三視圖問題的求解誤區(qū)

王健

以三視圖為背景，考查立體幾何基礎(chǔ)知識及空間想象能力是高考的熱點，也是我省近幾年選擇題與填空題中的常態(tài)題.然而，三視圖問題看似常規(guī)，有時候卻極易出錯.

由直觀圖轉(zhuǎn)換到三視圖的誤區(qū)

（1） 忽視觀察的方位

例1 [2012年紹興市高三教學(xué)質(zhì)量調(diào)測卷（理科）第7題] 某幾何體的正視圖如圖1所示，則該幾何體的俯視圖不可能是

錯解： 選A.

錯因分析： 未考慮到當(dāng)幾何體上部分為球、下部分為圓柱時，A即為該幾何體的俯視圖.錯解認為D有可能是該幾何體的俯視圖，則是因為忽視了觀察方位，沒有考慮到俯視圖是在幾何體的正前方從上向下觀察產(chǎn)生的.

正解： 由錯因分析可知A正確. 當(dāng)幾何體上部分為橫置的圓柱（圓柱的底面垂直紙面向外和向內(nèi)）、下部分為正四棱柱時，B正確. 當(dāng)幾何體上部分為球、下部分為正四棱柱時，C正確.如果D正確，則其正視圖中的正方形中間應(yīng)該有一條豎直的實線，這與題目所給的正視圖不符，所以D不可能是該幾何體的俯視圖.

點評： 在觀察幾何體時，正視圖，要從幾何體正前方往后觀察；側(cè)視圖，要從幾何體左側(cè)向右觀察；俯視圖，則要在幾何體的正前方從上向下觀察. 在這里要特別強調(diào)俯視圖的觀察位置，因為這是很容易被忽視的.

（2）忽視線的“虛實”

例2 [2012年高考數(shù)學(xué)陜西卷（文科）第8題] 將正方體（如圖2所示）截去兩個三棱錐，得到如圖3所示的幾何體，則該幾何體的側(cè)視圖為

錯解： 選C.

錯因分析： 從左向右觀察幾何體時，錯解沒有注意到B1C是被擋住的一條線段，認為它在側(cè)視圖中應(yīng)畫成實線，導(dǎo)致側(cè)視圖出錯.

正解： 從左向右觀察幾何體時，AD1是看得見的一條線段，所以畫成實線.線段B1C由于被擋住，所以是虛線，故選B.

點評： 為了真實準(zhǔn)確地反映物體的形狀，使視圖具有前后層次感，我們規(guī)定：看得見的線畫成實線，被其他部分遮擋而看不到的線畫成虛線.在例2中，由于從左向右觀察時，線段B1C被其他部分擋住，所以應(yīng)該畫成虛線.

由三視圖還原到幾何體的誤區(qū)

（1） 尺寸還原“張冠李戴”

例3 圖4是一個幾何體的三視圖，側(cè)視圖和正視圖均為矩形，俯視圖為正三角形，尺寸如圖4所示，則該幾何體的側(cè)面積為

（A） 6 （B） 12

（C） 24 （D） 3

錯解： 從三視圖中易得該幾何體為正三棱柱，底面正三角形的邊長為，所以S側(cè)=3××4=12.選B.

錯因分析： 尺寸還原時發(fā)生錯誤，誤將作為底面三角形的邊長.

正解： 由三視圖可得該幾何體為正三棱柱，側(cè)視圖的高為該正三棱柱的高，側(cè)視圖的寬等于俯視圖正三角形的高，所以正三角形邊長為=2，S側(cè)=3×2×4=24.選C.

點評： 在將三視圖還原到幾何體的過程中，很容易發(fā)生尺寸位置關(guān)系弄錯的情況.所以一定要抓住“長對正，高平齊，寬相等”的基本特征，對應(yīng)各個位置的尺寸關(guān)系，防止出錯.

（2） 形狀還原錯誤

例4 [2011年金華數(shù)學(xué)十校聯(lián)考（理科）第13題（改編）] 一個幾何體的三視圖（單位：cm）如圖5所示，則該幾何體的表面積為 cm2.

錯解： 由三視圖可得，該幾何體上部分為半徑r=1的半球，下部分為圓柱，所以S表=·4πr2+2·2πr+πr2.由r=1可得S表=7π.

錯因分析： 俯視圖判斷錯誤，導(dǎo)致三視圖還原失真.

正解： 由正視圖和側(cè)視圖可初步推測，該幾何體的上下兩部分分別是球與長方體或球與圓柱.再根據(jù)俯視圖左側(cè)有兩個直角的特點，可判斷出該幾何體的直觀圖如圖6所示：下部分是長方體ABCD-A′B′C′D′與半圓柱OO′，上部分是半球O′.所以S表=2SABB′A′+SADD′A′+SABCD+S半圓柱側(cè)+S半球+SA′B′C′D′=4+4+2+2π+2π+2=12+4π.

點評： 在將三視圖還原成幾何體或直觀圖的過程中，我們可以先看俯視圖進行猜測，如與矩形有關(guān)的一般可聯(lián)想到四棱柱、四棱錐、棱臺或躺倒的圓柱，與圓有關(guān)的可聯(lián)想到圓柱、圓錐、圓臺或球，與三角形有關(guān)的可聯(lián)想到三棱柱、三棱錐或圓錐等，然后再結(jié)合正視圖和側(cè)視圖，進一步分析幾何體的形狀特點.

以三視圖為背景，考查立體幾何基礎(chǔ)知識及空間想象能力是高考的熱點，也是我省近幾年選擇題與填空題中的常態(tài)題.然而，三視圖問題看似常規(guī)，有時候卻極易出錯.

由直觀圖轉(zhuǎn)換到三視圖的誤區(qū)

（1） 忽視觀察的方位

例1 [2012年紹興市高三教學(xué)質(zhì)量調(diào)測卷（理科）第7題] 某幾何體的正視圖如圖1所示，則該幾何體的俯視圖不可能是

錯解： 選A.

錯因分析： 未考慮到當(dāng)幾何體上部分為球、下部分為圓柱時，A即為該幾何體的俯視圖.錯解認為D有可能是該幾何體的俯視圖，則是因為忽視了觀察方位，沒有考慮到俯視圖是在幾何體的正前方從上向下觀察產(chǎn)生的.

正解： 由錯因分析可知A正確. 當(dāng)幾何體上部分為橫置的圓柱（圓柱的底面垂直紙面向外和向內(nèi)）、下部分為正四棱柱時，B正確. 當(dāng)幾何體上部分為球、下部分為正四棱柱時，C正確.如果D正確，則其正視圖中的正方形中間應(yīng)該有一條豎直的實線，這與題目所給的正視圖不符，所以D不可能是該幾何體的俯視圖.

點評： 在觀察幾何體時，正視圖，要從幾何體正前方往后觀察；側(cè)視圖，要從幾何體左側(cè)向右觀察；俯視圖，則要在幾何體的正前方從上向下觀察. 在這里要特別強調(diào)俯視圖的觀察位置，因為這是很容易被忽視的.

（2）忽視線的“虛實”

例2 [2012年高考數(shù)學(xué)陜西卷（文科）第8題] 將正方體（如圖2所示）截去兩個三棱錐，得到如圖3所示的幾何體，則該幾何體的側(cè)視圖為

錯解： 選C.

錯因分析： 從左向右觀察幾何體時，錯解沒有注意到B1C是被擋住的一條線段，認為它在側(cè)視圖中應(yīng)畫成實線，導(dǎo)致側(cè)視圖出錯.

正解： 從左向右觀察幾何體時，AD1是看得見的一條線段，所以畫成實線.線段B1C由于被擋住，所以是虛線，故選B.

點評： 為了真實準(zhǔn)確地反映物體的形狀，使視圖具有前后層次感，我們規(guī)定：看得見的線畫成實線，被其他部分遮擋而看不到的線畫成虛線.在例2中，由于從左向右觀察時，線段B1C被其他部分擋住，所以應(yīng)該畫成虛線.

由三視圖還原到幾何體的誤區(qū)

（1） 尺寸還原“張冠李戴”

例3 圖4是一個幾何體的三視圖，側(cè)視圖和正視圖均為矩形，俯視圖為正三角形，尺寸如圖4所示，則該幾何體的側(cè)面積為

（A） 6 （B） 12

（C） 24 （D） 3

錯解： 從三視圖中易得該幾何體為正三棱柱，底面正三角形的邊長為，所以S側(cè)=3××4=12.選B.

錯因分析： 尺寸還原時發(fā)生錯誤，誤將作為底面三角形的邊長.

正解： 由三視圖可得該幾何體為正三棱柱，側(cè)視圖的高為該正三棱柱的高，側(cè)視圖的寬等于俯視圖正三角形的高，所以正三角形邊長為=2，S側(cè)=3×2×4=24.選C.

點評： 在將三視圖還原到幾何體的過程中，很容易發(fā)生尺寸位置關(guān)系弄錯的情況.所以一定要抓住“長對正，高平齊，寬相等”的基本特征，對應(yīng)各個位置的尺寸關(guān)系，防止出錯.

（2） 形狀還原錯誤

例4 [2011年金華數(shù)學(xué)十校聯(lián)考（理科）第13題（改編）] 一個幾何體的三視圖（單位：cm）如圖5所示，則該幾何體的表面積為 cm2.

錯解： 由三視圖可得，該幾何體上部分為半徑r=1的半球，下部分為圓柱，所以S表=·4πr2+2·2πr+πr2.由r=1可得S表=7π.

錯因分析： 俯視圖判斷錯誤，導(dǎo)致三視圖還原失真.

正解： 由正視圖和側(cè)視圖可初步推測，該幾何體的上下兩部分分別是球與長方體或球與圓柱.再根據(jù)俯視圖左側(cè)有兩個直角的特點，可判斷出該幾何體的直觀圖如圖6所示：下部分是長方體ABCD-A′B′C′D′與半圓柱OO′，上部分是半球O′.所以S表=2SABB′A′+SADD′A′+SABCD+S半圓柱側(cè)+S半球+SA′B′C′D′=4+4+2+2π+2π+2=12+4π.

點評： 在將三視圖還原成幾何體或直觀圖的過程中，我們可以先看俯視圖進行猜測，如與矩形有關(guān)的一般可聯(lián)想到四棱柱、四棱錐、棱臺或躺倒的圓柱，與圓有關(guān)的可聯(lián)想到圓柱、圓錐、圓臺或球，與三角形有關(guān)的可聯(lián)想到三棱柱、三棱錐或圓錐等，然后再結(jié)合正視圖和側(cè)視圖，進一步分析幾何體的形狀特點.

以三視圖為背景，考查立體幾何基礎(chǔ)知識及空間想象能力是高考的熱點，也是我省近幾年選擇題與填空題中的常態(tài)題.然而，三視圖問題看似常規(guī)，有時候卻極易出錯.

由直觀圖轉(zhuǎn)換到三視圖的誤區(qū)

（1） 忽視觀察的方位

例1 [2012年紹興市高三教學(xué)質(zhì)量調(diào)測卷（理科）第7題] 某幾何體的正視圖如圖1所示，則該幾何體的俯視圖不可能是

錯解： 選A.

錯因分析： 未考慮到當(dāng)幾何體上部分為球、下部分為圓柱時，A即為該幾何體的俯視圖.錯解認為D有可能是該幾何體的俯視圖，則是因為忽視了觀察方位，沒有考慮到俯視圖是在幾何體的正前方從上向下觀察產(chǎn)生的.

正解： 由錯因分析可知A正確. 當(dāng)幾何體上部分為橫置的圓柱（圓柱的底面垂直紙面向外和向內(nèi)）、下部分為正四棱柱時，B正確. 當(dāng)幾何體上部分為球、下部分為正四棱柱時，C正確.如果D正確，則其正視圖中的正方形中間應(yīng)該有一條豎直的實線，這與題目所給的正視圖不符，所以D不可能是該幾何體的俯視圖.

點評： 在觀察幾何體時，正視圖，要從幾何體正前方往后觀察；側(cè)視圖，要從幾何體左側(cè)向右觀察；俯視圖，則要在幾何體的正前方從上向下觀察. 在這里要特別強調(diào)俯視圖的觀察位置，因為這是很容易被忽視的.

（2）忽視線的“虛實”

例2 [2012年高考數(shù)學(xué)陜西卷（文科）第8題] 將正方體（如圖2所示）截去兩個三棱錐，得到如圖3所示的幾何體，則該幾何體的側(cè)視圖為

錯解： 選C.

錯因分析： 從左向右觀察幾何體時，錯解沒有注意到B1C是被擋住的一條線段，認為它在側(cè)視圖中應(yīng)畫成實線，導(dǎo)致側(cè)視圖出錯.

正解： 從左向右觀察幾何體時，AD1是看得見的一條線段，所以畫成實線.線段B1C由于被擋住，所以是虛線，故選B.

點評： 為了真實準(zhǔn)確地反映物體的形狀，使視圖具有前后層次感，我們規(guī)定：看得見的線畫成實線，被其他部分遮擋而看不到的線畫成虛線.在例2中，由于從左向右觀察時，線段B1C被其他部分擋住，所以應(yīng)該畫成虛線.

由三視圖還原到幾何體的誤區(qū)

（1） 尺寸還原“張冠李戴”

例3 圖4是一個幾何體的三視圖，側(cè)視圖和正視圖均為矩形，俯視圖為正三角形，尺寸如圖4所示，則該幾何體的側(cè)面積為

（A） 6 （B） 12

（C） 24 （D） 3

錯解： 從三視圖中易得該幾何體為正三棱柱，底面正三角形的邊長為，所以S側(cè)=3××4=12.選B.

錯因分析： 尺寸還原時發(fā)生錯誤，誤將作為底面三角形的邊長.

正解： 由三視圖可得該幾何體為正三棱柱，側(cè)視圖的高為該正三棱柱的高，側(cè)視圖的寬等于俯視圖正三角形的高，所以正三角形邊長為=2，S側(cè)=3×2×4=24.選C.

點評： 在將三視圖還原到幾何體的過程中，很容易發(fā)生尺寸位置關(guān)系弄錯的情況.所以一定要抓住“長對正，高平齊，寬相等”的基本特征，對應(yīng)各個位置的尺寸關(guān)系，防止出錯.

（2） 形狀還原錯誤

例4 [2011年金華數(shù)學(xué)十校聯(lián)考（理科）第13題（改編）] 一個幾何體的三視圖（單位：cm）如圖5所示，則該幾何體的表面積為 cm2.

錯解： 由三視圖可得，該幾何體上部分為半徑r=1的半球，下部分為圓柱，所以S表=·4πr2+2·2πr+πr2.由r=1可得S表=7π.

錯因分析： 俯視圖判斷錯誤，導(dǎo)致三視圖還原失真.

正解： 由正視圖和側(cè)視圖可初步推測，該幾何體的上下兩部分分別是球與長方體或球與圓柱.再根據(jù)俯視圖左側(cè)有兩個直角的特點，可判斷出該幾何體的直觀圖如圖6所示：下部分是長方體ABCD-A′B′C′D′與半圓柱OO′，上部分是半球O′.所以S表=2SABB′A′+SADD′A′+SABCD+S半圓柱側(cè)+S半球+SA′B′C′D′=4+4+2+2π+2π+2=12+4π.

點評： 在將三視圖還原成幾何體或直觀圖的過程中，我們可以先看俯視圖進行猜測，如與矩形有關(guān)的一般可聯(lián)想到四棱柱、四棱錐、棱臺或躺倒的圓柱，與圓有關(guān)的可聯(lián)想到圓柱、圓錐、圓臺或球，與三角形有關(guān)的可聯(lián)想到三棱柱、三棱錐或圓錐等，然后再結(jié)合正視圖和側(cè)視圖，進一步分析幾何體的形狀特點.