一種迭代未知輸入觀測器設計

朱芳來，張永軍

（同濟大學 電子與信息工程學院，上海 201804）

在實際的控制系統(tǒng)中廣泛地存在具有未知輸入的控制系統(tǒng).針對具有未知輸入系統(tǒng)狀態(tài)進行觀測器設計是控制領域所關注的熱點問題之一.未知輸入觀測器（unknown input observers，UIO）在故障診斷和基于混沌同步的保密通訊［1］等領域中有重要的應用.

對未知輸入觀測器的研究始于20世紀70年代［2－3］，發(fā)展至今，無論是針對線性系統(tǒng)還是非線性系統(tǒng)，已經(jīng)有眾多的研究成果［4－5］.在早期，學者們主要是研究如何避免未知輸入的影響，提出狀態(tài)估計器.如文獻［6］通過找出合適的矩陣消除觀測器中未知輸入的存在，提出了直接設計線性系統(tǒng)的全維未知輸入觀測器的方法.文獻［7］在未知輸入只影響部分系統(tǒng)狀態(tài)且這些狀態(tài)可以由系統(tǒng)輸出得出的條件下繞開未知輸入的影響給出了降維觀測器的設計方法.文獻［8］給出了未知輸入觀測器存在的充要條件.文獻［9］提出了輸入可觀性的概念和系統(tǒng)化的輸入重構方法.之后，狀態(tài)和未知輸入一并估計的未知輸入觀測器設計方法得到了重視［10－13］.比如，文獻［14］針對具有未知輸入和可測干擾的線性系統(tǒng)提出了降維觀測器的設計方法，該方法通過選取合適的降維觀測器增益來處理未知輸入和可測量干擾.文獻［15］提出了一種魯棒H∞滑模描述觀測器，對具有未知輸入或者輸出干擾的不確定系統(tǒng)提出了狀態(tài)估計及未知輸入重構方法.

從上面對未知輸入觀測器的研究動態(tài)的分析可以看出，如何提出未知輸入的重構方法是該領域的一個被關注的熱點之一，因而，如何提出新的未知輸入重構方法具有重大的意義.本文結合迭代學習控制的思想嘗試提出一種新的未知輸入估計方法，同時還考慮了狀態(tài)的估計問題.

1 迭代未知輸入觀測器設計的基本思想

考慮如下具有未知輸入的線性時不變系統(tǒng)：

式中：x（t）∈Rn為系統(tǒng)的狀態(tài)；y（t）∈Rn為可測輸出；u（t）∈Rm是已知控制輸入；η（t）∈Rr是未知輸入；而A，B，C和D都是適當維數(shù)的常數(shù)矩陣，且假設（A，C）為可觀測.

在η（t）為已知的假設前提下，可以直接設計如下的Luenberger觀測器：

為處理未知輸入的問題，提出如下的迭代未知觀測器設計思想：給出未知輸入η（t）的迭代估計初值η0（t），針對η0（t）考慮如下虛擬系統(tǒng)：

式中：x0（t）表示在初始迭代未知輸入η0（t）驅動下的系統(tǒng)狀態(tài)；η0（t）是用來逼近η（t）的第一估計，所以虛擬系統(tǒng)（3）就是一個不含未知因素的線性系統(tǒng)，根據(jù)原系統(tǒng)的可測輸出對其可以設計一般形式的Luenberger觀測器如式（4）：

在此基礎上，對未知輸入η（t）提出D型迭代估計，迭代出η1（t），其中Γ是迭代增益.

一般地，假設得到了η（t）的第k步迭代估計ηk（t），利用ηk（t）構造虛擬狀態(tài)方程

針對系統(tǒng)（5）基于原系統(tǒng)的可測輸出，設計觀測器為

系統(tǒng)（6）稱為系統(tǒng)（1）的第k步迭代未知輸入觀測器.第k步迭代狀態(tài)估計誤差、輸出估計誤差和未知輸入估計誤差分別記為其中在此基礎上，提出第k＋1步未知輸入的迭代估計為

2 收斂性分析

定理1 對于給定的線性系統(tǒng)（1）及其迭代未知輸入觀測器（6）和（7），如果滿足①‖I－ΓCD‖＜1；是任意的常數(shù)向量），則有

又對第k步迭代觀測器（6），有

對上式兩邊取歐氏范數(shù)后，再兩端同時乘以函數(shù)e－λt（t∈［0，T］）有

根據(jù)λ范數(shù)定義，由上式得到

對式（10）中右邊的積分項作積分變換ζ＝t－τ，則有

將式（11）代入式（10）得到

未知輸入按式（7）迭代，定理1保證了該迭代算法的收斂性，即隨著迭代步驟k的增加，迭代的未知輸入ηk（t）在有限時間區(qū)間［0，T］內(nèi)越來越接近真實的η（t）.在實際中，通常根據(jù)事先設定的誤差要求（例如要求迭代誤差不超過事先給出的ε），取一個滿足的迭代最大次數(shù)k＊，并且取未知輸入的估計為

上面只是考慮了在有限時間區(qū)間內(nèi)迭代次數(shù)足夠大的情況下給出迭代觀測器未知輸入收斂證明.如下的定理給出了迭代觀測器隨著迭代步驟的增加狀態(tài)能收斂到真實狀態(tài)的結論.

定理2 對于給定的線性連續(xù)時不變系統(tǒng)（1）及其迭代觀測器（6）和形如式（7）未知輸入迭代估計，如果滿足如下條件：

證明 第k＋1步迭代觀測器為

它在初始條件xk＋1（0）下的解為

兩邊取范數(shù)得到

然而，原系統(tǒng)的狀態(tài)是不可測量的，這樣無法通過計算得出原系統(tǒng)的輸出微分.針對這一問題，可以為原系統(tǒng)輸出設計二階高增益滑模觀測器來估計原系統(tǒng)的輸出微分.

由系統(tǒng)方程（1）知：（t）＝Ax（t）＋Bu（t）＋Dη（t）.假設輸出y為yi，1＝y(tǒng)i＝cix（i＝1，2，…，p）的時間微分，其中ci為輸出矩陣C的第i行＝ci＝ciAx＋ciBu＋ciDη，令yi，2＝fi＝ci（Ax＋Dη），則有基于Levant［16］的工作可以引入二階高增益滑模觀測器獲取原系統(tǒng)的輸出微分估計.

定理3［16］在未知輸入有界的條件下，如下二階系統(tǒng)

由于在有限時間內(nèi)，ζ是輸出微分的精確估計，那么未知輸入迭代式（7）可改寫為

3 仿真分析

為了重構未知輸入，必須知道原系統(tǒng)有限時間內(nèi)的輸出微分，首先需要通過二階高增益滑模觀測器估計系統(tǒng)的輸出微分，圖2分別給出了和的估計誤差.

圖1 狀態(tài)x1（t）的估計與估計誤差Fig.1 State estimation of x1（t）and its estimated error

圖2 y·1 和y·2 的估計誤差Fig.2 The estimated errors ofand

圖3 未知輸入重構Fig.3 unknown input reconstruction

仿真實例表明，結合D型迭代學習的未知輸入Luenberger觀測器能夠很好地重構未知輸入和估計系統(tǒng)的狀態(tài).

4 結論

針對具有未知輸入的線性系統(tǒng)，提出了一種迭代狀態(tài)估計和迭代未知輸入重構的方法，首次將迭代學習控制的思想引入到未知輸入觀測器設計中，提出了迭代未知輸入重構的基本思想和方法.該思想具有普遍的指導意義.只要結合成熟的非線性系統(tǒng)觀測器設計，可以提出非線性系統(tǒng)迭代未知輸入觀測器設計的基本思想，但針對非線性系統(tǒng)，其迭代的收斂性是否被改變、如何證明是值得進一步仔細思考的問題.

［1］ Boutayeb M，Darouach M，Rafaralahy H.Generalized state

space observers for chaotic synchronization and securecommunication［J］.IEEE Transactions on Circuits and Systems I：Fundamental Theory and Applications，2002，49（3）：345.

［2］ Hostetler G， Meditch J S. Observing systems withunmeasurableinputs［J］.IEEE Transactions on Automatic Control，1973，18（3）：307.

［3］ Bhattacharyya S P.Observer design for linearsystems with unknown inputs［J］.IEEE Transactions on Automatic Control，1978，23（3）：483.

［4］ WANG Shihho，Davison E J，Dorato P.Observing the states of systems withunmeasurable disturbance［J］.IEEE Transactions on Automatic Control，1975，20（10）：716.

［5］ Kudva P，Viswanadham N，Ramakrishna A.Observers for linear systems with unknowninputs［J］.IEEE Transactions on Automatic Control，1980，25（1）：113.

［6］ Yang F Y，Wilde R W.Observer for linear systems with unknown inputs［J］.IEEE Transactions on Automatic Control，1988，33（7）：677.

［7］ Hou M，Muller P C.Design of observers for linear systems with unknown inputs［J］.IEEE Transactions on Automatic Control，1992，37（6）：871.

［8］ Darouach M，Zasadzinski M，Xu SJ.Full-order observer for linear systems with unknown inputs［J］.IEEE Transactions on Automatic Control，1994，39（3）：606.

［9］ Hou M，Patton .R.J，Input observability and input reconstruction［J］.Automatic，1998，34（6）：789.

［10］ Trinh H，Ha Q P.State and input simultaneous estimation for a class of time-delay systems with uncertainties［J］.IEEE Transactions on Gircuits and Systems II：Express Briefs，2007，54（6）：527.

［11］ Trinh H，Tran T D，F(xiàn)ernando T.Disturbance decoupled observers for systems with unknown inputs［J］.IEEE Transactions on Automatic Control，2008，53（10）：2397.

［12］ Kalsi K，Lian J，HuiSHak S.Sliding-mode observers for systems with unknown inputs：a high-gain approach［J］.Automaitca，2010，46（2）：347.

［13］ Zhu F.State estimation and unknown input reconstructionvia both reduced-order and high-order sliding mode observers［J］.Journal of Process Control，2012，22（1）：296.

［14］ Yang J，Zhu F.State estimate and estimation and simultaneous unknown input and measurement noise reconstruction based on associated observers［J］.International Journal of Adaptive Control and Signal Processing，2013，27（10）：846.

［15］ Lee D J，Park Y S.Robust H∞sliding mode descriptor observer for fault and discrete time descriptor system ［J］.IEEE Transaction on Automatic Control，2012，57（11）：2928.

［16］ Levant A. High-order sliding modes： differentiation and output-feedback control［J］.International Journal of Control，2003，76（9／10）：924.