維C主線復(fù)B相輔

顧菊美

江蘇作為文化大省，高考試題具有濃厚的地方特色，筆者在此對(duì)數(shù)學(xué)試題中的六大解答題作一簡要回顧：

一、向量搭橋解三角，巧用公式得全分

平面向量中的夾角是引發(fā)向量與三角函數(shù)交匯的主要因素，它把向量與三角函數(shù)有機(jī)地綜合在一起，使三角問題得到充實(shí)與加強(qiáng)，能有效地考查同學(xué)們解決綜合問題的能力。

題型一：結(jié)合向量的數(shù)量積，考查三角函數(shù)的化簡或求值。合理選用向量數(shù)量積的運(yùn)算法則構(gòu)建相關(guān)等式，然后運(yùn)用三角函數(shù)中的和、差、半、倍角公式進(jìn)行恒等變形，以期達(dá)到與題設(shè)條件或待求結(jié)論的相關(guān)式，找準(zhǔn)時(shí)機(jī)代入求值或化簡。

題型二：結(jié)合向量的夾角公式，考查三角函數(shù)中的求角問題。此類問題的一般步驟是：先利用向量的夾角公式求出被求角的三角函數(shù)值，再限定所求角的范圍，確定角的大??；或者利用同角三角函數(shù)關(guān)系構(gòu)造正切的方程進(jìn)行求解。

題型三：結(jié)合三角形中的向量知識(shí)考查三角形的邊長或角的運(yùn)算。根據(jù)題中所給條件，初步判斷三角形的形狀，再結(jié)合向量以及正弦定理、余弦定理實(shí)現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)化，列出等式求解。

題型四：結(jié)合三角函數(shù)的有界性，考查三角函數(shù)的最值與向量運(yùn)算。涉及三角函數(shù)的最值與向量運(yùn)算問題時(shí)，可先根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算法則求出相應(yīng)的函數(shù)基本關(guān)系式，然后利用三角函數(shù)的基本公式將其合一變形，再借助三角函數(shù)的有界性使問題得以解決。

二、位置關(guān)系識(shí)圖形，線面互化題必成

立體幾何是空間想象的主要載體，但由于江蘇文理選修內(nèi)容的區(qū)別，其考查內(nèi)容以“點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系”為主，難度系數(shù)大約是0.8，故解題策略無非是通過“線線、線面、面面平行與垂直的相互轉(zhuǎn)化”而已，當(dāng)然，在2010年的試題中出現(xiàn)了點(diǎn)面距離的計(jì)算，當(dāng)年遭到了文科師生的一片質(zhì)疑，但情有可原，此類問題可通過類比平面幾何中的“等面積法”，利用“等體積法”求解。

三、實(shí)際應(yīng)用建模型，最值問題用不等

數(shù)學(xué)應(yīng)用性問題是江蘇的必考題型之，也是區(qū)別于其他省市的概率題作為考查學(xué)生應(yīng)用意識(shí)的載體，試題出奇制勝，以函數(shù)、不等式、三角、幾何問題為背景進(jìn)行考查，這些試題都有一個(gè)共同的特征，那就是變量。函數(shù)與導(dǎo)數(shù)是單變元問題，不等式是雙變元問題，但由于兩變元之間往往有一定的約束條件，所以可利用轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想將其化為單變元問題。因此只要心中有強(qiáng)烈的變量意識(shí)，能從變元角度思考問題，就是成功的一半，其解題策略：首先將一個(gè)實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)數(shù)學(xué)問題，進(jìn)行數(shù)學(xué)化設(shè)計(jì)。其次將一個(gè)數(shù)學(xué)問題蒸蒸日劃歸為一個(gè)常規(guī)問題，進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化設(shè)計(jì)。最后求解常規(guī)數(shù)學(xué)問題或是解方程、或是證明（求解）不等式、或是函數(shù)求極值、或是幾何求值與論證、或是解三角形等等。

四、直線與圓暨橢圓，數(shù)形結(jié)合將值定

解幾部分對(duì)“直線與圓”的要求均為C級(jí)，而對(duì)圓錐曲線部分，僅對(duì)“橢圓”提出了B級(jí)要求，從而使圓錐曲線變?yōu)椤白蛉拯S花”，不再作為壓軸題。

題型一：直線與圓的位置關(guān)系，即相交、相切、相離，并由此求參數(shù)的值或范圍，以及相交時(shí)的弦長、弦之中點(diǎn)、軌跡等問題，解答此類問題的主要方法是：（1）判別式法（方程思想）；（2）平面幾何法（數(shù)列形結(jié)合思想）。

題型二：曲線之間的位置或根據(jù)位置求參數(shù)的值或范圍，其

求解策略主要是通過消元，劃歸為求解一元二次方程問題，再利用判別式得之。值得一提的是，江蘇考試說明明確要求“根與系數(shù)之間的關(guān)系（韋達(dá)定理）不作考查”，因此，一旦涉及此類問題，可通過“設(shè)而不求”等方法，即設(shè)曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)，再由“點(diǎn)差法”等方法解之。

題型三：圓錐曲線間相互依存，拋物線與橢圓、雙曲線的依存關(guān)系表現(xiàn)為有相同的焦點(diǎn)、準(zhǔn)線重合、準(zhǔn)線過焦點(diǎn)等形式，只要掌握三種圓錐曲線的概念和性質(zhì)，處理這類問題不難。

六年試題中都出現(xiàn)了“定點(diǎn)、定值、最值”問題，解決此類問題主要有下列方法：

一是先通過特殊位置得出定點(diǎn)或定值，然后證明在一般情況下也成立。

二是把所要證明為定點(diǎn)或定值的量表示為另外幾個(gè)變量的函數(shù)或方程，然后通過化簡變形，證明結(jié)果與變量無關(guān)。

三是解決最值、范圍問題主要通過尋找所求量的不等式或不等式組并加以求解，或通過構(gòu)造所求量的函數(shù)，然后研究此函數(shù)的值域即可。

五、函數(shù)性質(zhì)為主線，導(dǎo)數(shù)意義是核心

著名數(shù)學(xué)家菲利克斯·克萊因認(rèn)為：函數(shù)是數(shù)學(xué)的“靈魂”，應(yīng)該成為中學(xué)數(shù)學(xué)的“基石”，強(qiáng)調(diào)要用近代數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)來改造傳統(tǒng)的中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容，主張加強(qiáng)函數(shù)和微積分的教學(xué)，改革和充實(shí)代數(shù)的內(nèi)容，倡導(dǎo)“高觀點(diǎn)下的初等數(shù)學(xué)”意識(shí)。

題型一：函數(shù)性質(zhì)的研究，基本初等函數(shù)及其組合是函數(shù)性質(zhì)考查的重要載體，必須熟悉一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、反比例函數(shù)、耐克函數(shù)等的圖象與性質(zhì)，能將比較復(fù)雜的函數(shù)劃歸為一些基本初等函數(shù)進(jìn)行性質(zhì)的研究。函數(shù)性質(zhì)研究以函數(shù)單調(diào)性研究為重點(diǎn)和難點(diǎn)，函數(shù)單調(diào)性的判別常使用圖象和導(dǎo)數(shù)，證明的常用方法是定義法和導(dǎo)數(shù)法；奇偶性的判別應(yīng)注意兩個(gè)必要條件的應(yīng)用，證明函數(shù)具有奇偶性，必需嚴(yán)格按照定義進(jìn)行，說明函數(shù)不具有奇偶性，僅舉出一個(gè)反例即可。對(duì)函數(shù)性質(zhì)的考查，主要有兩類問題，其一是判斷函數(shù)是否具有某種性質(zhì)，其二是根據(jù)函數(shù)具有的性質(zhì)解決一些問題，如求值、判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù)、解不等式等。

題型二：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算及簡單應(yīng)用，導(dǎo)數(shù)運(yùn)算是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的基礎(chǔ)，應(yīng)該熟練掌握，導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的幾種常見題型為：求曲線的切線、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、求函數(shù)的最值和值域。

用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程一般解題步驟是：①設(shè)切點(diǎn)（已知切點(diǎn)，則直接用）；②由切點(diǎn)求切線的斜率，進(jìn)而用點(diǎn)斜式寫出切線方程；③由相關(guān)條件求出參數(shù)的值。

用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間的步驟是：①求定義域；②解不等式；③寫出單調(diào)區(qū)間。

用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值的一般步驟：①求導(dǎo)數(shù)的極值點(diǎn)；②列表，確定函數(shù)的單調(diào)性；③比較區(qū)間端點(diǎn)和極值點(diǎn)處函數(shù)的值的大小，從而確定函數(shù)最值。

題型三：函數(shù)知識(shí)綜合應(yīng)用，如方程恒有解問題，往往可以轉(zhuǎn)化為兩條曲線（其中一條曲線可能為垂直于坐標(biāo)軸的直線）的交點(diǎn)問題。利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而繪制函數(shù)圖象，利用數(shù)形結(jié)合的思想分析問題解決問題。再如不等式恒成立問題，往往轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，研究的函數(shù)可能是含參數(shù)的動(dòng)態(tài)函數(shù)，也可以是作參變量分離后的定函數(shù)。含參數(shù)的動(dòng)態(tài)函數(shù)的最值需要對(duì)其單調(diào)性進(jìn)行分類討論。在很多問題中，這種討論最終總是轉(zhuǎn)化為函數(shù)在區(qū)間上零點(diǎn)個(gè)數(shù)的討論。

六、等差等比成雙珠，探究構(gòu)造與反證

數(shù)列是函數(shù)大家庭中的一員，其特殊性在于其定義域是正整數(shù)，它是按一定次序排列的一列數(shù)，數(shù)列在中學(xué)數(shù)學(xué)中既具有相對(duì)的獨(dú)立性，又具有較強(qiáng)的綜合性，它是初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的一個(gè)重要銜接點(diǎn)。數(shù)列問題總在最后一兩題，綜合運(yùn)用函數(shù)、方程、不等式、簡單數(shù)論等知識(shí)，通過運(yùn)用遞推、函數(shù)與方程、歸納與猜想、等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類整合等各種數(shù)學(xué)思想方法，考查學(xué)生靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問題、解決問題的能力和數(shù)學(xué)探索創(chuàng)新的能力。

題型一：等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和公式和性質(zhì)的基本運(yùn)算，本題型往往難度不是很大，考查學(xué)生對(duì)數(shù)列基本知識(shí)的掌握程度以及等差，等比兩類基本數(shù)列的融合考查，前n項(xiàng)和的求法，性質(zhì)的靈活運(yùn)用。解決此類問題需要抓住基本量，掌握好設(shè)未知數(shù)、列出方程、解方程三個(gè)環(huán)節(jié)，常通過“設(shè)而不求，整體代入”來簡化運(yùn)算。

題型二：遞推關(guān)系型問題，常用的方法是再寫一項(xiàng)作差，但要注意首項(xiàng)是否滿足要求。通過遞推或探索來判斷數(shù)列及其性質(zhì)的問題，將一些數(shù)列轉(zhuǎn)化成等差（比）數(shù)列來解決等，常用的方法如觀察法、類比法、錯(cuò)位相減法、待定系數(shù)法、歸納法、數(shù)形結(jié)合法。

題型三：探索型問題，數(shù)列中的探索型問題很多，大多與數(shù)論知識(shí)結(jié)合，用數(shù)列的方法解決問題，即通常是等差、等比數(shù)列與方程、不等式或簡單的整數(shù)問題的綜合交匯（一般不與函數(shù)綜合）。在初等數(shù)論中，一是有關(guān)奇偶數(shù)、質(zhì)數(shù)與合數(shù)、平方數(shù)與立方數(shù)等具有一些顯而易見的特征，借助于這些簡單的性質(zhì)，融合到實(shí)際問題中，二是有關(guān)數(shù)的整除問題，關(guān)鍵是考查某一整數(shù)的約數(shù)，主要通過枚舉來確定解的存在情形，這類問題與不定方程聯(lián)系密切，另外，反證法也是此類問題的常用方法。

回眸六年高考題，江蘇模式已成形。

綜上所述，六年來的事實(shí)證明，江蘇試題嚴(yán)格按照《考試說明》進(jìn)行命題，將8個(gè)C級(jí)（掌握）層次的知識(shí)點(diǎn)作為命題的主線，輔以“函數(shù)，導(dǎo)數(shù)，點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系”等B級(jí)（理解）層次的知識(shí)點(diǎn)，通過科學(xué)設(shè)計(jì)，合理安排，命制解答題，從而體現(xiàn)它的科學(xué)性、嚴(yán)謹(jǐn)性，更能體現(xiàn)“高考應(yīng)具有較高的信度、效度，必要的區(qū)分度和適當(dāng)?shù)碾y度”這一考試性質(zhì)。

編輯 溫雪蓮