué)，對(duì)于有的教學(xué)內(nèi)容還可以通過精心繪制的教學(xué)圖片來說明.在教學(xué)條件較好的學(xué)校，還應(yīng)該充分應(yīng)用信息技術(shù).計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)作用很強(qiáng)大，在本章教學(xué)中，利用信息技術(shù)可以給展現(xiàn)豐富多彩的圖形，設(shè)計(jì)幾何圖形的抽象過程，在豐富的、動(dòng)態(tài)的圖形演示中來幫助學(xué)生克服對(duì)于一些概念的理解困難，尋找不變的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，從而發(fā)現(xiàn)圖形的性質(zhì).因此，應(yīng)盡可能地使用信息技術(shù).

3.3重視畫圖技能的培養(yǎng)

在幾何圖形的教學(xué)中，繪圖和作圖是重要的教學(xué)內(nèi)容，在教學(xué)過程中畫出高質(zhì)量的幾何圖形對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念、空間想象力具有重要意義，在教學(xué)過程中應(yīng)該予以重視.應(yīng)注意要求學(xué)生養(yǎng)成良好的習(xí)慣，畫圖要認(rèn)真，圖應(yīng)該畫得清楚、干凈，并能很好地表現(xiàn)圖形之間的位置關(guān)系.在畫圖的過程中，一方面培養(yǎng)了學(xué)生應(yīng)該具備的一定繪圖技能，另外也培養(yǎng)了學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)、認(rèn)真的學(xué)習(xí)態(tài)度，形成良好的個(gè)性品質(zhì).在這方面老師首先應(yīng)該起到良好的示范作用.

3.4注意把握教學(xué)要求

本章是初中階段“圖形與幾何”的開始階段，很重要的是應(yīng)該讓學(xué)生認(rèn)識(shí)學(xué)習(xí)“圖形與幾何”的重要性和趣味性，讓學(xué)生樂于學(xué)習(xí)，形成對(duì)于學(xué)習(xí)的良好態(tài)度和情感，所以，教學(xué)要求應(yīng)該適當(dāng)，不應(yīng)急于提高教學(xué)要求，增加難度，否則，教學(xué)要求超出學(xué)生的理解和接受能力，就會(huì)挫傷學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，對(duì)后續(xù)教學(xué)帶來不良影響.這就要求在教學(xué)中，注意了解教學(xué)內(nèi)容在全套書中的地位，相關(guān)內(nèi)容在后續(xù)教學(xué)中的安排和要求，有對(duì)于教學(xué)的整體思考和把握.本章中的一些抽象幾何概念，往往只要求學(xué)生有一些初步直觀的認(rèn)識(shí)，不要求達(dá)到很高的科學(xué)嚴(yán)密的程度，需要學(xué)生在后續(xù)學(xué)習(xí)中逐步體會(huì)，加深認(rèn)識(shí)，而不是一步到位.初等幾何中廣泛應(yīng)用邏輯推理，并著重培養(yǎng)邏輯推理能力，但在這一章中的要求并不高，并非對(duì)于所有結(jié)論都要經(jīng)過嚴(yán)格論證得到，一些基本結(jié)論（如關(guān)于直線和線段的基本事實(shí)）僅要求學(xué)生通過觀察、思考、探究等活動(dòng)歸納得出，僅作“說理”和“簡(jiǎn)單推理”.當(dāng)然這也為后面教學(xué)逐步提高推理要求做了準(zhǔn)備.

概括提煉

幾何入門教學(xué)，應(yīng)充分重視幾何模型的作用，讓學(xué)生初步認(rèn)識(shí)幾何基本概念的抽象性特點(diǎn)，并注意幾何語(yǔ)言的教學(xué)，要讓學(xué)生在初步體會(huì)邏輯嚴(yán)密性的迷人魅力、認(rèn)識(shí)幾何知識(shí)廣泛應(yīng)用價(jià)值的過程中，形成學(xué)習(xí)幾何的濃厚興趣，進(jìn)而熱愛數(shù)學(xué)這門課程.