古典概型（第一課時(shí)）的教學(xué)設(shè)計(jì)

周淑俊

摘 要：古典概型的教學(xué)課是人教A版高中數(shù)學(xué)3（必修）第三章概率的第二節(jié)古典概型的第一課時(shí)，是在隨機(jī)事件的概率之后，幾何概型之前，尚未學(xué)習(xí)排列組合的情況下教學(xué)的. 本文根據(jù)古典概型的特點(diǎn)，對(duì)其第一節(jié)教學(xué)課進(jìn)行了簡(jiǎn)單的設(shè)計(jì).

關(guān)鍵詞：古典概型；教學(xué)設(shè)計(jì)

■教材分析

本節(jié)課是人教A版高中數(shù)學(xué)3（必修）第三章概率的第二節(jié)古典概型的第一課時(shí)，是在隨機(jī)事件的概率之后，幾何概型之前，尚未學(xué)習(xí)排列組合的情況下教學(xué)的. 古典概型是一種特殊的數(shù)學(xué)模型，也是一種最基本的概率模型，在概率論中占有相當(dāng)重要的地位.

■教學(xué)目標(biāo)

1. 知識(shí)與技能

（1）理解基本事件的特點(diǎn)；

（2）通過實(shí)例，理解古典概型及其概率計(jì)算公式；

（3）會(huì)用列舉法計(jì)算一些簡(jiǎn)單隨機(jī)事件發(fā)生的概率.

2. 過程與方法

根據(jù)本節(jié)課的內(nèi)容和學(xué)生的實(shí)際水平，通過兩個(gè)試驗(yàn)的觀察讓學(xué)生理解古典概型的特征：試驗(yàn)結(jié)果的有限性和每一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)的等可能性，觀察類比骰子試驗(yàn)，歸納總結(jié)出古典概型的概率計(jì)算公式，體現(xiàn)了化歸的重要思想，掌握列舉法，學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、分類討論的思想解決概率的計(jì)算問題.

3. 情感態(tài)度與價(jià)值觀

概率教學(xué)的核心問題是讓學(xué)生了解隨機(jī)現(xiàn)象與概率的意義，加強(qiáng)與實(shí)際生活的聯(lián)系，以科學(xué)的態(tài)度評(píng)價(jià)身邊的一些隨機(jī)現(xiàn)象.

■重點(diǎn)、難點(diǎn)

重點(diǎn)：理解古典概型的概念及其概率計(jì)算公式.

難點(diǎn)：如何判斷一個(gè)試驗(yàn)是否是古典概型：有限性和等可能性.

■教學(xué)內(nèi)容

一、溫故知新

1. 什么是互斥事件？_____________________________

2. 什么是對(duì)立事件？_____________________________

3. 概率的加法公式. _____________________________

師生互動(dòng)：

教師：提出問題.

學(xué)生：各組派代表搶答.

設(shè)計(jì)意圖：

引導(dǎo)學(xué)生回憶前面所學(xué)知識(shí)，為學(xué)習(xí)本節(jié)課的新知識(shí)奠定基礎(chǔ).

二、創(chuàng)設(shè)情境

思考一：

看下面兩個(gè)試驗(yàn)，分析事件的構(gòu)成，回答下列問題

1. 試驗(yàn)一：“拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣”.

（1）試驗(yàn)的結(jié)果有幾個(gè)？_____________________________

（2）它們之間的關(guān)系是什么？________________________

2. 試驗(yàn)二：“擲一枚質(zhì)地均勻的骰子”，看書P119頁探究.

（1）試驗(yàn)的結(jié)果有幾個(gè)？？搖？搖___________________________？搖

（2）它們之間的關(guān)系是什么？________________________

（3）事件D2、D3、G，H與C1、C2、C3、C4、C5、C6之間的關(guān)系是什么？_________________________________________________

師生互動(dòng)：

教師創(chuàng)設(shè)情境，為導(dǎo)入新知做準(zhǔn)備.

設(shè)計(jì)意圖：

隨著問題的提出，激發(fā)了學(xué)生的求知欲望，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

基本事件的概念：一次試驗(yàn)可能出現(xiàn)的每一個(gè)結(jié)果稱為一個(gè)基本事件.如：試驗(yàn)1中的“正面朝上”、“正面朝下”；試驗(yàn)2中的出現(xiàn)“1點(diǎn)”、“2點(diǎn)”、“3點(diǎn)”、“4點(diǎn)”、“5點(diǎn)”、“6點(diǎn)”.

思考二：

（1）在一次試驗(yàn)中，會(huì)同時(shí)出現(xiàn)“1點(diǎn)”和“2點(diǎn)”這兩個(gè)基本事件嗎？

（2）事件“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”包含了哪幾個(gè)基本事件？

基本事件的兩個(gè)特點(diǎn)：（1）任何兩個(gè)基本事件是互斥的；（2）任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和.

師生互動(dòng)：

學(xué)生回答兩個(gè)問題，教師適時(shí)引出基本事件的兩個(gè)特點(diǎn)，并加以說明，加深新概念的理解.

設(shè)計(jì)意圖：

問題的引導(dǎo)可以使學(xué)生更好地把握問題的關(guān)鍵；培養(yǎng)學(xué)生分析問題的能力.

三、實(shí)踐認(rèn)知

例1 從字母a，b，c，d中任意取出兩個(gè)不同字母的試驗(yàn)中，有哪些基本事件？

分析：為了解基本事件，我們可以用列舉法把所有可能的結(jié)果都列出來.畫樹狀圖是列舉法的基本方法，一般分布完成的結(jié)果（兩步或兩步以上）可以用樹狀圖進(jìn)行列舉.

■

解：所求的基本事件共有6個(gè)：A={a，b}，B={a，c}，C={a，d}，D={b，c}，E={b，d}，F(xiàn)={c，d}.

師生互動(dòng)：

初步感知，熟悉構(gòu)成任何事件的基本事件；先讓學(xué)生嘗試著列出所有的基本事件，教師再講解用樹狀圖列舉問題的優(yōu)點(diǎn).

設(shè)計(jì)意圖：

將數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想滲透到具體問題中來.

思考三：

以下每個(gè)基本事件出現(xiàn)的概率是多少？

試驗(yàn)1：P（“正面朝上”）=P（“反面朝上”）=■；

試驗(yàn)2：P（“1點(diǎn)”）=P（“2點(diǎn)”）=P（“3點(diǎn)”）=P（“4點(diǎn)”）=P（“5點(diǎn)”）=P（“6點(diǎn)”）=■.

思考四：

觀察對(duì)比，找出試驗(yàn)1和試驗(yàn)2的共同特點(diǎn)：

■

經(jīng)觀察，概括總結(jié)后得到：

（1）試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè)（有限性）；

（2）每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等（等可能性）.

我們將具有這兩個(gè)特點(diǎn)的概率模型稱為古典概率概型，簡(jiǎn)稱古典概型.

師生互動(dòng)：

讓學(xué)生先觀察對(duì)比，找出兩個(gè)試驗(yàn)的共同特點(diǎn)，再概括總結(jié)得到的結(jié)論，教師最后補(bǔ)充說明.

設(shè)計(jì)意圖：

培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用從具體到抽象、從特殊到一般的歸納推理能力.

思考五：你能舉出幾個(gè)生活中的古典概型的例子嗎？

師生互動(dòng)：

關(guān)注學(xué)生對(duì)生活中古典概型的認(rèn)識(shí)和了解，教師根據(jù)學(xué)生回答適當(dāng)點(diǎn)評(píng).

設(shè)計(jì)意圖：

通過教師的介紹，學(xué)生能夠體會(huì)到生活中處處有古典概型，感受到數(shù)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用.

四、觀察比較，推導(dǎo)公式

思考六：

古典概型下，基本事件出現(xiàn)的概率是多少？隨機(jī)事件出現(xiàn)的概率又該如何計(jì)算？

試驗(yàn)2：擲一顆均勻的骰子，事件A為“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”，請(qǐng)問事件A的概率是多少？

探討：基本事件的總數(shù)為6，事件A包含3個(gè)基本事件：“2點(diǎn)”、“4點(diǎn)”、“6點(diǎn)”，則P（A）=P（“2點(diǎn)”）+P（“4點(diǎn)”）+P（“6點(diǎn)”）=■+■+■=■=■，

即P（“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”）=■=■.

由上可以概括總結(jié)出，古典概型計(jì)算任何事件的概率計(jì)算公式為：

P（A）=■.

提醒：

在使用古典概型的概率公式時(shí)，應(yīng)該注意：要判斷所用概率模型是不是古典概型（前提）.

師生互動(dòng)：

教師提出問題，引導(dǎo)學(xué)生分析試驗(yàn)2中“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”這一事件的概率，先通過用概率加法公式求出隨機(jī)事件的概率，再對(duì)比概率結(jié)果，發(fā)現(xiàn)其中的聯(lián)系.

設(shè)計(jì)意圖：

鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用觀察類比和從具體到抽象、從特殊到一般的方法來分析問題，突出了古典概型的概率計(jì)算公式這一重點(diǎn).

五、反饋矯正

例2 同時(shí)擲兩個(gè)骰子，計(jì)算：

（1）一共有多少種不同的結(jié)果？

（2）其中向上的點(diǎn)數(shù)之和是9的結(jié)果有多少種？

（3）向上的點(diǎn)數(shù)之和是9的概率是多少？

解：（1）擲一個(gè)骰子的結(jié)果有6種，我們把兩個(gè)骰子標(biāo)上記號(hào)1、2，以便區(qū)分.由于1號(hào)骰子的結(jié)果都可以與2號(hào)骰子的任意一個(gè)結(jié)果配對(duì)，我們用一個(gè)“有序?qū)崝?shù)對(duì)”來表示組成同時(shí)擲兩個(gè)骰子的一個(gè)結(jié)果（如表），其中第一個(gè)數(shù)表示1號(hào)骰子的結(jié)果，第二個(gè)數(shù)表示2號(hào)骰子的結(jié)果. （可由列表法得到）

由表中可知同時(shí)擲兩個(gè)骰子的結(jié)果共有36種.

（2）在上面的結(jié)果中，向上的點(diǎn)數(shù)之和為9的結(jié)果有4種，分別為：

（3，6），（4，5），（5，4），（6，3）.

（3）由于所有36種結(jié)果是等可能的，其中向上點(diǎn)數(shù)之和為9的結(jié)果（記為事件A）有4種，因此，由古典概型的概率計(jì)算公式可得：

P（A）=■=■=■.

師生互動(dòng)：

教師對(duì)學(xué)生沒有注意到的關(guān)鍵點(diǎn)加以說明.

設(shè)計(jì)意圖：

加深對(duì)古典概型的理解（尤其是等可能性），鞏固學(xué)生對(duì)已學(xué)知識(shí)的掌握.

思考與探究：為什么要把兩個(gè)骰子標(biāo)上記號(hào)？如果不標(biāo)記號(hào)會(huì)出現(xiàn)什么情況？你能解釋其中的原因嗎？

如果不標(biāo)上記號(hào)，類似于（3，6）和（6，3）的結(jié)果將沒有區(qū)別. 這時(shí)，所有可能的結(jié)果將是：

■

P（A）=■=■.

觀察下面兩對(duì)骰子：

■

上面左右兩組骰子所呈現(xiàn)的情況，可以讓我們很容易地感受到，這是兩個(gè)不同的基本事件.

設(shè)計(jì)意圖：建立有效的模型，能縮短解決問題的時(shí)間，鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.

■鞏固提高

練習(xí)：1. 單選題是標(biāo)準(zhǔn)化考試中常用的題型，一般是從A、B、C、D四個(gè)選項(xiàng)中選擇一個(gè)正確答案.假設(shè)某考生不會(huì)做，他隨機(jī)地選擇一個(gè)答案，則他答對(duì)的概率是多少？

解：這是一個(gè)古典概型，因?yàn)樵囼?yàn)的可能結(jié)果只有4個(gè)：選擇A、選擇B、選擇C、選擇D，即基本事件共有4個(gè)，考生隨機(jī)地選擇一個(gè)答案的可能性是相等的.從而由古典概型的概率計(jì)算公式得：P（“答對(duì)”）=■=■.

探究：如果該題是不定項(xiàng)選擇題，假如某考生也不會(huì)做，那么他能夠答對(duì)的概率為多少？此時(shí)比單選題容易了，還是更難了？

2. 從1，2，3，4，5，6，7，8，9這九個(gè)自然數(shù)中任選一個(gè)，所選中的數(shù)是3的倍數(shù)的概率是_______________.

3. 從裝有3個(gè)紅球、2個(gè)白球的袋中任取3個(gè)球，求所取的3個(gè)球中至少有1個(gè)白球的概率.

4. 從{1，2，3，4，5}中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)為a，從{1，2，3}中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)b，求b>a的概率.

師生互動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生用列表的方式來列舉試驗(yàn)中的基本事件的總數(shù).

設(shè)計(jì)意圖：隨堂練習(xí)，及時(shí)鞏固新知.

■課后作業(yè)

（必做）課本130頁練習(xí)第1，2題課本134頁習(xí)題3.2A組第4題、6題

（選做）課本134頁習(xí)題B組第1題

設(shè)計(jì)意圖：

學(xué)生通過作業(yè)，及時(shí)反饋，鞏固所學(xué)知識(shí)；教師通過分層次布置作業(yè)，提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，同時(shí)能在作業(yè)中發(fā)現(xiàn)教學(xué)的不足.

■教法、學(xué)法及評(píng)價(jià)分析

（一）教法分析

根據(jù)本節(jié)課的特點(diǎn)，采用引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)和歸納概括相結(jié)合的教學(xué)方法，通過提出問題、思考問題、解決問題等教學(xué)過程，觀察對(duì)比、概括歸納古典概型的概念及其概率公式，再通過具體問題的提出和解決，來激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生的主體能動(dòng)性，讓每一個(gè)學(xué)生充分地參與到學(xué)習(xí)活動(dòng)中來. 最后在例題中加入模型的展示，幫助學(xué)生突破教學(xué)難點(diǎn).

（二）學(xué)法分析

學(xué)生在教師創(chuàng)設(shè)的問題情景中，通過觀察、類比、思考、探究、概括、歸納和動(dòng)手嘗試相結(jié)合，體現(xiàn)了學(xué)生的主體地位，培養(yǎng)了學(xué)生由具體到抽象、由特殊到一般的數(shù)學(xué)思維能力，形成了實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度，增強(qiáng)了鍥而不舍的求學(xué)精神.

（三）評(píng)價(jià)分析

在解決概率的計(jì)算上，教師鼓勵(lì)學(xué)生嘗試列表和畫出樹狀圖，讓學(xué)生感受求基本事件個(gè)數(shù)的一般方法，從而化解由于沒有學(xué)習(xí)排列組合而學(xué)習(xí)概率這一教學(xué)困惑. 對(duì)于古典概型的判斷，兩個(gè)條件的缺一不可，尤其是例題中等可能性的判斷，教師通過實(shí)例模型的給出，幫助學(xué)生突破思維難點(diǎn). 整個(gè)教學(xué)設(shè)計(jì)的順利實(shí)施，達(dá)到了教師的教學(xué)目標(biāo).