多維二參數(shù)Logistic項(xiàng)目反應(yīng)模型的Gibbs抽樣法

付志慧，李 斌

（沈陽師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，沈陽 110034）

0 引 言

項(xiàng)目反應(yīng)理論在心理與教育測(cè)量領(lǐng)域中具有廣闊的應(yīng)用前景［1－2］。它以潛在特質(zhì)理論為基礎(chǔ)，核心內(nèi)容是研究潛在心理特質(zhì)和反應(yīng)行為之間的關(guān)系，在此基礎(chǔ)上，可以分析出被試潛在心理特質(zhì)（即能力）與項(xiàng)目特性（難度、區(qū)分度等）之間的相互影響。項(xiàng)目反應(yīng)模型按照能力維度可分為單維和多維。單維項(xiàng)目反應(yīng)模型假定測(cè)驗(yàn)的所有題目只考查同一種潛在特質(zhì)。但是實(shí)際心理過程是非常復(fù)雜的，且考試（教育測(cè)驗(yàn)）通?？疾槎鄠€(gè)能力。本文主要研究多維二參數(shù)Logistic（2PLM）的Gibbs抽樣方法。

項(xiàng)目反應(yīng)理論參數(shù)估計(jì)方法有4種［4］，條件極大似然估計(jì)（CMLE：condition maximum likelihood estimation），邊際極大似然估計(jì)與EM 算法［4－5］（MMLE／EM：marginal maximum likelihood estimation and an EM algorithm），聯(lián)合極大似然估計(jì)（JMLE：joint maximum likelihood estimation），Bayes估計(jì)。CMLE以一種參數(shù)已知為條件，即項(xiàng)目參數(shù)已知求能力值或能力參數(shù)已知求項(xiàng)目值。能力的條件估計(jì)適用于抽取題庫項(xiàng)目來估計(jì)被試能力，若在題庫未建立前，項(xiàng)目參數(shù)和能力參數(shù)皆是未知，CMLE不再適用。Birnbaum提出了聯(lián)合極大似然估計(jì)。JMLE可在一定假設(shè)下，轉(zhuǎn)化為項(xiàng)目參數(shù)的估計(jì)和能力參數(shù)的估計(jì)。兩種估計(jì)是一個(gè)不斷互相校正的過程，反復(fù)迭代求取穩(wěn)定值，可以看成是兩步估計(jì)的過程。但聯(lián)合極大似然估計(jì)有其固有的缺陷：給定長(zhǎng)度測(cè)試中（即項(xiàng)目個(gè)數(shù)是固定的），隨著被試人數(shù)的增加，能力參數(shù)的個(gè)數(shù)也相應(yīng)增加，稱之伴隨參數(shù)；不隨被試人數(shù)增加而增加的項(xiàng)目參數(shù)，稱之為結(jié)構(gòu)參數(shù)；當(dāng)同時(shí)估計(jì)能力參數(shù)和項(xiàng)目參數(shù)時(shí)，伴隨參數(shù)可能不存在充分統(tǒng)計(jì)量，因此得出估計(jì)不一定滿足相合性。消除JLME固有的缺陷只有消除伴隨參數(shù)的影響。MMLE／EM算法將能力參數(shù)邊際化，給定能力的先驗(yàn)分布，對(duì)能力參數(shù)進(jìn)行積分，從而來消除能力參數(shù)，在一般條件下該算法可以收斂，計(jì)算比較簡(jiǎn)單，但它對(duì)能力需要進(jìn)行數(shù)值積分近似計(jì)算，在能力維數(shù)較高時(shí)，會(huì)給計(jì)算帶來很大困難［6］。為了提高估計(jì)的質(zhì)量，除了當(dāng)前樣本數(shù)據(jù)，還可以利用客觀信息和經(jīng)驗(yàn)積累的信息，先驗(yàn)信息的加入，參數(shù)估計(jì)更加穩(wěn)定，也更合理和符合實(shí)際。Albert（1992）給出了二參數(shù)正態(tài)卵形的一種Gibbs抽樣方法［7］。Sahu（2002）將其推廣到三參數(shù)正態(tài)卵形模型［8］。Van der Linden（2007）針對(duì)結(jié)合反應(yīng)時(shí)間和反應(yīng)速度的測(cè)驗(yàn)，用對(duì)數(shù)正態(tài)模型來擬合被試的反應(yīng)時(shí)間，用三參數(shù)正態(tài)卵形IRT模型擬合反應(yīng)得分，將二者結(jié)合后給出了Gibbs抽樣方法［9］。本文考慮更為一般的多維2PLM，給出了一種基于增加數(shù)據(jù)的Gibbs抽樣方法，易于求出每個(gè)參數(shù)的后驗(yàn)分布，從而直接給出參數(shù)的Bayes后驗(yàn)估計(jì)。

1 模型介紹和先驗(yàn)假設(shè)

假定有N個(gè)被試，n個(gè)項(xiàng)目，yij表示第j個(gè)被試對(duì)第i個(gè)項(xiàng)目的反應(yīng)，答對(duì)取值為1，答錯(cuò)取值為0。令pij表示第j個(gè)被試對(duì)第i個(gè)項(xiàng)目正確反應(yīng)的概率，我們采用多變量Logistic反應(yīng)函數(shù)，形式為：

其中，i＝1，2，…，n，j＝1，2，…，N，θj＝（θj1，…，θjk，…，θjm）為被試j的能力，各維度能力取值范圍均為－∞＜θjk＜∞，j＝1，2，…，N，k＝1，2，…，m；ai＝（ai1，…，aik，…，aim），aik＞0，i＝1，2，…，n，k＝1，2，…，m是由項(xiàng)目i在各維度能力上的載荷aik生成的向量，稱為區(qū)分度參數(shù)；bi＝（bi1，…，bik，…，bim）.－∞＜bik＜∞，i＝1，2，…，n，k＝1，2，…，m，為項(xiàng)目i的難度參數(shù)向量；特別地，當(dāng)m＝1時(shí)，模型（1）退化為單維2PLM。

令ζ＝（θ，a，b，σ），其中a＝（aik）n×m，b＝（bik）n×m，且（·）n×m表示n×m矩陣。多維2PLM 下，參數(shù)ζ的后驗(yàn)分布為：其中D為比例常數(shù)。

2 潛在變量的引入及Gibbs抽樣過程

對(duì)應(yīng)于反應(yīng)數(shù)據(jù)yij，引入2個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量uij。其中uij服從均勻分布，uij～Uniform（0，1）。由模型（1）易知，潛變量μij要受到y(tǒng)ij取值的約束，令

令u＝（uij）n×N，y＝（yij）n×N，隨著潛變量u的引入，（ζ，u）的聯(lián)合后驗(yàn)密度為：

進(jìn)而，由式（3），有

首先，在給定反應(yīng)數(shù)據(jù)和其他參數(shù)的情形下，抽取uij。在算法的每一步都要滿足式（2）。1）uij的滿條件分布為

2）給定a，b，σ2的滿條件分布為

由式（3），對(duì)于任意i，k，令

3）則給定其他所有參數(shù)和u，r，y，，i＝1，2，…，n，k＝1，2，…，m的滿條件分布為

4）同理，θjk，j＝1，2，…，N，k＝1，2，…，.m的滿條件分布為

其中，θj（k）是向量θj將第k個(gè)元素θjk刪除后得到的余向量，即

N（vk，）是θjk在給定θj（k）下的條件分布，條件均值和條件方差分別為

（關(guān)于vk和的詳細(xì)計(jì)算過程見附錄），且

5）給定其他所有參數(shù)和u，r，y，aik，i＝1，2，…，n，k＝1，2，…，m的滿條件分布為

其中

以下給出了具體的Gibbs抽樣步驟（具體程序由Matlab軟件編寫）。

第1步 從式（5）中抽取u；

第2步 從式（6）中抽取σ2；

第3步 從式（7）中抽取b；

第4步 從式（8）中抽取θ；

第5步 從式（11）中抽取a。

3 結(jié) 論

以上討論了多維二參數(shù)LOGISTIC模型的Gibbs抽樣問題，采用本文討論的方法，可簡(jiǎn)單解決該模型的參數(shù)估計(jì)問題，這一結(jié)果對(duì)IRT的發(fā)展，對(duì)多維項(xiàng)目在測(cè)驗(yàn)中的應(yīng)用是很有意義的，在此基礎(chǔ)上，還可以進(jìn)一步討論多維項(xiàng)目反應(yīng)模型的其他問題，如縱向測(cè)驗(yàn)［10－11］、多層IRT測(cè)驗(yàn)［12］、參數(shù)估計(jì)優(yōu)化問題［13－15］等。

附錄

條件均值及方差的詳細(xì)計(jì)算過程

若要計(jì)算θjk的條件均值vk和條件方差（公式（10）），首先對(duì)θj進(jìn)行置換。令

Pk1＝（pst）m×m為置換陣，第（s，t）個(gè)元素為

由θj～Nm（μ，Σθ）有（k）～Nm（μ＊（k），（k）），其中

為了求θjk的條件分布，將向量（k）分成兩塊，因此得：

（μj（k）為θj（k）的數(shù)學(xué)期望，即μj（k）＝E（θj（k））。且

因此在給定時(shí)的條件分布為：

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