例析“用字母表示數(shù)”中的數(shù)學(xué)思想方法

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的根本在于透徹理解普遍的原理，并在以后的學(xué)習(xí)、生活乃至工作實(shí)踐中加以運(yùn)用，這些原理方法就是數(shù)學(xué)思想方法. 《用字母表示數(shù)》這一學(xué)習(xí)內(nèi)容除了有同學(xué)們熟悉的“用字母表示數(shù)”、“從特殊到一般、一般到特殊”、“數(shù)形結(jié)合”、“分類(lèi)討論”、“轉(zhuǎn)化的思想方法”、“歸納的思想方法”外，還蘊(yùn)含以下三種數(shù)學(xué)思想，現(xiàn)結(jié)合具體問(wèn)題加以分析.

一、 符號(hào)化思想

引入字母表示數(shù)，是從算術(shù)進(jìn)入代數(shù)的重要標(biāo)志之一，正確理解用字母表示數(shù)的意義，是學(xué)好數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的基本要求，也是認(rèn)識(shí)上的一個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn).

問(wèn)題1 撲克牌游戲中，小明背對(duì)小亮，讓小亮按下列四個(gè)步驟操作：

第一步：分發(fā)左、中、右三堆牌，每堆牌不少于兩張，且各堆牌的張數(shù)相同；

第二步：從左邊一堆拿出兩張，放入中間一堆；

第三步：從右邊一堆拿出一張，放入中間一堆；

第四步：左邊一堆有幾張牌，就從中間一堆拿幾張牌放入左邊一堆.

這時(shí)，小明能準(zhǔn)確說(shuō)出中間一堆牌現(xiàn)有的張數(shù)，你能揭開(kāi)其中的奧秘嗎？

【分析】本題中的每一步其實(shí)都是數(shù)量關(guān)系的變化，為了看清這個(gè)變化，我們可用符號(hào)化的思想，以“用字母代替數(shù)”的方法來(lái)揭開(kāi)小明獲勝的奧秘.

設(shè)原來(lái)的每堆牌有x張，上述問(wèn)題可通過(guò)列表得到：

從表中可以看出中間一堆現(xiàn)有的張數(shù)為（x+2+1）-（x-2）=5. 這個(gè)結(jié)果與小亮第一步分發(fā)的各堆牌的張數(shù)無(wú)關(guān)，所以不管小亮第一步發(fā)多少牌，按照小明的游戲規(guī)則，小明都能獲勝，這就是知識(shí)的力量，這更是數(shù)學(xué)思想的力量.

二、 “變量”與“常量”的思想

“變量”與“常量”的思想是指在一變化的過(guò)程中，提煉出一些“變量”與“常量”，用“變量”與“常量”的思想從幾個(gè)簡(jiǎn)單的、個(gè)別的、特殊的情況去研究、探索、歸納出一般的規(guī)律和性質(zhì).

問(wèn)題2 如圖1，搭1條小魚(yú)需要8根火柴，每多搭1條小魚(yú)就要增加6根火柴，那么搭n條小魚(yú)所需火柴的根數(shù)s有何規(guī)律？

【分析】用火柴棒搭小魚(yú)是同學(xué)們較為熟悉而且有趣的一個(gè)情境，在小學(xué)已經(jīng)接觸過(guò)該問(wèn)題，在“蘇科版”七（上）第三章“用字母表示數(shù)”的“章頭圖”中再次出現(xiàn)，解決該問(wèn)題有多種方法. 其中，應(yīng)用“常量”與“變量”的思想來(lái)研究該問(wèn)題就是一種很好的方法. 在這個(gè)變化過(guò)程中，盡管火柴棒的總根數(shù)隨著小魚(yú)條數(shù)的變化而變化，但是，小魚(yú)的“魚(yú)尾”部分所需的火柴根數(shù)“2”沒(méi)變，因此它是常量；而小魚(yú)的條數(shù)n、所需火柴的根數(shù)s是變量，在此基礎(chǔ)上可得到，每增加一個(gè)“魚(yú)身”，就需要6根火柴，則搭n條小魚(yú)所需火柴的根數(shù)s為：s=6n+2. 事實(shí)上運(yùn)用“常量”與“變量”的思想，是解決在圖形中尋求規(guī)律問(wèn)題的通性通法，用這種方法去解決問(wèn)題，能使我們看清問(wèn)題的本質(zhì).

三、 整體思想

所謂整體思想，就是解決某些數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，不是“一葉障目”，而是有意識(shí)地放大考慮問(wèn)題的“視角”，從大處著眼，由整體入手，通過(guò)細(xì)心觀(guān)察和深入分析，找出整體與局部之間的聯(lián)系，從而在宏觀(guān)上尋求解決問(wèn)題的途徑.

例如，在整式的加減運(yùn)算或求代數(shù)式的值時(shí)，若將注意力和著眼點(diǎn)放在問(wèn)題的整體結(jié)構(gòu)上，把一些聯(lián)系較為緊密的代數(shù)式作為一個(gè)整體來(lái)處理，常常能收到事半功倍之效.

問(wèn)題3 若代數(shù)式x2+x+3的值為7，則代數(shù)式2x2+2x-3的值為多少？

【分析】如果由條件先求出x的值，再代入2x2+2x-3中計(jì)算，對(duì)于七年級(jí)的同學(xué)來(lái)說(shuō)，那是不可能的，即無(wú)法進(jìn)行運(yùn)算. 如果我們能從題目大局出發(fā)，由條件x2+x+3=7，得到x2+x=4，再將x2+x=4代入2x2+2x-3求值，將會(huì)十分便捷. 即2x2+2x-3=2（x2+x）-3=2×4-3=5. 上述將x2+x作為一個(gè)整體代入求值的方法，就是通常所說(shuō)的用整體思想解決問(wèn)題的思維策略.

以上對(duì)三種數(shù)學(xué)思想方法作了探討分析，希望能幫助同學(xué)們認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的本質(zhì)，并發(fā)展數(shù)學(xué)思考的能力.

（作者單位：江蘇省南京市寧海中學(xué)分校）