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    線性方程組的一類近似算法的舍入誤差分析

    2014-04-29 00:00:00李晶李巍
    數(shù)字化用戶 2014年2期

    【摘 要】對(duì)計(jì)算機(jī)浮點(diǎn)數(shù)的舍入誤差分析是對(duì)數(shù)值計(jì)算方法作誤差分析的基礎(chǔ)。論文優(yōu)化相關(guān)結(jié)論并給予的論證。討論由代數(shù)運(yùn)算引起的誤差界,最后對(duì)矩陣運(yùn)算的舍入誤差進(jìn)行了誤差界的估計(jì)。

    【關(guān)鍵詞】浮點(diǎn)數(shù) 舍入誤差 矩陣運(yùn)算 誤差界

    一、引言

    在計(jì)算機(jī)中實(shí)數(shù)要表示為浮點(diǎn)數(shù)的形式,但是由于計(jì)算機(jī)浮點(diǎn)數(shù)中尾數(shù)的位數(shù)是有限的,在計(jì)算的時(shí)候,對(duì)一般實(shí)數(shù)必須要按舍入原則表示為浮點(diǎn)數(shù)。這樣, 計(jì)算機(jī)浮點(diǎn)數(shù)就是該實(shí)數(shù)的近似值。因此,我們通過討論代數(shù)運(yùn)算引起的誤差界進(jìn)而給出求解線性方程組的近似算法的誤差界。

    二、實(shí)數(shù)計(jì)算機(jī)浮點(diǎn)表示方法[1]

    計(jì)算機(jī)中的浮點(diǎn)數(shù)可表示為

    這里是機(jī)器所用浮點(diǎn)數(shù)的基底,是階數(shù),是尾數(shù),尾數(shù)一般可表示為

    其中是尾數(shù)位數(shù),稱為字長(zhǎng), 若,則稱該浮點(diǎn)數(shù)為規(guī)格化浮點(diǎn)數(shù)。若用表示一個(gè)系統(tǒng)的浮點(diǎn)數(shù)的全體所構(gòu)成的集合,則

    顯然,集合是一個(gè)對(duì)稱地分布在區(qū)間中的有限數(shù)集,其中,

    因?yàn)槭且粋€(gè)有限集,所以它就不可能將中任意實(shí)數(shù)表示出來(lái)。以下我們來(lái)討論對(duì)于一個(gè)給定的實(shí)數(shù),應(yīng)選擇什么樣的浮點(diǎn)數(shù)去表示它,由此產(chǎn)生的相對(duì)誤差又是多少。

    三、浮點(diǎn)數(shù)的誤差界估計(jì)

    實(shí)數(shù)表示成浮點(diǎn)數(shù)之后,我們即可得到它的相對(duì)誤差限,這是進(jìn)行誤差分析的基礎(chǔ),由參考文獻(xiàn)[2]得誤差分析的基本定理如下:

    四、算術(shù)運(yùn)算的舍入誤差分析

    用來(lái)表示加、減、乘、除四則運(yùn)算中任意一種運(yùn)算。對(duì)給定的數(shù),,在運(yùn)算中, 若是上溢;若是下溢。以下在不發(fā)生溢出的情況下進(jìn)行討論,則由參考文獻(xiàn)[2]知:定理3.1 ,,同上(6)式(8)

    五、矩陣基本運(yùn)算的舍入誤差[4]

    首先,我們引進(jìn)記號(hào),

    并規(guī)定 當(dāng)且僅當(dāng) ,

    (一)向前誤差分析法

    設(shè)是由中的元素構(gòu)成的矩陣且是用浮點(diǎn)數(shù)表示的實(shí)數(shù),所以有

    注釋:上述的這個(gè)三個(gè)矩陣基本運(yùn)算的舍入誤差界,是估計(jì)了計(jì)算解與精確解之間的誤差,舍入誤差的界與精確解有關(guān)。這種誤差分析的方法稱為向前誤差分析法。

    (二)向后誤差分析法。

    假定上面所述的矩陣是的上三角矩陣。則由定理3.1可知

    注釋:向后誤差分析法的優(yōu)點(diǎn)在于,它將浮點(diǎn)數(shù)的運(yùn)算化為實(shí)數(shù)的精確運(yùn)算,從而在分析過程中就可以毫無(wú)困難地使用實(shí)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算法則。

    參考文獻(xiàn):

    [1]唐珍. 舍入誤差分析引論[D]. 上海: 上??萍汲霭嫔?, 1987;

    [2]劉永漢;多維基r()FFT 舍入誤差的分析[J];自然雜志;1986年05期;

    [3]曹志浩, 張玉德, 李瑞遐. 矩陣計(jì)算和方程求根[M ] .北京: 高等教育出版社, 1984.

    作者簡(jiǎn)介:

    李晶(1994- )性別,女,沈陽(yáng)師范大學(xué),數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院,數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)

    李巍(1977- )性別,女,沈陽(yáng)師范大學(xué),數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院,講師

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