正整數(shù)的等比分拆

仇鵬翔

【摘要】根據(jù)組合數(shù)學中關于正整數(shù)分拆的廣泛應用，本文將對分拆進行補充，初步探究正整數(shù)的等比分拆數(shù).規(guī)定，把正整數(shù) 表示成一列成等比數(shù)列（至少三項）的正整數(shù)之和的形式，就叫做 的等比分拆.本文就對 的等比分拆的計數(shù)問題進行初步的研究，探討正整數(shù) 成一列等比數(shù)列的正整數(shù)之和的形式共有多少種即求正整數(shù) 的分拆數(shù)，并總結其計數(shù)規(guī)律.

【關鍵詞】正整數(shù)；正整數(shù)的等比分拆；分拆數(shù)；計數(shù)規(guī)律

1.引言

正整數(shù)分拆問題一直以來都是組合數(shù)學、圖論、數(shù)論研究的一個重要的課題，尤其在尋找各種分拆數(shù)的計數(shù)公式，有關分拆數(shù)的恒等式，分拆數(shù)的性質(zhì)的組合證明等各方面始終都是分拆理論研究的重點，同時也取得了豐富的成果.

2.正整數(shù)等比分拆的定義及其相關計數(shù)公式

2.1 正整數(shù)的等比分拆的定義

定義 把正整數(shù) 表示成一列成等比數(shù)列（至少三項）的正整數(shù)之和的形式，就叫做 的等比分拆.

引理2.1[10]設正整數(shù) 的標準分解式為 （ 是互不相同的素數(shù)， ， ），則 ， .

2.2 的計數(shù)公式

定理2.2.1 若正整數(shù) 為大于3的偶數(shù)，則 ；若 為不小于3的奇數(shù)，則 .

證明：因為正整數(shù) ， ， ，所以當 為大于3

的偶數(shù)時， 必有正約數(shù)1和2，因為 ，故 只能取除1和2之外所有 的正約數(shù)值，故 ；當 為不小于3的奇數(shù)時， 必有正約數(shù)1，因為 ，故 只能取除1之外所有 的正約數(shù)值，故 .從而原命題得以證.

2.3 的計數(shù)公式

定理2.3.1 若 ，數(shù)列 是以 為首項， 為公比的等比數(shù)列，且 ， ，則 .

證明：若 = ，

則當 值越小時， 值越大.又 ，且 ，所以 ，

從而 ，從而 ，又因為數(shù)列 是等比數(shù)列， ，所以 .

推論2.3.1 正整數(shù) 存在公比為2的正整數(shù)等比分拆的充要條件是 ，其中 ，（ ）.

性質(zhì)2.3.1 若正整數(shù) ，其中 ，

（ ），則 存在公比為2，首項為 的正整數(shù)等比分拆.

推論 2.3.2 若 ，

（ ， ， ），則 .

性質(zhì)2.3.2 若 是 的正整數(shù)等比分拆的公比，則 ， ..

推論2.3.3 正整數(shù) 的等比分拆： ，其中數(shù)列 是以 為首項， 為公比的等比數(shù)列， ， ，則

.

推論2.3.4 若正整數(shù) ， （ ， ），則 存在公比除1外的等比分拆.

2.4 正整數(shù) 的等比分拆的分解式求法

引理[11]正整數(shù) ， ， ，記 ， ，…， ，…， ， ， ， ，若 存在，則正整數(shù) 存在公比除1外的等比分拆，即 .

推論3.4.1 .

證明：顯然成立.

性質(zhì)2.4.1 對 ，（其中 為正整數(shù)（ ），數(shù)列 為等

比數(shù)列， ，且 ， ），必存在 ，且 有且只有一個的.

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