Dirichlet函數(shù)在實(shí)變函數(shù)中的應(yīng)用

張安玲

（長治學(xué)院 數(shù)學(xué)系，山西 長治 046011）

Dirichlet函數(shù)的一般表達(dá)式是

該函數(shù)是定義在全體實(shí)數(shù)R 上的函數(shù)，它在上任意點(diǎn)處極限不存在，從而在R 上處處不連續(xù)；在定義域R 上是個(gè)偶函數(shù)；在任意區(qū)間（α，β）內(nèi)都不具有單調(diào)性；任何有理數(shù)r＞0都是它的周期，但Dirichlet函數(shù)沒有最小正周期；Dirichlet函數(shù)無對稱中心但有無數(shù)條對稱軸[1]。Dirichlet函數(shù)具有的這些性質(zhì)使得它在教學(xué)中起到了重要的作用。

實(shí)變函數(shù)論是19世紀(jì)末、20世紀(jì)初，主要由法國數(shù)學(xué)家勒貝格(Lebesgue)創(chuàng)立的[2]。它是普通微積分學(xué)的繼續(xù)，其核心內(nèi)容是Lebesgue測度與Lebesgue積分，Lebesgue測度與Lebesgue積分理論的產(chǎn)生來自于對Riemann積分的改良[2]。實(shí)變函數(shù)內(nèi)容抽象、方法巧妙，許多概念、定理、結(jié)論都很難理解，而Dirichlet函數(shù)在實(shí)變函數(shù)中經(jīng)常作為獨(dú)特的例子出現(xiàn)。通過Dirichlet函數(shù)可以加強(qiáng)對實(shí)變函數(shù)中某些知識點(diǎn)的理解。

1 簡單函數(shù)

定義：設(shè)f（x）的定義域E 可分為有限個(gè)互不相交的可測集，使f（x）在每個(gè)Ei上都等于某常數(shù)Ci，則稱f（x）為簡單函數(shù)[2]。

理解簡單函數(shù)這個(gè)概念要抓住以下幾點(diǎn)：

其中Ei（i=1,2,…s）是可測集，Ei∩Ej=○且E=這樣的函數(shù)f（x）為簡單函數(shù)。

有理數(shù)集Q是可測集，RQ 是可測集，Q ∩（RQ）=○且R=Q∪（RQ），當(dāng)x∈Q時(shí)D（x）等于常數(shù)1；當(dāng)x∈RQ 時(shí)D（x）等于常數(shù)0。所以Dirichlet函數(shù)是簡單函數(shù)。

通過Dirichlet函數(shù)這個(gè)例子，進(jìn)一步加深了對“簡單函數(shù)”的理解。

2 幾乎處處成立

幾乎處處成立是實(shí)變函數(shù)中非常重要的概念，它對進(jìn)一步理解幾乎處處收斂、幾乎處處連續(xù)、幾乎處處有限等概念以及葉果洛夫定理、魯津定理、里斯定理、勒貝格定理等定理有很大的作用。

定義：設(shè)π 是一個(gè)與集合E 的點(diǎn)x 有關(guān)的命題，如果存在E 的子集M，滿足mM=0，使得π 在EM 上恒成立，也就是說，EE［π 成立］是零測度集，則稱π 在E 上幾乎處處成立，或者說a.e.于E[2]。

從以下幾點(diǎn)理解幾乎處處成立這個(gè)概念：

1）M?E，mM=0；

2）π 在EM 上恒成立；

則稱π 在E 上幾乎處處成立。

D（x）=0在RQ恒成立；Q?R，且mQ=0，即使得D（x）≠0成立的集合的測度為0，所以D（x）=0 a.e.于R。

3 可測函數(shù)與連續(xù)函數(shù)的關(guān)系

可測函數(shù)與連續(xù)函數(shù)有著密切的聯(lián)系?？蓽y集上的連續(xù)函數(shù)都是可測函數(shù)，但是可測函數(shù)不一定是連續(xù)函數(shù)[2]。如Dirichlet函數(shù)。而魯津定理揭示的是，在E 上a.e.有限的可測函數(shù)是“基本上連續(xù)”的函數(shù)[2]。

對任意有限實(shí)數(shù)a，有

4 Riemann可積與Lebesgue可積的關(guān)系

如果有界函數(shù)f（x）在閉區(qū)間［a，b］上Riemann可積，則f（x）在［a，b］上Lebesgue可積，但其逆命題不成立。即若f（x）在閉區(qū)間［a，b］上Lebesgue可積，f（x）在［a，b］上不一定Riemann可積[3]。如Dirichlet函數(shù)。

Riemann積分用“內(nèi)填外包法”：將定義區(qū)間分割為小區(qū)間；然后以小區(qū)間Δi的長度為底，函數(shù)在Δi上的下確界mi為高的那些矩形內(nèi)填，還以Δi的長度為底，函數(shù)在Δi上的上確界Mi為高的那些矩形外包；當(dāng)把區(qū)間分得很細(xì)時(shí)，內(nèi)填外包的矩形面積之差可以無限小，彼此都趨于一個(gè)定值時(shí)，函數(shù)就是Riemann可積的[2]。

Dirichlet函數(shù)不管把定義域劃分成多么小的n個(gè)區(qū)間，每個(gè)小區(qū)間里都有無理數(shù)和有理數(shù)，函數(shù)值分別取值0和1，它們彼此之差處處都是1，不會趨于相同的值，于是Dirichlet函數(shù)是Riemann不可積的[2]。

Lebesgue積分是將函數(shù)的值域分割成小區(qū)間，把函數(shù)值相差不多的那些點(diǎn)集放在一起，用橫放著的小矩形面積之和加以逼近[2]。

Dirichlet函數(shù)是Riemann不可積的，但它是Lebesgue可積的，這說明Lebesgue積分是比Riemann積分范圍更廣的一種積分。

5 結(jié)束語

實(shí)變函數(shù)論中概念、定理、結(jié)論很多，而且都很抽象，關(guān)系也很復(fù)雜，理解起來非常困難。在學(xué)習(xí)簡單函數(shù)、幾乎處處成立、可測函數(shù)與連續(xù)函數(shù)的關(guān)系、Riemann可積與Lebesgue可積的關(guān)系時(shí)引進(jìn)Dirichlet函數(shù)，使得能輕松搞清楚一些復(fù)雜關(guān)系、深化對概念的理解，對學(xué)習(xí)實(shí)變函數(shù)起到很大的作用。

［1］李景廉.函數(shù)在實(shí)變函數(shù)中的應(yīng)用［J］.佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào),1999,17(3):67-70.

［2］程其襄,張奠宙,魏國強(qiáng),等.實(shí)變函數(shù)與泛函分析基礎(chǔ)［M］.高等教育出版,北京:2010.

［3］劉京鑫.反例在實(shí)變函數(shù)中的運(yùn)用［J］.高等數(shù)學(xué)研究,2009,12(4):117-121.