等差等比數(shù)列的證明策略
2014-04-29 00:00:00唐永紅
學園 2014年26期
【摘 要】對等差數(shù)列和等比數(shù)列的考查是近年來高考的一個新熱點。本文從近年來高考試題入手，分析此類題型的三種解法。
【關鍵詞】定義法 函數(shù)法 等差中項法
【中圖分類號】G632 【文獻標識碼】A 【文章編號】1674-4810（2014）26-0141-02
等差數(shù)列和等比數(shù)列是數(shù)列的基礎，對數(shù)列性質(zhì)的考查成為近年來高考的一個新熱點。此類問題難度看似不大，但教材上涉及不多，加之學生平時總結(jié)不夠，所以得分并不理想。本文從近年來高考試題入手，分析此類題型的解法。
一 定義法
要證明一個數(shù)列是等差（比）數(shù)列，由定義，只需證明它的后一項和前一項的差（比）是同一個常數(shù)，即an+1-an=
d（ ）。
例1，（2008湖北）已知數(shù)列{an}和{bn}滿足：a1=λ，
an+1= an+n-4，bn=（-1）n（an-3n+21），其中λ為實
數(shù)，n為正整數(shù)。試判斷數(shù)列{bn}是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論。
解：因為bn+1=（-1）n+1[an+1-3（n+1）+2]=
（-1）n+1（ an-2n+14）
= （-1）n（an-3n+21）=- bn
又b1=-（λ+18），所以當λ=-18時，bn=0（n∈N*）些時{bn}不是等比數(shù)列；當λ≠-18時，b1=-（λ+18）≠0
由上可知bn≠0，∴ （n∈N*）。
故當λ≠-18時，數(shù)列{bn}是以-（λ+18）為首項，
為公比的等比數(shù)列。
二 函數(shù)法
等差數(shù)列的通項公式an=a1+（n-1）d=dn+（a1-d）是關于n的一次函數(shù)，利用此性質(zhì)，在高考中，我們不僅可以解決選擇填空題，還可以進一步解決解答題。
例2，（2006年山東）已知數(shù)列{an}中，a1= ，點（n，
2an+1-an）在直線y=x上，其中n=1，2，3…。
（Ⅰ）令bn=an+1-an-1，求證：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列；（Ⅱ）求數(shù)列{an}的通項；（Ⅲ）設Sn、Tn分別為數(shù)列{an}、{bn}
的前n項和，是否存在實數(shù)λ，使得數(shù)列 為等差數(shù)
列？若存在，試求出λ，若不存在，則說明理由。
分析：本題第一問可利用定義法證明，第二問可在第一問的基礎上由累加法求出，關鍵難點在第三問。
解：（I）由已知得a1= ，2an+1=an+n
，
∴
∴{bn}是以 為首項，以 為公比的等比數(shù)列。
（II）由（I）知， ，
∴ ，
將以上各式相加得：上式從1到n-1累加得：
an-a1-（n-1）=
∴an=a1+n-1
n-2
（III）∵Sn=a1+a2+…+an= +（1+
2+…+n）-2n
∴
∴
又數(shù)列 是等差數(shù)列的充要條件是 關于n
的一次函數(shù)，
∴當且僅當 ，即λ=2時，數(shù)列 為等差
數(shù)列。
三 等差中項法
要證明{an}為等差（比）數(shù)列，只需證明它的任意三項an，an+1，an+2成等差（比）數(shù)列，即2an+1=an+an+2（an+12=an·an+2）
例3，（2006年福建）已知數(shù)列{an}滿足a1=1，a2=3，an+2=3an+1-2an（n∈N+）。
（I）證明：數(shù)列{an+1-an}是等比數(shù)列；（II）求數(shù)列{an}的通項公式；（III）若數(shù)列{bn}滿足4b1-14b2-1…4bn-1=（an+1）bn（n∈N*），證明{bn}是等差數(shù)列。
分析：本題和例2相仿，第一問可用定義法證明，第二問可在第一問的基礎上由累加法求出，這里從略。
證明（III）：由（I）（II）可得：∴an=2n-1（n∈N*）
∵4b1-14b2-1…4bn-1=（an+1）bn，即4（b1 +b2+…+ bn）=2 nbn
∴2[（b1+b2+…+bn）-n]=nbn （1）
2[（b1+b2+…+bn+b n+1）-（n+1）]=（n+1）bn+1 （2）
（2）-（1），得2（bn+1-1）=（n+1）bn+1-nbn
即（n-1）bn+1-nbn+2=0 （3）
nbn+2-（n+1）bn+1+2=0 （4）
（4）-（3），得nbn+2-2nbn+1+nbn=0，即bn+2-2bn+1+bn=0
∴bn+2-bn+1=bn+1-bn（n∈N*），
∴{bn}是等差數(shù)列。
〔責任編輯：龐遠燕〕
