例析高中數(shù)學(xué)中基本不等式知識(shí)的掌握

羅定汨

高中數(shù)學(xué)包含很多知識(shí)點(diǎn)，要學(xué)好數(shù)學(xué)就得弄清楚每一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，絕對(duì)不可以一知半解，否則就會(huì)在考試中出現(xiàn)錯(cuò)誤。基本不等式是不等式中很重要的一個(gè)內(nèi)容，下面就通過幾個(gè)例子的分析來加強(qiáng)對(duì)該知識(shí)點(diǎn)的掌握。ァ糎TH〗一、與函數(shù)知識(shí)的結(jié)合〖HT〗ダ.函數(shù)y=log璦x+3－1a>0且a≠1的圖象恒過點(diǎn)A，若點(diǎn)A在直線mx+ny+1=0上，期中m、n>0，則〖SX(〗1〖〗m〖SX)〗+〖SX(〗2〖〗n〖SX)〗的最小值為ソ馕觶河梢閻可知點(diǎn)A－2,－1，又點(diǎn)A在直線mx+ny+1=0上，則有－2m－n+1=0即2m+n=1，又m、n>0ニ以〖SX(〗1〖〗m〖SX)〗+〖SX(〗2〖〗n〖SX)〗=〖SX(〗1〖〗m〖SX)〗+〖SX(〗1〖〗n〖SX)〗2m+n=3+〖SX(〗n〖〗m〖SX)〗+〖SX(〗2m〖〗n〖SX)〗≥3+2〖KF(〗〖SX(〗n〖〗m〖SX)〗?〖SX(〗2m〖〗n〖SX)〗〖KF)〗=3+2〖KF(〗2〖KF)〗サ鼻醫(yī)齙薄糞X(〗n〖〗m〖SX)〗=〖SX(〗2m〖〗n〖SX)〗且2m+n=1即m=1－〖SX(〗〖KF(〗2〖KF)〗〖〗2〖SX)〗,n=〖KF(〗2〖KF)〗－1時(shí)上式取“=”，從而所求〖SX(〗1〖〗m〖SX)〗+〖SX(〗2〖〗n〖SX)〗的最小值為3+2〖KF(〗2〖KF)〗.ダ.若x>－1,求fx=〖SX(〗x2－3x+1〖〗x+1〖SX)〗的值域.ソ馕觶河蓌>－1輝+1>0ニ以fx=〖SX(〗x2－3x+1〖〗x+1〖SX)〗=〖SX(〗x+12－5x+1+5〖〗x+1〖SX)〗=x+1+〖SX(〗5〖〗x+1〖SX)〗－5≥2〖KF(〗5〖KF)〗－5サ鼻醫(yī)齙眡+1=〖SX(〗5〖〗x+1〖SX)〗即x=〖KF(〗5〖KF)〗－1時(shí)上式等號(hào)成立，所以fx的值域?yàn)?2〖KF(〗5〖KF)〗－5,+∞ァ糎TH〗二、與數(shù)列知識(shí)的結(jié)合〖HT〗ダ.已知等比數(shù)列〖JB({〗a璶〖JB)}〗的各項(xiàng)均為正數(shù)，公比q≠1，設(shè)P=〖SX(〗a3+a9〖〗2〖SX)〗,Q=〖KF(〗a5?a7〖KF)〗,則P與Q的大小關(guān)系是（）AP>QBP0 ∴〖SX(〗a3+a9〖〗2〖SX)〗≥〖KF(〗a3?a9〖KF)〗當(dāng)且僅當(dāng)a3=a9時(shí)等號(hào)成立，又q≠1ニ以a3≠a9 ∴〖SX(〗a3+a9〖〗2〖SX)〗>〖KF(〗a3?a9〖KF)〗 又由等比數(shù)列性質(zhì)可知a5?a7=a3?a9ァ唷糞X(〗a3+a9〖〗2〖SX)〗>〖KF(〗a5?a7〖KF)〗即P>Q，選Aダ.已知x、y>0,x、a、b、y成等差數(shù)列，x、c、d、y成等比數(shù)列，則〖SX(〗a+b2〖〗cd〖SX)〗的最小值是（）A0B1C2D4ソ馕觶河蓌、a、b、y成等差數(shù)列∴a+b=x+yx、c、d、y成等比數(shù)列∴cd=xy 又x、y>0ァ唷糞X(〗a+b2〖〗cd〖SX)〗=〖SX(〗x+y2〖〗xy〖SX)〗=2+〖SX(〗x〖〗y(tǒng)〖SX)〗+〖SX(〗y(tǒng)〖〗x〖SX)〗≥2+2〖KF(〗〖SX(〗x〖〗y(tǒng)〖SX)〗?〖SX(〗y(tǒng)〖〗x〖SX)〗〖KF)〗=4サ鼻醫(yī)齙薄糞X(〗x〖〗y(tǒng)〖SX)〗=〖SX(〗y(tǒng)〖〗x〖SX)〗即x=y時(shí)上式“=”成立，所以〖SX(〗a+b2〖〗cd〖SX)〗最小值為4ァ糎TH〗三、與線性規(guī)劃知識(shí)的結(jié)合〖HT〗ダ.設(shè)x、y滿足約束條件{0≤x≤10≤y≤4,若目標(biāo)函數(shù)Z=abx+ya>0,b>0的最大值為8，則a+b的最小值為ソ馕觶河蒢=abx+y輞=－abx+Z 作出可行域ス原點(diǎn)作直線l0:y=－abx∵a、b>0∴－ab<0 從而平移l0至點(diǎn)M1,4時(shí)有Z﹎ax=8 所以ab+4=8輆b=4∴a+b≥2〖KF(〗ab〖KF)〗=4サ鼻醫(yī)齙盿=b又ab=4即a=b=2時(shí)上式等號(hào)成立所以a+b的最小值為4.ァ糎TH〗四、與圓錐曲線知識(shí)的結(jié)合〖HT〗ダ.已知〖SX(〗1〖〗m〖SX)〗+〖SX(〗2〖〗n〖SX)〗=1m>0,n>0，則當(dāng)mn取最小值時(shí)，橢圓〖SX(〗x2〖〗m2〖SX)〗+〖SX(〗y(tǒng)2〖〗n2〖SX)〗=1的離心率為ソ馕觶河蒻、n>0 ∴〖SX(〗1〖〗m〖SX)〗+〖SX(〗2〖〗n〖SX)〗=1≥2〖KF(〗〖SX(〗2〖〗mn〖SX)〗〖KF)〗蕁糞X(〗2〖〗mn〖SX)〗≤〖SX(〗1〖〗4〖SX)〗 ∴mn≥8サ鼻醫(yī)齙薄糞X(〗1〖〗m〖SX)〗=〖SX(〗2〖〗n〖SX)〗又〖SX(〗1〖〗m〖SX)〗+〖SX(〗2〖〗n〖SX)〗=1即m=2,n=4時(shí)上式取“=”ゴ聳倍雜ν衷卜匠濤〖SX(〗x2〖〗4〖SX)〗+〖SX(〗y(tǒng)2〖〗16〖SX)〗=1 其中a=4,c=2〖KF(〗3〖KF)〗 從而e=〖SX(〗c〖〗a〖SX)〗=〖SX(〗〖KF(〗3〖KF)〗〖〗2〖SX)〗ダ.雙曲線實(shí)軸長與虛軸長的和為2，則焦距的最小值為.ソ馕觶河梢閻有2a+2b=2輆+b=1又〖SX(〗a+b〖〗2〖SX)〗≥〖KF(〗ab〖KF)〗輆b≤〖SX(〗a+b2〖〗4〖SX)〗ァ郼2=a2+b2=a+b2－2ab≥a+b2－2×〖SX(〗a+b2〖〗4〖SX)〗=1－〖SX(〗1〖〗2〖SX)〗=〖SX(〗1〖〗2〖SX)〗サ鼻醫(yī)齙盿=b又a+b=1即a=b=〖SX(〗1〖〗2〖SX)〗時(shí)上式等號(hào)成立ゼ唇咕嗟淖钚≈滴2c=〖KF(〗2〖KF)〗ヒ隕霞父隼子都涉及基本不等式的應(yīng)用，希望同學(xué)們能對(duì)該知識(shí)點(diǎn)能有一個(gè)比較清楚的認(rèn)識(shí)，并且能與其他知識(shí)點(diǎn)靈活的進(jìn)行結(jié)合。高中數(shù)學(xué)內(nèi)容雖然比較多，但只要我們?cè)趯W(xué)習(xí)過程中能保持積極向上的心態(tài)，多歸納總結(jié)，細(xì)心認(rèn)真，相信學(xué)好數(shù)學(xué)是不成問題的。