單純形法的改進(jìn)螢火蟲算法及其在非線性方程組求解中的應(yīng)用

莫愿斌，馬彥追，鄭巧燕，袁偉軍（.廣西民族大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院，廣西南寧530006；.廣西混雜計(jì)算與集成電路設(shè)計(jì)分析重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣西南寧530006）

單純形法的改進(jìn)螢火蟲算法及其在非線性方程組求解中的應(yīng)用

莫愿斌1，2，馬彥追1，鄭巧燕1，袁偉軍2
（1.廣西民族大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院，廣西南寧530006；2.廣西混雜計(jì)算與集成電路設(shè)計(jì)分析重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣西南寧530006）

螢火蟲算法（FA）是一種基于群體搜索的啟發(fā)式隨機(jī)優(yōu)化算法，其模擬自然界中螢火蟲利用發(fā)光的生物學(xué)特性而表現(xiàn)出來的社會(huì)性行為。針對螢火蟲算法存在著收斂速度慢、易陷入局部最優(yōu)、求解精度低等不足，利用單純形法局部搜索速度快和螢火蟲算法全局尋優(yōu)的特點(diǎn)，提出一種基于單純形法的改進(jìn)型螢火蟲算法（SMFA）。通過對標(biāo)準(zhǔn)測試函數(shù)以及非線性方程組的實(shí)驗(yàn)仿真，并與其他算法進(jìn)行的對比分析表明，改進(jìn)后的算法在函數(shù)優(yōu)化方面有較強(qiáng)的優(yōu)勢，在一定程度上有效地避免了陷入局部最優(yōu)，提高了搜索的精度。

螢火蟲算法；單純形法；函數(shù)優(yōu)化；非線性方程組

螢火蟲算法（firefly algorithm，F(xiàn)A）是在2008年由英國劍橋?qū)W者Yang提出的一種啟發(fā)式智能優(yōu)化方法［1?2］，其基本思想來源于螢火蟲成蟲利用發(fā)光的生物學(xué)特性而表現(xiàn)出來的覓食、求偶、警戒等社會(huì)性行為。算法提出后，受到國內(nèi)外許多學(xué)者的關(guān)注和研究，并且已經(jīng)成功應(yīng)用于組合優(yōu)化［3］、路徑規(guī)劃［4］、圖像處理［5］、經(jīng)濟(jì)調(diào)度［6］等領(lǐng)域。與其他優(yōu)化算法類似，基本FA算法的隨機(jī)性較大，且存在收斂速度慢、求解精度不高的問題。為此，國內(nèi)外學(xué)者對該算法進(jìn)行不少的研究，劉長平［7］通過邏輯自映射函數(shù)產(chǎn)生混沌序列，引入到螢火蟲算法中對精英個(gè)體進(jìn)行混沌優(yōu)化，同時(shí)動(dòng)態(tài)收縮搜索空間以加快收斂速度；S.M.Farahani［8］在每一次迭代中通過高斯分布使所有螢火蟲向全局最優(yōu)的螢火蟲移動(dòng)來增加算法的收斂速度；X.S.Yang［9］在基本螢火蟲算法中加入Levy飛行移動(dòng)策略，增強(qiáng)了算法的尋優(yōu)性能；A.Gandomi［10］把12種混沌映射引入到螢火蟲算法中，并分析了不同的混沌映射對于標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)優(yōu)化的影響；M.Subutic［11］提出了一種求解非約束優(yōu)化問題的并行螢火蟲算法；A.Abdullah［12］提出了一種混合進(jìn)化螢火蟲算法，它把差分進(jìn)化算法的進(jìn)化操作融入到螢火蟲算法中，改善了算法的搜索精度和螢火蟲之間的信息共享；S.Farahani［13］提出了3種改進(jìn)基本螢火蟲的方法：1）利用學(xué)習(xí)自動(dòng)機(jī)影響吸收因子和隨機(jī)化參數(shù)，2）將遺傳算法和螢火蟲算法混合，3）根據(jù)高斯分布隨機(jī)移動(dòng)以保證螢火蟲遍布整個(gè)搜索空間；馮艷紅［14］提出一種基于混沌理論的動(dòng)態(tài)種群螢火蟲算法，提高了算法的全局收斂能力。上述改進(jìn)的算法雖然取得了一定的效果，但算法在收斂性、穩(wěn)健性方面還有改進(jìn)的空間。

本文從提高個(gè)體的多樣性角度出發(fā)，通過在螢火蟲算法中引入單純形法的反射、擴(kuò)張、壓縮操作對較差位置的螢火蟲作改進(jìn)，提高個(gè)體的多樣性，避免其陷入局部最優(yōu)，以提高算法的求解精度。通過對標(biāo)準(zhǔn)測試函數(shù)以及非線性方程組的實(shí)驗(yàn)仿真，并與其他算法進(jìn)行的對比分析表明了文中提出的基于單純形法的螢火蟲算法具有較強(qiáng)的跳出局部極值能力和較高的計(jì)算精度。

1 單純形法的螢火蟲算法

1.1 基本螢火蟲算法

在自然界中，大約存在2 000多種螢火蟲，大多數(shù)種類都會(huì)發(fā)出其獨(dú)特的熒光，目前對螢火蟲發(fā)光的真實(shí)目的還不清楚，一般認(rèn)為螢火蟲利用閃光信號來吸引異性或者是吸引潛在的獵物，實(shí)現(xiàn)求偶或覓食的目的。螢火蟲算法就是模擬這種發(fā)光的生物學(xué)特性而表現(xiàn)出來的社會(huì)性行為而設(shè)計(jì)的隨機(jī)優(yōu)化算法。在螢火蟲算法中存在2個(gè)關(guān)鍵的要素：自身亮度和吸引度。自身亮度反映了螢火蟲位置的優(yōu)劣，亮度小的螢火蟲會(huì)被亮度大的吸引，并向亮度大的螢火蟲方向移動(dòng)，吸引度影響著螢火蟲所要移動(dòng)的距離，通過螢火蟲的移動(dòng)，每個(gè)個(gè)體自身亮度和吸引度得到不斷更新，最終實(shí)現(xiàn)目標(biāo)優(yōu)化的目的［2］。

在螢火蟲算法中［1］，螢火蟲吸引度的大小和亮度的大小是成正比的，亮度由目標(biāo)函數(shù)決定。一個(gè)螢火蟲在坐標(biāo)為X的位置，它的亮度I可以取I（X）＝f（X），X的位置越好，它的亮度就越大，它對其他個(gè)體的吸引度隨著它們之間距離的增加而變小，另外在熒光傳輸?shù)倪^程中，會(huì)被傳播介質(zhì)吸收一部分，所以吸引度的大小還和介質(zhì)吸收因子有關(guān)。因此，一個(gè)螢火蟲對距離其r處的亮度I稱為相對亮度。

式中：I0是螢火蟲對距離其r＝0處的熒光亮度，γ是介質(zhì)吸收因子，rij是螢火蟲i到螢火蟲j的歐式距離。螢火蟲的吸引度β被定義為

式中：β0為螢火蟲對距離r＝0處的吸引度，βmin為最小吸引度，βmin＝0.2。螢火蟲i被螢火蟲j吸引的移動(dòng)公式為

式中：xi、xj分別表示螢火蟲i和j的位置，α為步長因子，rand表示［0，1］上服從均勻分布的隨機(jī)因子。為使算法效果更好，在式中用αSk來代替α，其中Sk表示空間規(guī)模參數(shù)，并使α隨著迭代次數(shù)的增加逐漸的減小，其更新公式為

α＝α（10＾（－4）／α0）＾（1／N Gen）

式中：α0選0.9，N Gen表示最大迭代次數(shù)。

1.2 單純形法策略

為提高螢火蟲算法的搜索性能，本文引入傳統(tǒng)的單純形法策略［15?16］，在一次迭代完成之后，利用單純形法搜索策略，選擇K個(gè)位置較差的螢火蟲進(jìn)行優(yōu)化。單純形法是指在一個(gè)空間中構(gòu)造一個(gè)多面體，求出多面體各個(gè)頂點(diǎn)的適應(yīng)值并作比較，找出最優(yōu)點(diǎn)、次優(yōu)點(diǎn)以及最差點(diǎn)，通過反射、壓縮、擴(kuò)張等操作更新最差點(diǎn)，形成一個(gè)新的多面體。它是一種局域的搜索方法，具有簡單易用、適用范圍廣、收斂速度快的特點(diǎn)。假設(shè)較差螢火蟲的位置為xs，xc為最優(yōu)位置和次優(yōu)位置的中心。

反射操作：xr＝xc＋δ（xc－xs），xr為反射點(diǎn)，反射系數(shù)δ通常取1。

擴(kuò)張操作：xt＝xc＋φ（xs－xc），xe為擴(kuò)張點(diǎn)，擴(kuò)張系數(shù)φ通常取2。

壓縮操作：xt＝xc＋φ（xs－xc），xt為壓縮點(diǎn)，壓縮系數(shù)φ通常取0.5。

收縮操作：xw＝xc－φ（xs－xc），xw為收縮點(diǎn)，收縮系數(shù)與壓縮系數(shù)相同。

單純形法的步驟如下：

1）計(jì)算所有搜索點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)值，找到最優(yōu)點(diǎn)xg，次優(yōu)點(diǎn)xb，對應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)分別記為f（xg）、f（xb），計(jì)算它們的中心位置：xc＝（xg＋xb）／2。

2）找出若干個(gè)較差螢火蟲的位置，取其中一個(gè)記為xs，目標(biāo)函數(shù)值記為f（xs）。將xs執(zhí)行反射操作，得到反射點(diǎn)xr。

3）如果f（xr）＞f（xg），說明反射方向正確，執(zhí)行擴(kuò)張操作得到擴(kuò)張點(diǎn)xe，如果f（xe）＞f（xg），則用xe取代xs，否則，用xr取代xs。

4）如果f（xr）＜f（xs），說明反射方向更差，執(zhí)行壓縮操作得到壓縮點(diǎn)xt，如果f（xt）＞f（xs），則用xt取代xs。

5）如果f（xs）＜f（xr）＜f（xg），執(zhí)行收縮操作得到收縮點(diǎn)xw，如果f（xw）＞f（xs），則用xw取代xs，否則，用xr取代xs。

圖1 單純形法搜索Fig.1 The searching of sim p lex method

1.3 基于單純形法的螢火蟲算法

從上面的分析可以看出，螢火蟲算法和其他的算法一樣存在步長因子α和吸引度β的確定不易性問題，定得小了，局部搜索的精度提高，但要實(shí)現(xiàn)整體區(qū)域的搜索所需的時(shí)間必定會(huì)長；而若定得大了，則搜索精度不高。因此，在螢火蟲算法的搜索過程中，通過其他方式增加算法的局部的搜索機(jī)制是一個(gè)改進(jìn)算法性能的思考方向。為此，擬結(jié)合以單純形法的局部性能改進(jìn)螢火蟲算法性能。通過在算法過程中，以適當(dāng)?shù)姆绞皆黾訂渭冃畏ǖ木植克阉兀岣呶灮鹣x算法的局部性能。

1.4 基于單純形法的螢火蟲算法流程

1）初始化算法的參數(shù)，螢火蟲數(shù)目m，步長因子α0，最大吸引度β0，最小吸引度βmin，介質(zhì)吸收因子γ，最大迭代次數(shù)Tmax；

2）隨機(jī)初始化m個(gè)螢火蟲的位置Xi（i＝1，2，..，m），計(jì)算各自的目標(biāo)值作為自己的最大亮度I0；

3）根據(jù)式（1）、（2）計(jì)算各個(gè)螢火蟲之間的相對亮度I和吸引度β，依照I的大小確定螢火蟲的移動(dòng)方向；

4）利用式（3）對螢火蟲的位置進(jìn)行更新，隨機(jī)擾動(dòng)處在最好位置的螢火蟲；

5）根據(jù)上述單純形法的步驟來更新較差螢火蟲的位置，重新計(jì)算更新后螢火蟲的亮度；

6）判斷是否滿足結(jié)束條件，若是，轉(zhuǎn)到7），否則轉(zhuǎn)3），進(jìn)入下一次搜索；

7）輸出最優(yōu)位置和最優(yōu)解。

2 仿真實(shí)驗(yàn)

本文對14個(gè)標(biāo)準(zhǔn)測試函數(shù)和2個(gè)非線性方程組進(jìn)行仿真測試來證明SMFA算法的性能。實(shí)驗(yàn)仿真在MATLAB 2012a上實(shí)現(xiàn)。參數(shù)設(shè)置：SMFA中，種群規(guī)模為N＝20，每次用單純形策略優(yōu)化的螢火蟲個(gè)數(shù)取K＝10，步長因子α0＝0.9，最大吸引度β0＝1，最小吸引度βmin＝0.2，介質(zhì)吸收因子γ＝1，最大迭代次數(shù)為200。PSO算法中設(shè)置的種群大小為400，GA算法利用的是GATOOL工具箱，設(shè)置的交概率為0.95，變異概率為0.05，種群規(guī)模為1 000。

2.1 標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)測試

對每個(gè)函數(shù)獨(dú)立運(yùn)行20次，表1列出了標(biāo)準(zhǔn)測試函數(shù)的搜索空間、維數(shù)以及最優(yōu)值等參數(shù)；表2列出了20次實(shí)驗(yàn)得到的最好值、最差值、平均值以及標(biāo)準(zhǔn)差，并與GA、FA、PSO進(jìn)行比較。為了直觀地反映出算法的尋優(yōu)效果，給出了函數(shù)的收斂曲線圖，如圖2～15。

表1 測試函數(shù)及參數(shù)取值Table 1 The test function and its parameter value

表2 不同算法的測試結(jié)果對比Table 2 Com parison of experiments results of different algorithm s

續(xù)表1

圖2 函數(shù)f1（x）的收斂曲線圖Fig.2 Convergence curve of function 1

圖3 函數(shù)f2（x）的收斂曲線圖Fig.3 Convergence curve of function 2

圖4 函數(shù)f3（x）的收斂曲線圖Fig.4 Convergence curve of function 3

圖5 函數(shù)f4（x）的收斂曲線圖Fig.5 Convergence curve of function 4

圖6 函數(shù)f5（x）的收斂曲線圖Fig.6 Convergence curve of function 5

圖7 函數(shù)f6（x）的收斂曲線圖Fig.7 Convergence curve of function 6

圖8 函數(shù)f7（x）的收斂曲線圖Fig.8 Convergence curve of function 7

圖9 函數(shù)f8（x）的收斂曲線圖Fig.9 Convergence curve of function 8

圖10 函數(shù)f9（x）的收斂曲線圖Fig.10 Convergence curve of function 9

圖11 函數(shù)f10（x）的收斂曲線圖Fig.11 Convergence curve of function 10

圖12 函數(shù)f11（x）的收斂曲線圖Fig.12 Convergence curve of function 11

圖13 函數(shù)f12（x）的收斂曲線圖Fig.13 Convergence curve of function 12

圖14 函數(shù)f13（x）的收斂曲線圖Fig.14 Convergence curve of function 13

圖15 函數(shù)f14（x）的收斂曲線圖Fig.15 Convergence curve of function 14

從表2中的結(jié)果可以看出，SMFA與GA、PSO、FA相比，SMFA有更好的搜索最優(yōu)值能力，所得到的結(jié)果更加接近標(biāo)準(zhǔn)值。對于單峰函數(shù)f1，SMFA的求解精度比FA提高2個(gè)數(shù)量級。對于函數(shù)f2，SMFA的求解精度最高，比GA、PSO高了3個(gè)數(shù)量級，比FA提高了2個(gè)數(shù)量級。對于單峰函數(shù)f3，SMFA的求解精度最高，平均求解精度比GA、PSO、FA都提高了2個(gè)數(shù)量級。對于函數(shù)f4，GA沒能找到理想值，SMFA的求解精度最高，比FA提高了5個(gè)數(shù)量級，比PSO提高了4個(gè)數(shù)量級。對于多峰函數(shù)f5，SMFA的最優(yōu)值求解精度達(dá)到e－5，平均的求解精度比GA、PSO、FA都提高了一個(gè)數(shù)量級。對于函數(shù)f6，SMFA的最優(yōu)值求解精度達(dá)到e－7，平均求解精度比FA提高了5個(gè)數(shù)量級，GA和PSO在最大迭代次數(shù)內(nèi)沒有找到最優(yōu)解。對于多峰函數(shù)f7，GA的求解效果最好，F(xiàn)A、SMFA、PSO都不能得到理想最優(yōu)解，相比較而言，SMFA比FA、PSO求解效果要好。對于多峰函數(shù)f8，SMFA的求解精度最高，平均求解精度比FA提高一個(gè)數(shù)量級，比GA提高2個(gè)數(shù)量級，比PSO提高3個(gè)數(shù)量級。對于多峰函數(shù)f9，它是一個(gè)二維函數(shù)，PSO求解的最優(yōu)值為0，其求解精度明顯高于SMFA、FA和GA，SMFA、FA和GA的求解精度相同。對于函數(shù)f10，SMFA的標(biāo)準(zhǔn)差比FA的標(biāo)準(zhǔn)差提高了5個(gè)數(shù)量級，說明了SMFA有著更強(qiáng)的魯棒性和穩(wěn)定性。對于函數(shù)f11，GA和FA無法在迭代次數(shù)內(nèi)找出最優(yōu)解，SMFA的求解精度達(dá)到e－6，比PSO提高4個(gè)數(shù)量級。對于函數(shù)f12，SMFA的求解精度最高，最優(yōu)值求解精度達(dá)到e－19，平均求解精度比FA提高5個(gè)數(shù)量級，比GA、PSO提高4個(gè)數(shù)量級。對于函數(shù)f13，SMFA的性能明顯優(yōu)于FA，標(biāo)準(zhǔn)差遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于FA，說明SMFA更穩(wěn)定。對于函數(shù)f14，PSO沒有找到理想值，SMFA的最優(yōu)值求解精度比FA高出2個(gè)數(shù)量級。從上面的數(shù)據(jù)也可以看出，SMFA在高維空間的搜索能力比PSO更強(qiáng)。從圖2～15可以直觀地看出，SMFA能夠跳出局部最優(yōu)，使得求解的精度更高，它的搜索性能要強(qiáng)于其他算法。

2.2 非線性方程組測試

方程組1［15］

測試結(jié)果［16－17］：

表3 不同算法求解方程組1的統(tǒng)計(jì)結(jié)果Table 3 Statistical results of each algorithm for equations 1

方程組2［47］

測試結(jié)果［16－17］：

表4 不同算法求解方程組2的統(tǒng)計(jì)結(jié)果Table 4 Statistical results of each algorithm for equations 2

從表格3和表格4的結(jié)果可以看出，F(xiàn)A和SMFA相比較牛頓法、Effati算法、進(jìn)化算法來說，求出的結(jié)果更接近理論最優(yōu)值。SMFA比FA有更高的求解精度。

3 結(jié)束語

本文針對基本螢火蟲算法存在易陷入局部最優(yōu)、求解精度低的不足，提出了一種基于單純形法的螢火蟲算法（SMFA）。算法中通過單純形搜索策略對較差位置的螢火蟲作改進(jìn)，有效地避免了算法陷入局部最優(yōu)。通過對標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)和非線性方程組的仿真實(shí)驗(yàn)，證明了SMFA算法的有效性和可行性，在跳出局部最優(yōu)能力、求解精度以及魯棒性方面都要優(yōu)于基本的FA算法。關(guān)于算法的收斂性證明以及算法的應(yīng)用是進(jìn)一步要做的工作。

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莫愿斌，男，1969年生，副教授，博士，主要研究方向?yàn)橹悄苄畔⑻幚砼c應(yīng)用。

補(bǔ)充一些學(xué)術(shù)成就及論文發(fā)表情況

馬彥追，男，1987年生，碩士研究生，主要研究方向?yàn)橛?jì)算智能。

鄭巧燕，女，1989年生，碩士研究生，主要研究方向?yàn)橛?jì)算智能。

Improved firefly algorithm based on simp lex method and its app lication in solving non?linear equation groups

MO Yuanbin1，2，MA Yanzhui1，ZHENG Qiaoyan1，YUANWeijun2
（1.College of Information Science and Engineering，GuangxiUniversity for Nationalities，Nanning 530006，China；2.Guangxi Key La?boratory of Mixed Computing Integrated Circuit Design and Analysis，Nanning 530006，China）

The firefly algorithm（FA）is a heuristic random optimization algorithm based on groupization.It simu?lates the social behavior of firefly in the natural environment represented in its biological characteristics of shining.FA has disadvantages in global searching，such as slow convergence speed，high possibility of being trapped in lo?cal optimum and low solving precision.An improved FA based on the simplex method is proposed.The proposed method combines the characteristics of speedy local search of simplexmethod with the global optimization of firefly algorithm.The simplexmethod modifies the firefly，which is located at poor positions through its reflection，expan?sion and compression operation.However，it improves the diversity of individuals and avoids falling into local opti?mum and improves the precision of the algorithm.The results showed that through simulations of standard bench?mark functions and nonlinear functions and contrasted with other algorithms，the improved algorithm has a strong advantage in function optimization.It also avoids trapping in local optimum and improves the calculation accuracy to a certain extent.

firefly algorithm；simplexmethod；function optimization；non?linear equation groups

TP18

A

1673?4785（2014）06?0747?09

莫愿斌，馬彥追，鄭巧燕，等.單純形法的改進(jìn)螢火蟲算法及其在非線性方程組求解中的應(yīng)用［J］.智能系統(tǒng)學(xué)報(bào)，2014，9（6）：747?755.

英文引用格式：MO Yuanbin，MA Yanzhui，ZHENG Qiaoyan，et al.Improved firefly algorithm based on sim plexmethod and its ap?plication in solving non?linear equation groups［J］.CAAITransactions on Intelligent Systems，2014，9（6）：747?755.

10.3969／j.issn.1673?4785.201309075

http：／／www.cnki.net／kcms／doi／10.3969／j.issn.1673?4785.201309075.htm l

2013?09?25.

日期：2014?09?30.

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（21466008）；廣西民族大學(xué)科研資助項(xiàng)目（2014MDYB030）.

莫愿斌.E?mail：674148582＠qq.com.