探討圓錐曲線切線問題的教學(xué)實錄

許正川 毛世槐

摘 要：本文從另一個角度，利用割線逼近切線的思想，對解決直線與圓錐曲線相切的直線方程問題做了系統(tǒng)的討論，得出了圓滿的結(jié)論.

關(guān)鍵詞：圓錐曲線；點差法；中點弦；割線；切線；教學(xué)案例

問題背景

如圖1，橢圓的中心為原點O，長軸在x軸上，離心率e= ，過左焦點F 作x軸的垂線交橢圓于A、A′兩點，AA′=4.

（Ⅰ）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）取垂直于x軸的直線與橢圓相交于不同的兩點P、P′，過P、P′作圓心為Q的圓，使橢圓上的其余點均在圓Q外. 若PQ⊥P′Q，求圓Q的標(biāo)準(zhǔn)方程.

圖1

在研究2013年重慶高考數(shù)學(xué)理科解析幾何試題（試題如上）的時候，聯(lián)想到過P點的圓和橢圓的切線共用一條，如果利用這一點，問題很快得到解決.但學(xué)生不曉得過橢圓上一點的切線方程.怎么辦？突發(fā)奇想，切線和割線會不會有相似的性質(zhì)？切線是割線的極限，可否利用曲線的中點弦問題解決切線問題？而中點弦問題是解析幾何中的一類常見問題，許多學(xué)生熟悉“點差法”求直線斜率，即首先設(shè)弦的兩端點坐標(biāo)為A（x1，y1），B（x2，y2），代入圓錐曲線方程得到兩方程后再相減，從而得到弦中點坐標(biāo)與所在直線的斜率的關(guān)系，使問題得以解決. 設(shè)想A、B兩點退化為切點，可否得到切線斜率？

案例實錄

1.？搖創(chuàng)設(shè)情景，提出問題

教師：前面，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了橢圓、雙曲線和直線的位置關(guān)系，知道了解決這類問題的主要方法. 下面請大家看問題1：已知點M（x0，y0）是直線l被橢圓 + =1所截得的線段的中點，求直線l的方程.

問題提出后，猶如一石激起千層浪，學(xué)生的探究熱情被激發(fā)起來，開始了對問題的探索.

2.？搖自主探索，暴露思維

學(xué)生求解的同時，教師在行間巡視，發(fā)現(xiàn)學(xué)生1很快得出了結(jié)果，于是請生1上臺板書.

學(xué)生1：設(shè)直線l與橢圓交點為A（x1，y1），B（x2，y2），則有b2x +a2y =a2b2，b2x +a2y =a2b2，

兩式相減，得：b2（x1+x2）（x1-x2）+a2（y1+y2）（y1-y2）=0.

因為M（x0，y0）為AB中點，所以有：x1+x2=2x0，y1+y2=2y0，

所以kAB= ，kOM= = ，故有kABkOM=- ，所求直線l的方程為y-y0= - （x-x0） .

教師：很好！先求直線斜率，過程非常簡捷.同學(xué)們還有沒有其他的方法？

學(xué)生2：有，顯然直線l斜率存在，設(shè)其斜率為k，則所求直線方程為y-y0=k（x-x0），聯(lián)立橢圓方程消去y并整理可得（a2k2+b2）x2-2ka2（kx0-y0）x+a2（kx0-y0）2-a2b2=0，由韋達(dá)定理求得kAB=- ，再求出直線l的方程. 不過這種解法計算量比較大，過程比較麻煩.

教師：以上兩種解法就是求解以定點為中點的弦所在直線方程的常用方法，我們不妨稱之為“點差法”和“聯(lián)立法”. 其中聯(lián)立直線與橢圓方程消去y（或x）再由韋達(dá)定理求出k雖然思路很清晰，但運(yùn)算比較復(fù)雜，故一般情況下優(yōu)先考慮“點差法”.

我們再來看看問題2：已知M（x0，y0）是橢圓 + =1上一點，求過點M（x0，y0）的切線方程.

（片刻后）學(xué)生3：（與學(xué)生2同解）假設(shè)直線l斜率存在，設(shè)其斜率為k，則所求切線方程為y-y0=k（x-x0），聯(lián)立橢圓方程消去y并整理可得（a2k2+b2）x2-2ka2（kx0-y0）x+a2（kx0-y0）2-a2b2=0，由判別式為0有Δ=[2ka2（kx0-y0）]2-4（a2k2+b2）[a2（kx0-y0）2-a2b2]=0.

后面的運(yùn)算太復(fù)雜，生3無法完成，老師接著算下去，化簡得

（kx0-y0）2=a2k2+b2，

即k2（x -a2）-2kx0y0+（y -b2）=0①.

又因為點M（x0，y0）在橢圓上，有b2x +a2y =a2b2，所以x -a2=- ，y -b2=- ，代入①式，化簡有kAB=- ，再求出直線l的方程y-y =- （x-x0）.

教師：問題1和問題2的結(jié)果驚人相似. 我們可否這樣認(rèn)為，對問題1的割線的斜率和問題2的切線的斜率有完全類似的結(jié)論？

辨析異同，歸納結(jié)論

學(xué)生4：老師，我想起來了，圓的弦和圓的切線都有相同的結(jié)論kOMkl=-1，（相切），橢圓也有相似的結(jié)論kABkOM=- ，還可以理解為圓是a=b的特殊情況.

教師：非常好！估計大多數(shù)同學(xué)還是很糾結(jié)，切線的運(yùn)算太復(fù)雜. 我們可否換個角度思考，不用聯(lián)立法？

（片刻后）學(xué)生5：可用“點差法”去思考，切線是退化的割線，割線在無限靠近切線的過程中，結(jié)論kABkOM=- 不變.

教師：很好！剛才兩位同學(xué)都很善于思考，從廣義和狹義的角度去聯(lián)想理解. 直線l的方程y-y0=- （x-x0）看起來比較復(fù)雜，其結(jié)構(gòu)特征與橢圓方程之間有沒有聯(lián)系？下面請同學(xué)們把直線方程化成一般式，你發(fā)現(xiàn)了什么？

學(xué)生6：切線方程和割線方程的形式分別為 + = + ， + = + ，表現(xiàn)形式完全一樣，但內(nèi)容不同. 切線方程點M（x0，y0）在橢圓上，割線方程的點M（x0，y0）在橢圓內(nèi). 故切線方程簡化為 + =1，割線方程只能是 + = + .

教師：歸納得很好，梳理一下，結(jié)論如下：

（1）焦點在x軸上的橢圓 + =1，以M（x0，y0）為中點的中點弦的斜率與OM的斜率之積為定值- ；方程是 + = + .

（2）焦點在y軸上的橢圓 + =1，以M（x0，y0）為中點的中點弦的斜率與OM的斜率之積為定值- ；方程是 + = + .

（3）焦點在x軸上的橢圓 + =1，過橢圓上的一點M（x0，y0）的切線方程是 + =1.

（4）焦點在y軸上的橢圓 + =1，過橢圓上的一點M（x0，y0）的切線方程是 + =1；掌握這些結(jié)論后，我們一起來解決下面問題.

例 （1）已知點M（2，1）是直線l被橢圓 + =1所截得的線段的中點，求直線l的方程.

（2）過橢圓 + =1上一點M2， 的切線方程.

（3）已知橢圓 + =1及直線l：x+2y+18=0，在橢圓上求一點P1，使P1到直線l的距離最小；在橢圓上求一點P2，使P2到直線l的距離最大.

解：（1）直線l的方程是 + = + ，化簡得8x+9y-25=0.

（2）切線方程是 + =1，化簡得8x+6 y-36=0.

（3）設(shè)所求點為P0（x0，y0），則過此點的橢圓的切線 + =1應(yīng)平行于直線x+2y+18=0，即y0= x0，代入 + =1解之得P1- ，- ，P2 ， .

橫向類比，深入探究

教師：如果把橢圓改成圓心在坐標(biāo)原點的圓x2+y2=r2呢？

學(xué)生7：圓可看做特殊的橢圓，只要將橢圓中的a、b看做半徑就行.故有：

如果圓的方程是x2+y2=r2，經(jīng)過圓上一點M（x0，y0）的切線的方程是x0x+y0y=r2. 如果M（x0，y0）為圓內(nèi)的一點，那么以該點為中點的弦所在的直線方程為x0x+y0y=x +y .

教師：如果把橢圓改成圓心不在坐標(biāo)原點的圓（x-m）2+（y-n）2=r2呢？

學(xué)生8：我只能得到方程（x-x0）（x0-m）+（y-y0）（y0-n）=0.

教師：很好，但結(jié)構(gòu)與前面不符，我們可否變換一下？（沒有學(xué)生回答）即（x-m+m-x0）（x0-m）+（y-n+n-y0）（y0-n）=0，展開有（x-m）（x0-m）+（y-n）（y0-n）=（x0-m）2+（y0-n）2. 所以有，已知圓的方程是（x-m）2+（y-n）2=r2，經(jīng)過圓上一點M（x0，y0）的切線的方程是（x-m）（x0-m）+（y-n）（y0-n）=r2；如果M（x0，y0）為圓內(nèi)的一點，那么以該點為中點的弦所在的直線方程為（x-m）（x0-m）+（y-n）（y0-n）=（x0-m）2+（y0-n）2.

教師：如果把橢圓改成雙曲線呢？

學(xué)生9：焦點在x軸上的雙曲線 - =1，以M（x0，y0）為中點的中點弦的斜率與OM的斜率之積為定值- ，方程是 - = - .

教師：畫圖，觀察一下雙曲線的圖象斜率之積能否為定值- ？

學(xué)生9：哦，不可能是負(fù)的，應(yīng)該為正，所以

（1）焦點在x軸上的雙曲線 - =1，以M（x0，y0）為中點的中點弦的斜率與OM的斜率之積為定值 ，方程是 - = - .

（2）焦點在y軸上的雙曲線 - =1，以M（x0，y0）為中點的中點弦的斜率與OM的斜率之積為定值 ，方程是 - = - .

（3）焦點在x軸上的雙曲線 - =1，過雙曲線上的一點M（x0，y0）的切線方程是 - =1.

（4）焦點在y軸上的雙曲線 - =1，過雙曲線上的一點M（x0，y0）的切線方程是 - =1.

留下問題，課后探究

探究到這里，很快就要下課了.為進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，鼓勵他們積極思考，筆者又向?qū)W生提出了一些思考題，讓學(xué)生帶著問題走出課堂.

教師：1. 請同學(xué)們課后探究過拋物線上任一點的切線方程；

2. 已知以F1（-2，0），F(xiàn)2（2，0）為焦點的橢圓與直線x+ y+4=0有且僅有一個交點，則橢圓的長軸長為（ ）

A. 3 B. 2

C. 2 ？搖？搖 D. 4

3. 已知橢圓 +y2=1的兩個焦點是F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0）（c>0）. 設(shè)E是直線y=x+2與橢圓的一個公共點，求EF1+EF2取得最小值時橢圓的方程.

？搖？搖4. 能否用切線方法解決本文最前面重慶2013理科高考（21）題？

解：（1） + =1.

（2）設(shè)內(nèi)切于橢圓的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（x-m）2+y2=r2（m>0），因為PQ⊥P′Q，m>0，則P點的坐標(biāo)m+ r， r，過點P圓的切線方程和橢圓的切線方程分別為

（x-m）m+ r-m+y r=r2（m>0）和

+ =1，化簡后分別為x+y-m- r=0和m+ rx+ ry-16=0，這兩條直線重合，所以有 = = ，解得r= ，m= .

所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程x- +y2= ；同理，當(dāng)m<0時，由對稱性，另一個圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是x+ +y2= ；綜上所述，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程x± +y2= .

教后反思

高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)明確指出：數(shù)學(xué)探究是貫穿于整個高中數(shù)學(xué)課程的重要內(nèi)容. 對教師來說，探究什么？如何探究？在探究過程中教師和學(xué)生分別扮演什么樣的角色？這些問題，值得我們教師進(jìn)行深層次的思考. 通過本次教學(xué)嘗試，筆者深刻體會到對習(xí)慣于“照本宣科”、灌輸式教學(xué)的我們來說，要充分相信學(xué)生的智慧和能力. 與其教師講得口干舌燥，部分學(xué)生無動于衷；不如調(diào)動學(xué)生直接參與，讓學(xué)生親身體驗探究學(xué)習(xí)的過程，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和主動性，使學(xué)生在教學(xué)中由被動的知識接受者轉(zhuǎn)變成為知識的共同建構(gòu)者. 與此同時，注意充分發(fā)揮教師在探究學(xué)習(xí)中的支持與引導(dǎo)作用，做到教學(xué)相長.