有限元分析中應(yīng)力奇異問題的處理

王 鑫，戚其松

（1.太原理工大學(xué)機械工程學(xué)院，山西 太原 030024；2.山西機電職業(yè)技術(shù)學(xué)院機械工程系，山西 長治 046011；3.太原科技大學(xué) 機械工程學(xué)院，山西 太原 030024）

0 引言

應(yīng)力奇異是指有限元模型中由于幾何構(gòu)造或載荷引起的彈性理論計算應(yīng)力值無限大1。導(dǎo)致應(yīng)力結(jié)果發(fā)散的原因并不是有限元模型本身的錯誤，而是有限［］元模型基于一個錯誤的數(shù)學(xué)模型，即根據(jù)彈性理論在尖角處的應(yīng)力是無窮大的。由于離散化誤差，有限元模型并不會產(chǎn)生無窮大的應(yīng)力結(jié)果，這一離散化的誤差掩蓋了建模時的錯誤［2］，應(yīng)力奇異處的應(yīng)力值不是我們所需要的，因此需要對此進行相應(yīng)的處理，以獲得需要的結(jié)果。本文采用大型有限元分析軟件ANSYS的APDL參數(shù)化設(shè)計語言對L型箱型構(gòu)件模型進行結(jié)構(gòu)靜強度分析，根據(jù)分析結(jié)果，解決應(yīng)力奇異問題。

1 ANSYS參數(shù)化建模

由于箱型結(jié)構(gòu)在受載時不僅會產(chǎn)生平面變形，而且還會產(chǎn)生空間彎曲扭轉(zhuǎn)的復(fù)雜變形，因此在建模時采用Shell63單元進行模擬。Shell63既具有彎曲能力又具有膜力，可以承受平面內(nèi)荷載和法向荷載［3－6］的作用。采用參數(shù)化設(shè)計語言APDL的方式對模型進行參數(shù)化處理，并采用自底向上的方式建立L型箱型結(jié)構(gòu)，在箱型構(gòu)件長臂端部4個關(guān)鍵點施加大小為1 000 N的連續(xù)載荷，然后在箱型構(gòu)件短臂端部4個關(guān)鍵點施加全約束（即限制了所選關(guān)鍵點在6個方向的所有自由度）。L型構(gòu)件的參數(shù)化模型見圖1，相關(guān)的APDL加載命令如下：

FK，9，F(xiàn)Y，－1 000！在關(guān)鍵點9處施加－1 000N的載荷

FK，10，F(xiàn)Y，－1 000！在關(guān)鍵點10處施加－1 000N的載荷

FK，11，F(xiàn)Y，－1 000！在關(guān)鍵點11處施加－1 000N的載荷

FK，12，F(xiàn)Y，－1 000！在關(guān)鍵點12處施加－1 000N的載荷

DK，3，，，，0，ALL！對關(guān)鍵點3施加全約束

DK，4，，，，0，ALL！對關(guān)鍵點4施加全約束

DK，5，，，，0，ALL！對關(guān)鍵點5施加全約束

DK，6，，，，0，ALL！對關(guān)鍵點6施加全約束

圖1 L型構(gòu)件的參數(shù)化模型

2 應(yīng)力奇異產(chǎn)生的原因及處理方法

對所建模型進行參數(shù)設(shè)置及計算，逐步對模型進行網(wǎng)格細化，分別設(shè)置網(wǎng)格密度為0.05，0.025，0.01并分析，記錄相應(yīng)的等效應(yīng)力和變形結(jié)果并進行比較，結(jié)果見表1。原始模型在網(wǎng)格尺寸為0.01 mm時的應(yīng)力和變形云圖如圖2所示。

表1 原始模型在不同網(wǎng)格密度下對應(yīng)的分析結(jié)果

從表1的結(jié)果可以看出，隨著網(wǎng)格細化程度的不斷加深，等效應(yīng)力的變化量分別為173.58%和239.85%，而等效變形的變化量僅為4.5%和2.1%，顯然等效應(yīng)變結(jié)果隨著網(wǎng)格密度的不斷細化逐漸收斂，而約束處產(chǎn)生的最大應(yīng)力逐漸發(fā)散，因此結(jié)構(gòu)的約束處較大的應(yīng)力結(jié)果為應(yīng)力奇異所致。

圖2 原始模型的應(yīng)力及變形云圖（網(wǎng)格密度0.01 mm）

從圖2（a）中可以看出，在L型箱型結(jié)構(gòu)的短臂端部施加約束外應(yīng)力值很大，最大值達到了278 MPa，而其他部分的應(yīng)力值很小，然而此結(jié)構(gòu)在實際使用中是不會出現(xiàn)如此大的應(yīng)力的，因此斷定有限元分析出現(xiàn)了應(yīng)力奇異現(xiàn)象。為了能夠有效簡便地解決應(yīng)力奇異問題，增強分析結(jié)果的穩(wěn)定性，就要分析應(yīng)力奇異性產(chǎn)生的原因。

分別對約束條件及模型的局部細節(jié)進行修改，并觀察應(yīng)力及變形結(jié)果的變化，通過比較找到產(chǎn)生應(yīng)力奇異性的原因，并作出相應(yīng)的改進，避免應(yīng)力奇異性的產(chǎn)生對計算結(jié)果準確性的影響。

2.1 約束修改

對圖2模型的約束進行修改，在箱型構(gòu)件短臂端部4個關(guān)鍵點所在的平面上施加全約束，將原來的點約束變?yōu)楝F(xiàn)在的面約束。逐步對模型進行網(wǎng)格細化，分別設(shè)置網(wǎng)格密度為0.05，0.025，0.01進行有限元分析，并比較有限元應(yīng)力及變形結(jié)果，見表2。當網(wǎng)格密度為0.01 mm時，改變約束條件后的有限元分析的應(yīng)力云圖和變形云圖如圖3所示。

由表2可知，對模型的約束修改之后（將點約束修改為面約束），隨著網(wǎng)格密度的增加，等效應(yīng)力結(jié)果發(fā)散的速度比表1中有所減慢，但是變化依然很大，應(yīng)力奇異的問題沒有得到完全的解決，產(chǎn)生應(yīng)力奇異的位置變成了長臂與短臂連接的尖角處。

表2 約束修改后不同網(wǎng)格密度下所對應(yīng)的應(yīng)力和變形結(jié)果

圖3 修改約束后應(yīng)力和變形云圖（網(wǎng)格密度0.01 mm）

2.2 在尖角處添加過渡圓角

由于改變約束的位置對應(yīng)力奇異性的影響并不理想，因此對模型進行適當修改。應(yīng)力奇異性出現(xiàn)在長臂與短臂的連接處，因此，在長臂與短臂連接的部位使用平滑的圓弧代替原來的連接尖角，并采用2.1中的約束，即在箱型構(gòu)件短臂端部4個關(guān)鍵點所在的平面上施加全約束。設(shè)置網(wǎng)格密度分別為0.05，0.025，0.01進行有限元分析并比較相應(yīng)的結(jié)果，見表3。網(wǎng)格密度為0.01 mm時的有限元分析結(jié)果如圖4所示。

表3 添加過渡圓角后不同網(wǎng)格密度對應(yīng)的應(yīng)力和變形結(jié)果

圖4 添加過渡圓角后應(yīng)力和變形云圖

從表3中可明顯看出，隨著網(wǎng)格密度的不斷加大，等效應(yīng)力和等效變形增大的幅值在不斷減小，可以推斷，隨著網(wǎng)格密度的增加，最大等效應(yīng)力和等效變形的結(jié)果在到達某一結(jié)果（接近22.4 MPa）后便不會增加，因此應(yīng)力奇異性問題得到了有效的解決。

3 結(jié)論

以L型箱型結(jié)構(gòu)的構(gòu)件為例，分析產(chǎn)生應(yīng)力奇異性問題的原因如下：

（1）加載約束的位置會產(chǎn)生應(yīng)力奇異性，但是并不是主要問題，因此改變約束的位置雖然可以減小應(yīng)力奇異，但是并不能很好地解決這個問題。

（2）模型連接處的尖角是產(chǎn)生應(yīng)力奇異性的關(guān)鍵，因此，用平滑的過渡曲線連接兩個構(gòu)件可以很好地解決應(yīng)力奇異性問題。

［1］ Erdogan F，Ozbek T.Stresses in fiber－reinforced composites with imperfect bonding ［J］.ASME Journal of Applied Mechanics，1969，36：865－869.

［2］ 許金泉，金烈候，丁皓.雙材料界面端附近的應(yīng)力奇異場［J］.上海力學(xué)，1996（17）：104－110.

［3］ Zbib H M，Hirth J P，Demir I.The stess intensity factor of cylindrical crack ［J］.International Journal of Engineering Science，1995，33：247－253.

［4］ 章成器.優(yōu)化設(shè)計方法在工程機械的應(yīng)用［M］.上海：同濟大學(xué)出版社，1994.

［5］ 張洪信.有限元基礎(chǔ)理論與ANSYS應(yīng)用［M］.北京：機械工業(yè)出版社，2006.

［6］ ZHANG Y M，CHEN S H，LIU Q L，et al.Stochasticperturbation finite elements［J］.Computers ＆ Structures，1996，59（3）：425－429.