基于滑移線理論考慮樁端摩擦的樁端阻力計算

黃小龍，王志斌

（湖南科技大學土木工程學院，湖南湘潭411201）

基于滑移線理論考慮樁端摩擦的樁端阻力計算

黃小龍，王志斌

（湖南科技大學土木工程學院，湖南湘潭411201）

針對傳統(tǒng)樁端阻力計算未考慮中間主應(yīng)力以及樁端粗糙程度的缺陷，基于一定的滑移線場假設(shè)，建立滑移線場，同時考慮中間主應(yīng)力和樁端粗糙程度的影響，運用滑移線的基本性質(zhì)，推導(dǎo)出被動區(qū)的積分常數(shù)，再由主動區(qū)的受力情況推導(dǎo)出該區(qū)的積分常數(shù)，運用同一滑移線上的積分常數(shù)相等的性質(zhì)，推導(dǎo)出既考慮中間主應(yīng)力又考慮樁端粗糙程度的樁端阻力計算公式。該公式在樁端完全光滑時，可退化為Prandtl解，并且隨著b值和樁端粗糙程度的增大，樁端阻力隨之增大，與實際情況相符。推導(dǎo)出的公式能夠靈活運用于工程實際情況。

雙剪統(tǒng)一強度理論；滑移線；中間主應(yīng)力；樁端阻力；樁端粗糙程度

0 引言

樁端阻力問題一直是巖土工程界關(guān)注的重點。樁端阻力計算的傳統(tǒng)方法大多是先假設(shè)滑動面， 然后按照靜力平衡條件和力學迭加原理來求解，其推導(dǎo)不夠嚴密?；凭€理論，是20世紀初人們對金屬塑性變形過程中，光滑試樣表面出現(xiàn)“滑移帶”現(xiàn)象，經(jīng)過力學分析而逐步形成的一種圖形繪制與數(shù)值計算相結(jié)合的求解平面塑性流動問題、變形力學問題的理論方法。所謂“滑移線”是一個純力學概念，它是塑性變形區(qū)內(nèi)，最大剪切應(yīng)力等于材料屈服切應(yīng)力的軌跡線。土體在受力進入塑性狀態(tài)之后，與金屬有相似的破壞特征，因此滑移線理論也被用于巖土工程分析。許多學者[1-3]應(yīng)用滑移線理論對淺基礎(chǔ)的極限承載力進行了研究，但未能考慮中間主應(yīng)力的影響。實踐表明，中間主應(yīng)力對土體屈服和破壞的影響較大。俞茂宏等[4]提出的統(tǒng)一強度理論，考慮了中間主應(yīng)力的影響，用一個統(tǒng)一的力學模型和統(tǒng)一而簡單的數(shù)學表達式表述材料的強度性質(zhì)。文獻[5-6]推導(dǎo)了Terzaghi地基極限承載力的雙剪統(tǒng)一解。文獻[7]推導(dǎo)了應(yīng)用雙剪滑移線理論計算樁端阻力的公式。然而大多數(shù)文獻[5-9]是基于完全摩擦基底或者完全光滑基底的研究，而實際中許多樁端不是處于這2種極限摩擦狀態(tài)。

本文基于統(tǒng)一強度理論的平面應(yīng)變形式，結(jié)合經(jīng)典的樁端滑移線場破壞模式，引入滑移線的基本性質(zhì)及基本假設(shè)，并且根據(jù)這種形式在考慮樁端摩擦因素的情況下，探討樁端阻力的計算方法。

1 雙剪統(tǒng)一平面應(yīng)變滑移線場理論

1.1 雙剪統(tǒng)一強度理論

雙剪統(tǒng)一強度理論是考慮了材料的拉壓異性、抗壓同性以及不同中間主應(yīng)力效應(yīng)的一種全新的強度理論，其數(shù)學表達式為

b為加權(quán)參數(shù)，它反映中間剪應(yīng)力及相應(yīng)作用面上的正應(yīng)力對材料屈服或破壞的影響，0≤b≤1。

當b取不同的值時，式（1）可變?yōu)镸ohr-Coulomb強度準則、雙剪強度理論、Tresca 屈服準則、Misses屈服準則的線性逼近。雙剪統(tǒng)一強度理論可以充分反映中間主應(yīng)力2對材料屈服或破壞的影響。

1.2 平面應(yīng)變問題的平衡方程

平面應(yīng)變問題的平衡微分方程為

ct表示雙剪統(tǒng)一強度理論下的粘聚力（也稱剪切強度）。

當m=1時，

將式（7）～（9）代入不計材料重度的式（2）中，可得

滑移線基本方程為

2 邊界條件及滑移線的基本性質(zhì)

2.1 邊界條件及屈服準則

圖1為塑性邊界條件。設(shè)邊界面的法線與y軸的夾角為，由圖1a可知，邊界面法線與1的夾角為-。由于塑性區(qū)邊界面上的應(yīng)力應(yīng)滿足屈服條件，由圖1b可寫出平面上法向力與切向力的方程為

當已知邊界上的應(yīng)力時，可以得到邊界上的p和大主應(yīng)力與y軸的夾角。

圖1 塑性邊界條件Fig.1Plastic boundary conditions

2.2 滑移線的基本性質(zhì)

滑移線的基本性質(zhì)有：

1）同一條滑移線上的積分常數(shù)相等。

2）在某個應(yīng)力場中，如果為常數(shù)，則該應(yīng)力場為均勻應(yīng)力場，兩族滑移線均為直線。

3）在某個應(yīng)力場中，如果一族滑移線為直線，另外一族為曲線，則在這一族直線滑移線上的p為常數(shù)，不同直線族滑移線上的p不同，這種應(yīng)力場為簡單應(yīng)力場。

3 計算過程

3.1 基本假設(shè)

張學言[1]運用滑移線理論和摩爾庫倫屈服準則研究了淺基礎(chǔ)的承載力。本文借鑒該方法，對端阻力進行分析。圖2為樁端滑移線網(wǎng)，并且對樁端以下土作如下假設(shè)：

1）樁端土體是均勻的，各向同性。

2）樁端土滿足統(tǒng)一強度理論。

3）通過滑移線網(wǎng)確定樁端破壞區(qū)域以及彈塑性狀態(tài)。對于巖土體材料來說，其拉壓強度不等，滑移破壞大都呈明顯的非正交特性，即兩族滑移線之間的夾角不等于45°。

圖2 樁端滑移線網(wǎng)Fig.2Pile end slip line network

3.2 計算過程

1）在AD邊界上有n=q=h（h為上覆土層厚度），n=0，=0，本區(qū)在樁端力的作用下，有向上隆起的趨勢，故為被動破壞區(qū)。從而得到被動破壞區(qū)邊界條件為：將這些邊界條件代入式（15），得，從而有

聯(lián)立式（14）與式（16），解得

聯(lián)立式（14）和式 （17），得

根據(jù)滑移線的基本性質(zhì)1），同一條滑移線上的積分常數(shù)相等，有

在樁端不光滑的情況下，樁端土體會由于樁端摩擦而產(chǎn)生一個彈性楔形體，楔形體如圖2中的AA′B′。其中楔形體的邊界AB′既是一條滑移線，也是彈塑性分界面，它與基底之間的夾角（圖2中A′B′與A′A之間的夾角）可以表示為，是大主應(yīng)力方向與y軸之間的夾角。

由圖2中三角形AA′B′的幾何關(guān)系可得從而可得

圖3 不完全粗糙基底與土體接觸面的摩爾圓Fig.3Mohr circle of incomplete rough substrate and soil contact surface

4 算例驗證及結(jié)果分析

假設(shè)有一直徑為400mm的圓柱形樁基礎(chǔ)，打入均質(zhì)黏性土6m，黏性土容重為20kN/m3，c0=20kPa，0=30°。在參數(shù)b取不同值的情況（即中間主應(yīng)力取不同值）下，分別運用本文公式（18）以及傳統(tǒng)端阻力計算公式求解樁端阻力，計算結(jié)果見表1，表1中t和ct由式（5）和式（6）得出。

表1 不同b值的樁端阻力計算結(jié)果Table1Calculating results of pile end resistance of different values of b

應(yīng)用傳統(tǒng)Terzaghi公式計算得到樁端阻力的值為2808.29kPa。表1中參數(shù)b取0（即不考慮中間主應(yīng)力）時樁端阻力為2895.98kPa，兩者結(jié)果十分接近，證明了該公式的準確性。由表1可知，當b值增大時，樁端阻力增大，這表明中間主應(yīng)力對樁端阻力的影響十分明顯。

在中間主應(yīng)力影響因素一定（即b為定值，表2中b均取1）的情況下，通過改變樁端與土體接觸面之間的摩擦角來表征基底粗糙程度的變化，由式（18）計算樁端阻力，計算結(jié)果見表2，表2中由式（24）得出。

表 2不同粗糙度的樁端阻力計算結(jié)果Table2Calculation results of pile end resistance of different roughness

由表2可知，當樁端與土體接觸面摩擦角為0時，由式（18）計算樁端阻力為2895.49kPa，而用Prandtl公式計算出的樁端阻力為2794.50kPa，二者結(jié)果相近。當增大接觸面摩擦角時，表示樁端粗糙程度增大，由式（18）計算的樁端阻力值也增大，表明樁端粗糙程度對樁端阻力的影響明顯，并且隨著樁端粗糙程度的增大而增大，這與實際情況相吻合。

5 結(jié)語

本文基于統(tǒng)一滑移線場理論，給出了不完全摩擦型樁基的樁端阻力計算公式（18），該公式在基底完全光滑時可以退化成Prandtl公式。

采用經(jīng)典的Terzaghi公式計算得到的樁端阻力比用本文公式（18）計算的結(jié)果稍小，說明Terzaghi公式計算結(jié)果偏于保守。在考慮中間主應(yīng)力作用的條件下，樁端阻力隨著中間主應(yīng)力系數(shù)的增大而增大，將這一結(jié)論運用于工程實踐中，可提高經(jīng)濟效益。

不完全摩擦型樁的樁端阻力隨著樁端摩擦角的增大而增大，不再局限于完全光滑與完全粗糙兩種假設(shè)，能夠靈活地應(yīng)用于各種工程實際情況。

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（責任編輯：鄧光輝）

The Pile Tip Resistance Calculation Considering Pile Tip Friction Based on the Slip Line Theory

Huang Xiaolong，Wang Zhibin
（School of Civil Engineering, Hunan University of Science and Technology, Xiangtan Hunan 411201，China）

For the defects of traditional pile tip resistance calculation without considering the intermediate principal stress and the roughness of the pile end, based on the assumption of slip line field, established the slip line field, and considering the intermediate principal stress and the tip roughness, applied the basic properties of slip line to deduce the integral constant of passive area, then deduced the active area integral constant by the active area force, and by means of the properties of the integral constant equal on the same slip line, deduced pile tip resistance calculation formula considering the intermediate principal stress and pile tip roughness. The formula can degenerate into prandtl solution when pile end is completely smooth, and with the increase of b value and pile end roughness, the pile end resistance increases, which is consistent with actual situation. The formulas can be applied to the engineering practice.

double shear unified strength theory；slip line；intermediate principal stress；pile tip resistance；pile tip roughness

TU473.1+1

A

1673-9833(2014)05-0027-05

10.3969/j.issn.1673-9833.2014.05.006

2014-07-28

黃小龍（1990-），男，湖南湘潭人，湖南科技大學碩士生，主要研究方向為巖土與地下工程，E-mail：283854103@qq.com