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    基于分形規(guī)則的陶瓷圖案構(gòu)圖模型研究與應(yīng)用

    2014-04-26 09:50:45章義來(lái)彭永康
    陶瓷學(xué)報(bào) 2014年1期
    關(guān)鍵詞:圖元分形圖案

    章義來(lái),彭永康

    (景德鎮(zhèn)陶瓷學(xué)院,江西 景德鎮(zhèn) 333001)

    基于分形規(guī)則的陶瓷圖案構(gòu)圖模型研究與應(yīng)用

    章義來(lái),彭永康

    (景德鎮(zhèn)陶瓷學(xué)院,江西 景德鎮(zhèn) 333001)

    分形具有無(wú)窮細(xì)節(jié)的自相似性。研究提出了基于分形規(guī)則的陶瓷圖案構(gòu)圖模型,并重點(diǎn)研究了迭代函數(shù)系統(tǒng)IFS、隨機(jī)插值分形在圖案拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)表達(dá)中的應(yīng)用,提出并深入討論了基于分形迭代、區(qū)域迭代分割的陶瓷圖案拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的初始表達(dá)及結(jié)構(gòu)的迭代模式f,對(duì)構(gòu)圖模型及圖案構(gòu)圖算法的實(shí)現(xiàn)等進(jìn)行了深入研究,并最終應(yīng)用本文的研究成果于陶瓷圖案的構(gòu)圖過(guò)程。

    分形;陶瓷圖案;迭代;構(gòu)圖模型

    0 引 言

    20世紀(jì)70年代,法國(guó)數(shù)學(xué)家Mandelbrot 創(chuàng)立了分形幾何學(xué)[1]。分形(Fractal)一詞用來(lái)描述那些不規(guī)則而歐氏幾何又無(wú)法描述的幾何現(xiàn)象和物體[2]。分形圖形是在無(wú)標(biāo)度意義下具有無(wú)窮細(xì)節(jié)的自相似圖形,是無(wú)序和變幻無(wú)窮的美的體現(xiàn)。利用分形的自相似性,可以構(gòu)造出千變?nèi)f化而又具有任意高分辨率結(jié)構(gòu)的藝術(shù)圖案。

    目前,針對(duì)分形技術(shù)的研究一方面主要集中于特定領(lǐng)域的分形圖形生成技術(shù)的研究與應(yīng)用,通過(guò)分形圖案生成技術(shù)的研究,發(fā)現(xiàn)在分形迭代過(guò)程中引入控制參數(shù)或?qū)⒓y理映射技術(shù)引入分形可獲得高真實(shí)自然植物模擬效果[2-5];通過(guò)以3×3、5×5的矩陣為構(gòu)圖模板,基于kroneckor積的分形矩陣構(gòu)圖技術(shù),實(shí)現(xiàn)了一種由模板決定最終圖案構(gòu)成的分形構(gòu)圖技術(shù)[6]。通過(guò)對(duì)紡織、服飾、平面木雕等行業(yè)的圖案進(jìn)行分析、歸納與研究,提出了基于分形幾何原理且具有行業(yè)應(yīng)用特征的分形圖案生成算法,實(shí)現(xiàn)了行業(yè)應(yīng)用圖案的分形生成或分形重構(gòu)[7,9~11]。另一方面則主要研究在分形圖形的基礎(chǔ)上,提出以分形圖元為圖案的構(gòu)圖單元,應(yīng)用對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)與融合等規(guī)則來(lái)進(jìn)行圖案構(gòu)圖的研究[8]。

    陶瓷圖案的行業(yè)應(yīng)用特點(diǎn)決定了大量的陶瓷圖案具有相似的結(jié)構(gòu),通過(guò)應(yīng)用不同的圖元來(lái)生成不同的陶瓷圖案。分形是一種使圖案的整體與局部具有自相似特征的圖案構(gòu)造方法,它將復(fù)雜的圖案集中表示為一組規(guī)則,分形生成的圖案具有高度抽象、復(fù)雜多變的特點(diǎn)。

    本文在上述研究的基礎(chǔ)上,提出用分形規(guī)則來(lái)描述圖案的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu),將圖案的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)歸納表示為一組迭代規(guī)則。由于分形具有的自相似特性,規(guī)則的構(gòu)成決定了圖案的總體結(jié)構(gòu)。在此基礎(chǔ)上提出一種以圖元基礎(chǔ),分形迭代規(guī)則(IFS變換、L-系統(tǒng)等)為圖案拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的陶瓷圖案構(gòu)圖模型。

    應(yīng)用本文提出的模型生成陶瓷圖案時(shí),以初始圖元為初始圖案,對(duì)初始圖元應(yīng)用分形規(guī)則迭代得到另一圖元,著色后加入圖案集合,經(jīng)過(guò)多次不同的分形迭代和著色過(guò)程可得到一個(gè)圖元集合,該圖元集合就構(gòu)成了目標(biāo)圖案。

    1 基于分形規(guī)則的陶瓷圖案構(gòu)圖模型

    基于分形規(guī)則的陶瓷圖案構(gòu)圖模型將圖案(記為P)表達(dá)為構(gòu)圖初元集(簡(jiǎn)稱為圖元集,記為U)及圖案拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)(亦稱構(gòu)圖模式,記為S)構(gòu)成的二元組,記為:

    1.1 分形迭代圖案的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)

    圖案拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)S決定了圖元在圖案中的組織與呈現(xiàn)方式。圖案的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)S由IFS系統(tǒng)的仿射變換集合W及迭代模式f二者構(gòu)成,記為:

    1.1.1 仿射變換集W

    仿射變換集W的元素表述了圖案分形迭代構(gòu)圖過(guò)程中,圖元的變換處理規(guī)則,記為 。

    1.1.2 圖案分形迭代模式f(W,k)

    圖案分形迭代模式f是一個(gè)仿射變換集W、W的元素?cái)?shù)k為參數(shù)的二元函數(shù)。迭代模式f的迭代過(guò)程見(jiàn)式4所示。W(k)的值可用式4所示的迭代過(guò)程計(jì)算:

    1.2 區(qū)域迭代分割圖案的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)

    在陶瓷圖案區(qū)域迭代分割生成圖案的過(guò)程中,圖案構(gòu)圖矩形區(qū)域 是圖案構(gòu)造的起點(diǎn)。圖案的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)S由構(gòu)圖區(qū)域集D與區(qū)域分割模式f二者構(gòu)成,如式5所示:

    區(qū)域分割模式S=D,k的功能是將區(qū)域D分割為k個(gè)不相交的子集的集合,且分割生成的區(qū)域子集滿足條件

    1.2.1 構(gòu)圖區(qū)域D

    區(qū)域Di的邊界Ri是一個(gè)由直線段首尾相接形成的封閉回路。結(jié)構(gòu)R可歸納為式6所述。

    其中,區(qū)域的邊的權(quán)值wht取向量的模長(zhǎng)表示,則區(qū)域邊界R的每個(gè)頂點(diǎn)均有兩條邊相連,頂點(diǎn)的度deg(vi)=2。

    如果區(qū)域V中的端點(diǎn)矢量 按回路中引用該矢量的先后次序排列,則式6所示的區(qū)域邊界R可用式7所述的格式來(lái)表達(dá)。

    1.2.2 區(qū)域的k-SEGMENT迭代模式

    區(qū)域分割就是應(yīng)用模式g(D,k)將區(qū)域D劃分成k(k>1)個(gè)不相交的子集Di,i=1,...,k的過(guò)程。

    式8的遞歸表示如下:

    D(i)為區(qū)域第i次分割后的子區(qū)域集,是對(duì)區(qū)域第k-1次k分后的區(qū)域集D(k-1)的第1子區(qū)域集。

    本文將以k=2為例分析區(qū)域分割的原理與算法。

    1.3 圖元構(gòu)成

    圖元有陣列圖元A(亦稱像素圖元)、矢量圖元Fu兩類。陣列圖元通常以圖像形式集中存儲(chǔ),以Am×n表示之。矢量圖元Fu是根據(jù)圖元的幾何特性來(lái)繪制圖元,由點(diǎn)、線、區(qū)域等構(gòu)圖要素按一定順序構(gòu)成。矢量圖元的特點(diǎn)是圖元縮放處理后不失真,圖元占用空間較小。

    矢量圖元是由構(gòu)圖要素v組成的n元組,用式9所示。

    構(gòu)圖要素vi(簡(jiǎn)稱圖素)指圖元構(gòu)成的基本元素,通常是一個(gè)有窮元素ej的集合。ej可用式7中的四元組(op,d,a,pr)來(lái)表示,其中op-矢量類型,可以點(diǎn)、線(直線、曲線等),d-矢量數(shù)據(jù),a-矢量的附加屬性數(shù)據(jù),如顏色、區(qū)域處理(透明、不透明等),pr-優(yōu)先級(jí)等。

    矢量圖元依圖元構(gòu)成情況分為單一函數(shù)圖元、復(fù)合矢量圖元兩類。

    單一函數(shù)圖元指用一個(gè)函數(shù)即可完整描述的圖元,如直線段、圓和橢圓、各類曲線(二次曲線、正葉線、星茫線、多邊形等)。復(fù)合圖元指由點(diǎn)、線、區(qū)域等圖素的綜合。

    2 分形圖案構(gòu)圖模型應(yīng)用

    2.1 再論IFS迭代分形構(gòu)圖碼w

    在仿射變換應(yīng)用的等概率假設(shè)下,IFS分形構(gòu)圖碼W的元素w=(a,b,c,d,e,f)。

    設(shè)圖元中心為(0,0),則w還可用矩陣表示:

    式中s1,s2為圖元的縮放因子,角度θ為圖元的旋轉(zhuǎn)角度,角度θ為正,表示逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn),反之順時(shí)針旋轉(zhuǎn)。tx,ty為圖元的平移距離。

    生成分形圖案時(shí),碼元素的分布規(guī)律,稱為軌道。例如圖1所示的分形圖案,碼元素平均分布在一個(gè)圓周上,其軌道為圓周(且圓周半徑r=1)。

    碼元數(shù)量Lt(W)=7,亦即將圓周七等分,相鄰碼元的迭代計(jì)算中心與圖案中心點(diǎn)(0,0)的圓心角夾角 =360/7=51.42°。分形碼元wi(i=1,…,7)的處理中心為則有

    如果碼元wi(i=1,…,7)的局部坐標(biāo)系的x軸通過(guò)圖案中心(0,0),則圖元在wi(i=1,…,7)處的旋轉(zhuǎn)角度 。

    圖1所示的分形圖案的碼元集W為(見(jiàn)表1)。

    圖1 分形圖案Fig.1 Pattren fractal

    表1 分形圖案碼元集WTab.1 Pattern fractal element-code set

    2.2 圖案區(qū)域2—SEGMENT迭代分割

    2.2.1 區(qū)域的2-SEGMENT模式g(D,2)過(guò)程

    在區(qū)域2分分割法生成圖案過(guò)程中,g(D,2)亦可寫(xiě)成g(R, 2),g(R, 2)的原理是:

    (1)在區(qū)域D的邊界R(如式11)中,任取兩邊,分別為e1=(vi,vi+1),e2=(vj,vj+1);

    (2)在邊e1,e2中各取一點(diǎn),分別記為p1,p2,構(gòu)造邊e=(p1,p2)加入R,可將R分割為兩個(gè)區(qū)域R1,R2,且

    邊(vi,vj)上的點(diǎn)p可采用來(lái)計(jì)算,其中k取值須滿足條件0≤k≤1,可采用黃金分割法或隨機(jī)法確定它的值。在黃金分割法下,k=0.618。在隨機(jī)取值法下,k=rnd(1)為0~1間的隨機(jī)數(shù)。

    2.2.2 區(qū)域的2-SEGMENT迭代

    基于區(qū)域2-SEGMENT模式的區(qū)域迭代分割過(guò)程,可將式8簡(jiǎn)化為式10。

    式10表明,從圖案的初始區(qū)域開(kāi)始,每次以前一次調(diào)用R(k-1)=g(Rk-2,2)的執(zhí)行結(jié)果為基礎(chǔ),繼續(xù)調(diào)用R(k)=g(Rk-1,2)來(lái)對(duì)Rk-1中的子區(qū)域進(jìn)行2-SEGMENT分割,如此不斷重復(fù)迭代,直到達(dá)到規(guī)定的結(jié)果為止,即可完成區(qū)域的2-SEGMENT分割,最后再對(duì)分割產(chǎn)生的子區(qū)域進(jìn)行構(gòu)圖的最終處理即可得到分形圖案。

    式10的遞歸形式表示如下(見(jiàn)式11)。

    3 基于分形規(guī)則的圖案構(gòu)圖算法

    應(yīng)用本文提及的構(gòu)圖模型來(lái)進(jìn)行圖案構(gòu)圖時(shí),需指定構(gòu)圖的類型ptype(指分形迭代構(gòu)圖or 區(qū)域迭代構(gòu)圖)、圖元U、初始圖案拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)S(值為W或者D)及常數(shù)k四個(gè)參數(shù)。應(yīng)用模型構(gòu)圖的算法描述如下:

    1)圖案拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)生成模式選擇生成,通過(guò)ptype的值來(lái)選擇。

    如果ptype=分形迭代構(gòu)圖,則圖案拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)C=f(S, k);

    否則為區(qū)域迭代構(gòu)圖模式,C=g(S, k);

    2) for each e in C do begin

    p← h(U,e);//h(U,e)應(yīng)用規(guī)則e對(duì)圖元U進(jìn)行處理

    P←P∪{p};

    end for;

    3)調(diào)用ShowPattern(P) 顯示圖案P,結(jié)束。

    4 算法生成的圖案

    5 分形圖案的連續(xù)性

    5.1 分形迭代法生成圖案的連續(xù)性

    陶瓷圖案分形迭代構(gòu)圖時(shí),圖案的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)是由圖元仿射變換集W和分形迭模式f兩者共同表達(dá)。其中,W側(cè)重表述了一次迭代過(guò)程中圖元的變換構(gòu)圖規(guī)則,分形迭代模式f描述表達(dá)了圖案的迭代運(yùn)算規(guī)則。W的元素具有確定性、多變性的特點(diǎn)。確定性是指W的元素一旦確定,即便選擇不同的圖元進(jìn)行構(gòu)圖,算法生成的圖案仍擁有相同的結(jié)構(gòu),如圖2中a~b所示的圖案,多變性是指W中的元素個(gè)數(shù)、它的每個(gè)碼元的值都是可變的,上述可變因素的任何變化,均可生成不同結(jié)構(gòu)的圖案(如h所示的圖案,具有明顯的平面特征,適用于建筑陶瓷行業(yè)產(chǎn)品尤其是瓷磚的裝飾。該方法生成的圖案應(yīng)用于建陶瓷磚生產(chǎn)中,產(chǎn)品的二方、四方連續(xù)要求也是需要考慮的問(wèn)題。區(qū)域分割采用隨機(jī)插值的原理進(jìn)行分割,其生成的圖案具有明顯的隨機(jī)性。對(duì)圖案的二方、四方連續(xù)的要求,可以通縮小圖案初始區(qū)域,應(yīng)用對(duì)稱原理將區(qū)域迭代分割產(chǎn)生的圖案對(duì)稱變換分布到整個(gè)圖案空間來(lái)滿足。

    圖2 分形圖案示例Fig.2 Examples of fractal patterns

    圖3 構(gòu)圖區(qū)域Fig.3 Pattern composition domain

    圖案的二方連續(xù)有水平、垂直兩種連續(xù)方式,以水平二方連續(xù)為例,構(gòu)圖的初始區(qū)域?yàn)?,區(qū)域涵蓋圖3所示區(qū)域劃分中的子區(qū)域①和④。

    圖4 具有連續(xù)特征的區(qū)域迭代分割圖案Fig.4 Continuous pattern generated via iterative domain decomposition

    對(duì)子區(qū)域②和③中的每個(gè)點(diǎn)q,可用下式建立其與子區(qū)域①和④中的點(diǎn)p的映射:

    同理,對(duì)圖案四方連續(xù)可用圖案中心對(duì)稱處理生成,可使初始區(qū)域?yàn)?,區(qū)域?yàn)閳D3所示區(qū)域劃分中的子區(qū)域①。區(qū)域②、③和④的點(diǎn)與區(qū)域①的點(diǎn)的映射關(guān)系如下:

    區(qū)域②與區(qū)域1的映射:

    區(qū)域③與區(qū)域1的映射:

    區(qū)域④與區(qū)域1的映射:

    應(yīng)用上述改進(jìn)后的區(qū)域迭代算法,生成的符合連續(xù)要求的圖案如圖4所示。

    6 結(jié) 論

    本文提出的基于分形規(guī)則的陶瓷圖案構(gòu)圖模型,首次將分形技術(shù)應(yīng)用于圖案拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的描述與表達(dá)。應(yīng)用本模型進(jìn)行陶瓷圖案構(gòu)圖時(shí),模型使用分形模型(或分形規(guī)則)來(lái)描述圖案的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu),選用不同的圖元可生成結(jié)構(gòu)復(fù)雜多變、具有整體與局部自相似特征的陶瓷圖案。本文的研究成果是對(duì)行業(yè)應(yīng)用中的圖案構(gòu)圖方法的拓展?;诒疚姆椒ㄉ傻膱D案可用于日用及建筑陶瓷產(chǎn)品裝飾,研究的理論及算法具有理論及實(shí)踐意義。本文的研究成果已成功應(yīng)用于陶瓷圖案生成系統(tǒng),文中的分形圖案均由本系統(tǒng)生成。

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    Research and Application of the Ceramic Pattern Composition Model Based on the Fractal Rule

    ZHANG Yilai PENG Yongkang
    (Jingdezhen Ceramic Institute, Jingdezhen 333001, Jiangxi, China)

    A fractal is a self-similar pattern with infnite detail. This paper proposes a ceramic pattern composition model based on the fractal rule. It mainly discusses the application of iterated function system and randomized interpolation fractal to the representation of a pattern’s topology. An initial visualization of a ceramic pattern topology is realized via fractal iteration and iterative domain decomposition and the iterative mode f is obtained. The construction of the model with its pattern composition algorithms is described in detail, and is fnally applied to the practical generation of ceramic patterns.

    fractal; ceramic pattern; iteration; pattern composition model

    ZHANG Yilai(1965-),male,Ph.D.,Professor.

    TQ174.79

    A

    1000-2278(2014)01-0071-07

    2013-10-20。

    2013-10-28。

    國(guó)家科技支撐計(jì)劃資助項(xiàng)目(編號(hào):2012BAH25F02);國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(編號(hào):61262038);國(guó)家科技支撐計(jì)劃資助項(xiàng)目(編號(hào):2013BAF02B01)

    章義來(lái)(1965-),男,博士,教授。

    Received date:2013-10-20. Revised date:2013-10-28.

    E-mail:jdzzyl@163.com

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