數(shù)學(xué)解題中思維靈活性的培養(yǎng)

思維的靈活性是指能善于根據(jù)事物的發(fā)展變化，及時(shí)地用新的觀點(diǎn)看待已經(jīng)變化了的事物，并提出符合實(shí)際的解決問(wèn)題的新方案。學(xué)生在解題中數(shù)學(xué)思維的靈活性主要體現(xiàn)在以下三個(gè)方面：思維起點(diǎn)的靈活性——能根據(jù)題目條件從不同角度、不同層次迅速地確定思考問(wèn)題的方向，找到解題的突破口；思維過(guò)程的靈活性——在解題遇到困難時(shí)能靈活運(yùn)用各種定義、公式定理、法則、規(guī)律等從一種解題途徑轉(zhuǎn)向另一種更為合適的解題途徑；思維遷移的靈活性——能適當(dāng)轉(zhuǎn)化，舉一反三，觸類(lèi)旁通。

思維起點(diǎn)：教會(huì)學(xué)生觀察

學(xué)會(huì)觀察是學(xué)生能夠靈活解題的前提。雖然觀察看起來(lái)是一個(gè)表面現(xiàn)象，但從心理學(xué)上講，觀察是一種比較持久的知覺(jué)，是知覺(jué)的高級(jí)狀態(tài)，是思維的起點(diǎn)，是了解問(wèn)題、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題的前提。對(duì)于有些題目，學(xué)生說(shuō)“想不到”解題的方法，其實(shí)是學(xué)生“看不到”解題的切入點(diǎn)，因此首先需幫助學(xué)生提高他們的觀察能力，以便他們?cè)诮忸}準(zhǔn)備階段能發(fā)現(xiàn)題干下直接的或隱含著的數(shù)學(xué)條件和關(guān)系，并能準(zhǔn)確抓住每道題的“題眼”，猶如在文學(xué)作品中能抓住“文眼”就能知道文章的中心思想和作者想表達(dá)的情感一樣，如果學(xué)生能抓住每道題的“題眼”就能大概揣測(cè)出命題者的意圖和所需要用到的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)，從而透過(guò)數(shù)學(xué)的表象看到數(shù)學(xué)的本質(zhì)，尋求出解題的思路和解題的最佳方法。

教會(huì)學(xué)生學(xué)會(huì)觀察還包括他們?cè)诮忸}過(guò)程中的觀察。由于受觀察角度和聯(lián)想內(nèi)容的影響和局限，學(xué)生初擬出來(lái)的解題方案有時(shí)是片面的、不完整的，如果學(xué)生這時(shí)能靈活地變換觀察的角度，查漏補(bǔ)缺或重新調(diào)整解題的方案，局部進(jìn)行修改，將更有利于靈活正確地解題。

例如，在求解填空題“已知x為實(shí)數(shù)，且，則x2+3x的值為_(kāi)_____”時(shí)，經(jīng)過(guò)初步觀察就發(fā)現(xiàn)此題可將x2+3x作為一個(gè)整體，將已知條件化為關(guān)于這個(gè)整體的二次方程，輕松求出x2+3x的值為1或-3，但在進(jìn)一步的觀察中，我們可以發(fā)現(xiàn)“已知x為實(shí)數(shù)”這個(gè)條件還沒(méi)有用到，通過(guò)將結(jié)果回代檢驗(yàn)，可得當(dāng)x2+3x=-3時(shí)，該式的Δ<0，x并不是實(shí)數(shù)，所以此題正確的結(jié)果應(yīng)只有1這個(gè)值。

思維過(guò)程：教會(huì)學(xué)生聯(lián)想

聯(lián)想是由題設(shè)向結(jié)論轉(zhuǎn)化的橋梁，是提升數(shù)學(xué)解題思維層次的階梯。那些稍具難度的數(shù)學(xué)題目，它和基礎(chǔ)知識(shí)的聯(lián)系都是隱晦的、間接的、復(fù)雜的，因此，能否解題，解題的速度如何都將取決于學(xué)生能否靈活運(yùn)用有關(guān)知識(shí)，找出與題目某些特點(diǎn)很接近的或較相似的原理、方法、結(jié)論或命題來(lái)，變通使用這些知識(shí)和方法，找到解決問(wèn)題的“另一扇窗”。例如，在求解下題“長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=a，BC=b，BB1=c，并且a>b>c>0。求沿著長(zhǎng)方體的表面自A到C1的最短線路的長(zhǎng)”時(shí)，聯(lián)想到“兩點(diǎn)之間，線段最短”這一結(jié)論，考慮將空間中沿長(zhǎng)方體表面的兩點(diǎn)之間的最短線路問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面上兩點(diǎn)之間的連線段最短的問(wèn)題，也就是聯(lián)想到降維的手段，從而可以將幾何體展開(kāi)，那么展開(kāi)的方式到底有幾種呢？對(duì)于空間想象能力較差的學(xué)生，可能就會(huì)弄不清楚了。但如果換個(gè)角度，聯(lián)想到展開(kāi)后的平面圖形必定是一個(gè)矩形，這個(gè)矩形的一條邊只能是a+b、a+c、b+c中的某一個(gè)，所以應(yīng)有三種展開(kāi)方式，且矩形的另一邊分別對(duì)應(yīng)為c、b、a。

經(jīng)過(guò)這樣的聯(lián)想，對(duì)于那些空間想象能力相對(duì)較差的學(xué)生來(lái)講，節(jié)約了他們解題的時(shí)間并同時(shí)降低了他們解題的失誤率，而對(duì)于空間想象能力較好的學(xué)生，也多了一種選擇，多了一條解題的途徑，充分體現(xiàn)了聯(lián)想對(duì)于數(shù)學(xué)思維靈活性的意義。

思維遷移：教會(huì)學(xué)生轉(zhuǎn)化

數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想是把問(wèn)題元素從一種形式向另一種形式轉(zhuǎn)化的能力，就解題的本質(zhì)而言，解題即是轉(zhuǎn)化。有效的轉(zhuǎn)化就是將那些陌生的、復(fù)雜的問(wèn)題，通過(guò)數(shù)學(xué)的手段轉(zhuǎn)化為熟悉的、簡(jiǎn)單的問(wèn)題。在解題時(shí)，觀察具體特征，聯(lián)想有關(guān)問(wèn)題之后，就要去尋求轉(zhuǎn)化關(guān)系。

靈活的轉(zhuǎn)化可以是形與形之間的，例如，在求解下題“已知點(diǎn)P（-1，2），A（-2，-3），B（3，0），經(jīng)過(guò)點(diǎn)P的直線l與線段AB有公共點(diǎn)，求l的斜率k的取值范圍”時(shí)，總有部分學(xué)生對(duì)先通過(guò)計(jì)算直線PA、直線PB的斜率然后再通過(guò)直線的旋轉(zhuǎn)的方法得到斜率k的取值范圍很難理解，他們往往會(huì)弄不清到底k的取值是介于兩個(gè)斜率值之間還是介于兩個(gè)斜率值之外。但如果通過(guò)聯(lián)想將這道題靈活的轉(zhuǎn)化成解析幾何的另一種題型，也就是二元一次不等式表示的平面區(qū)域的問(wèn)題，即將直線l與線段AB要有公共點(diǎn)轉(zhuǎn)化成：點(diǎn)A和點(diǎn)B應(yīng)該在直線l的兩側(cè)或l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A或點(diǎn)B中的一個(gè)，這樣從理解上就相對(duì)容易些了。

靈活的轉(zhuǎn)化亦可以是在數(shù)與數(shù)之間的轉(zhuǎn)化，例如在求解關(guān)于實(shí)數(shù)a，b的形如的二元一次方程組時(shí)，可以將其轉(zhuǎn)化為求解關(guān)于x的一元二次方程x2-mx+n=0的兩個(gè)根的問(wèn)題，從而達(dá)到簡(jiǎn)化運(yùn)算，靈活求解的目的。

在對(duì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)解題的思維靈活性的培養(yǎng)時(shí)，若能啟發(fā)他們從多角度進(jìn)行仔細(xì)的觀察，從多渠道進(jìn)行廣泛的聯(lián)想，并能根據(jù)先前的聯(lián)想進(jìn)行有效的轉(zhuǎn)化，則可以得到許多構(gòu)思巧妙、新穎獨(dú)特、簡(jiǎn)捷有效的解題方法，這對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)思維品質(zhì)和學(xué)習(xí)興趣的提高以及鉆研精神的發(fā)揮無(wú)疑是十分有利的。

（作者單位：江蘇省蘇州市木瀆第二高級(jí)中學(xué)）