代數(shù)學的符號化進程

趙麗麗

摘 要：循歷史腳步探詢代數(shù)學的發(fā)展過程，通過敘述代數(shù)符號從無到有、從雜亂無序到系統(tǒng)有序，進而使得代數(shù)學成為數(shù)學中的一個重要分支。由此可見，代數(shù)符號在代數(shù)學發(fā)展中所起到的重要作用。

關(guān)鍵詞：代數(shù)學；代數(shù)符號；未知量

代數(shù)符號的引入和發(fā)展經(jīng)歷了漫長的歷史過程的?，F(xiàn)在的代數(shù)符號和現(xiàn)代數(shù)碼一樣，是經(jīng)過世界各民族共同努力，經(jīng)過幾千年不斷演變而逐漸形成的。盡管整個符號系統(tǒng)發(fā)展得如此緩慢，但無論是古代的希臘，還是東方的中國，人類都以其各自獨有的文化，建樹著一座座數(shù)學史上的豐碑。由于沒有一套良好的符號系統(tǒng)，古代的歐洲和阿拉伯數(shù)學家，都為形如ax+b=0這樣一個簡單的一元一次方程困惑過。這似乎是不可思議的，因為在今天，這樣的方程對于任何一個中學生都是不屑一顧的。然而古代數(shù)學家曾為此求助于一種較為煩瑣的“試位法”。早在公元1世紀我國古代數(shù)學著作《九章算術(shù)》中，就曾使用過同樣的方法，不過，書中用的是另一個名稱，叫“盈不足”。由此可見，一個可靠而又簡潔的符號系統(tǒng)對于數(shù)學的發(fā)展起著多么巨大的作用！大約始自15世紀末至17世紀中葉，代數(shù)學才真正進入符號代數(shù)時期。讓我們遵循時代的腳步來探尋代數(shù)學符號的源頭。

一、代數(shù)學符號的萌芽

1.古代巴比倫的代數(shù)記號

公元前4000年左右，生活在西亞的底格里斯河和幼發(fā)拉底河之間的地帶（相當于現(xiàn)在的伊拉克一帶），即“美索波達米亞”地區(qū)的人民相繼創(chuàng)造了西亞上古時期的文明。那時候，已經(jīng)有了象形文字，大約于公元前1900年形成了奴隸制的巴比倫王國。巴比倫人的代數(shù)方程是用語文敘述并用語文來解出的。他們常用“us”（長），“sag”（寬）和“asa”（面積）這些字來代表未知量，并不一定因為所求未知量確實是這些幾何量，而可能是由于許多代數(shù)問題來自幾何方面，因而用幾何術(shù)語成了標準做法。且看如下例子是如何說明他們是怎樣用這些術(shù)語表示未知量和陳述問題的：“我把長乘寬得面積10，我把長自乘得面積，我把長大于寬的量自乘，再把這個結(jié)果乘以9，這個面積等于長自乘所得的面積。問長和寬分別是多少？”很明顯，這里的文字“長、寬和面積”，只不過是分別代表兩個未知量及其乘積的方便說法。這個問題的現(xiàn)今寫法就是

xy=10

9（x-y）2=x2。

值得一提的是，巴比倫人有時也用記號表示未知量，但這種記法只是偶爾用之。在有些問題里，他們用兩個蘇美爾文字表示兩個互為倒數(shù)的未知數(shù)。又因為這兩個文字在古蘇美爾文里是用象形記號的，而這兩個象形記號當時已不流行，所以結(jié)果就等于用兩個特殊記號來表示未知量。

從出土的古巴比倫的泥板上的楔形文字中發(fā)現(xiàn)，巴比倫人用特殊的名稱和記號來表示未知量，采用了少數(shù)幾個運算記號，解出了含有一個或較多未知量的幾種形式的方程，特別是解出了二次方程，甚至某些三次、四次（可化為二次的）和個別指數(shù)方程，并且能夠把它們應用于天文學和商業(yè)等實際問題中去，這些都是代數(shù)的開端。

2.古代埃及的代數(shù)記號

埃及人創(chuàng)造了一套1到1000萬的有趣的象形數(shù)字記號，有自然數(shù)和分數(shù)的算術(shù)四則運算，但分數(shù)的表示和運算方法繁雜。在古埃及有限的代數(shù)里實際上沒有成套的記號，在埃及的草片文書中，加法和減法用一個人走近和走開（來和去）的腿形來表示，記號“г”用來表示平方根。除此之外，古埃及人把未知數(shù)稱為‘堆（hau），它本來的意思是指數(shù)量是未知數(shù)的谷物的堆。在蘭德紙草上有一個方程問題：“有一堆，它的 加它的 ，加它的 ，再加它全部共為33”，埃及人的寫法非常的有趣：用現(xiàn)在的計算形式寫出來就是：x+ x+ x+ x=33.紙草的作者用算術(shù)方法正確地解決了這個問題：x=14 。

3.古代希臘的代數(shù)記號

在希臘，一個對代數(shù)有著特殊貢獻的人是必須提到的，他就是亞歷山大時期的著名數(shù)學家丟番圖。他的一部巨著《算術(shù)》也像某些埃及的草片紙本一樣是個別問題的匯集。丟番圖做出的一步重大的進展是在代數(shù)中采用一套符號。由于我們沒有他的親筆手稿而只看到很久以后的本子，所以不能確切地知道他引入了哪些符號。據(jù)說他用來表示未知量的記號是“s”，就像我們的“x”一樣，這“s”可能同用在希臘字末尾的那個希臘字母σ是一樣的，而丟番圖之所以用它來表示未知量，可能就是因為用字母表示數(shù)的希臘記數(shù)制中只有這個字母沒有被用來表示數(shù)。丟番圖把未知量稱作“題中的數(shù)”。我們的“x2”丟番圖記為ΔY，而Δ是希臘字δνυαμιs的第一個字母。x3是KY；這里的K是從κνβο而來的。x4是ΔYΔ，

x5是ΔKY；x6是KYK。在這套符號里，KY沒有清楚地表明是x的立方，而我們的x3則明白表出它是x的立方。丟番圖的S=1/X，他又用一些名次稱謂這些乘冪，例如稱x為“數(shù)”，稱x2為“平方”，稱x3為“立方”，稱x4為“平方平方”，稱x5為“平方-立方”，稱x6為“立方立方”。

出現(xiàn)這一套符號當然是了不起的，但他使用三次以上的高次乘冪更是件了不起的事。古典希臘數(shù)學家不能也不愿考慮含三個以上因子的乘積，因為這種乘積沒有幾何意義，但在純算術(shù)中，這種乘積卻確有其意義，而這正是丟番圖所采取的觀點。

丟番圖寫加法時把相加的各項并列在一起，把所有負項都寫在正項之后。加法、乘法和除法的運算記號是沒有的。符號用來表示相等。代數(shù)式的系數(shù)都是特定的數(shù)；他不用表示一般系數(shù)的符號，因他確實用了一套記號，所以后人把丟番圖的代數(shù)稱作縮寫代數(shù)，而把埃及，巴比倫的代數(shù)稱作文字敘述代數(shù)。

丟番圖的解題步驟是像我們寫散文那樣一個字接著一個字寫的。他做的運算是純算術(shù)性的，不求助于幾何直觀來作具體說明?？偟恼f來，丟番圖發(fā)展了巴比倫的代數(shù)，采用了一整套符號，使得代數(shù)學發(fā)展到了一個新的階段，這些都是非常了不起的。所以丟番圖也被后人奉為代數(shù)學的鼻祖。

4.古代印度和阿拉伯的代數(shù)記號

在數(shù)學史上，希臘人的后繼者是印度人。公元2～12世紀是印度數(shù)學的高潮時期，印度人大大推進算術(shù)和代數(shù)的進展。他們最先制定了現(xiàn)在世界通用的印度——阿拉伯數(shù)碼。在代數(shù)上他們用縮寫的文字和一些記號來描述運算。當有一個以上的未知量時，他們用顏色的名稱來代表。例如，第一個叫未知量，其他的就叫黑的、藍的、黃的等。每個字的頭一個字母也被他們拿來作為記號。這套記號雖然不多，但足夠使印度代數(shù)稱得上是符號性的代數(shù)，并且符號肯定比丟番圖的縮寫代數(shù)用的多。

從9世紀開始，外國數(shù)學發(fā)展的中心轉(zhuǎn)向了阿拉伯和中亞細亞地區(qū)。阿拉伯數(shù)學起著承前啟后的作用。他們發(fā)展了代數(shù)，建立了解方程的方法，得到一元二次方程的求根公式。在此必須一提的是阿拉伯數(shù)學家花拉子米，他從印度回國后著《代數(shù)學》一書。他的第一個貢獻是創(chuàng)建“代數(shù)”這門學科的名稱。代數(shù)來自于阿拉伯文的“al-jabr”.阿拉伯文“jbr”的意義是“恢復”“還原”。解方程時將負項移到另一端，變成正項，也可以說是一種“還原”。書名后面的那個阿拉伯文“muqabala”原意為“對抗”“平衡”，用來指消去方程兩端相同的項或合并同類項，也可譯為“對消”?；ɡ用追Q未知量為“東西”或（植物的）“根”，從而把解未知量叫做求根。可惜的是阿拉伯人沒有采用成套的符號。他們的代數(shù)完全是用文字敘述的，比起印度人甚至比起丟番圖都后退了一步。

5.古代中國的代數(shù)記號

中國古人很早就有了關(guān)于方程的知識，早在秦漢時期，天文歷法有了較大的發(fā)展，為了編制歷法，當時的中國數(shù)學家就已經(jīng)知道了一些方程的解法。起初，人們還用“天、上……仙”九個字分別表示未知數(shù)的正冪，用“地、下……鬼”九個字表示負冪，用“人”表示常數(shù)項。以后經(jīng)過簡化，金代數(shù)學家李冶在其著作《測圓海鏡》中使用了天元術(shù)，明確地用“天元”表示未知數(shù)一次項，“立天元一為某某”相當于現(xiàn)代數(shù)學中的“設x為某某”，用天、地表示方程的正次冪和負次冪，用“太”表示常數(shù)項。規(guī)定正冪在上、常數(shù)和負冪在下。根據(jù)問題設未知數(shù)，列出兩個相等的多項式，進行多項式運算，最后列出有待求解的方程，并且建立了設立方程解決實際問題的方法。天元術(shù)已有現(xiàn)代列方程記法的雛形，難怪現(xiàn)代史家稱它為“半符號代數(shù)”。在天元術(shù)中，一次項系數(shù)旁記一“元”字（或在常數(shù)項旁記一“太”字），“元”以上的系數(shù)表示各正次冪，“元”以下的系數(shù)表示常數(shù)和各負次冪（或“太”以上的系數(shù)表示各正次冪，“元”以下的系數(shù)表示各負次冪）。

約公元50年成書的《九章算術(shù)》，是中國流傳至今最古老的一部數(shù)學專著。在這本書中就已經(jīng)使用了“方程”這個名詞，把天元術(shù)的原理應用于聯(lián)立方程組，并且出現(xiàn)了解一元一次方程和一元二次方程等許多代數(shù)問題。由于中國古代使用算籌計算，利用算籌的位置表示未知數(shù)及其次數(shù)，只用算籌擺出其系數(shù)就可以求解，1247年南宋秦九韶引入了一元高次方程的一般解法，除了用位置表示未知數(shù)及其次數(shù)外，還用了一些專門術(shù)語。

把天元術(shù)的原理應用于聯(lián)立方程組，先后產(chǎn)生了二元術(shù)、三元術(shù)和四元術(shù)。這是十三世紀中到十四世紀初我國宋元時期數(shù)學家又一輝煌成就?，F(xiàn)有傳本的朱世杰的《四元玉鑒》就是一部杰出的四元術(shù)著作。所謂四元術(shù)，就是用天、地、人、物四元表示四元高次方程組。列式的方法是：在常數(shù)右側(cè)記一“太”字，天、地、人、物四元和它們的乘冪的系數(shù)分別列于“太”字的下、左、右、上，相鄰兩未知數(shù)和它們的乘冪的積的系數(shù)記入相應的兩行相交的位置上，不相鄰的幾個未知數(shù)的積的系數(shù)記入相應的夾縫中。我們用x、y、z、u分別表示天、地、人、物四元。用“元”代表未知數(shù)的說法，也一直沿用到現(xiàn)在。

二、代數(shù)學符號的發(fā)展

在16世紀以前，自覺運用一套符號以使代數(shù)的思路和書寫更加緊湊更加有效的人只有丟番圖，但他基本上是簡寫或縮寫。記號上的所有其他變動無非是標準文字的縮寫，而且頗為隨便。例如p代表plus（加），m代表minus（減），等等。尤其是用符號表示未知量及未知量的乘冪的進展更為緩慢。像radix（拉丁語“根”），res（拉丁語“東西”），cosa（意大利語“東西”），coss（德語“東西”）這類的詞，都曾被用于作未知數(shù)，因此，在當時代數(shù)是以“cossic”術(shù)（意即求根術(shù)）之名出現(xiàn)的。15、16世紀不少歐洲數(shù)學家在改進符號方面做了許多貢獻?，F(xiàn)代用的等號“=”叫雷科德符號（Recordessign），是雷科德（R.Recorde）在1557年出版的一本書《碩智石》中第一次作為等號使用的。書中寫道：“為了避免反復使用‘isequalto這個短語，我采用了一對等長的平行線段來表示，因為沒有任何其他兩樣東西比一對等長的平行線段更顯得相等了?！钡渫茝V非常緩慢，后來的著名人物如開普勒、伽利略等人一直用文字或縮寫語如aequab，aeqantar，ae，esgale等表示相等，笛卡兒在1637年還利用“=”表現(xiàn)代“±”號的意義，而用“∞”作等號。直到17世紀晚期，用“=”作等號才為人們所接受，并逐漸得到通用。

而代數(shù)名稱與符號記法因人而異?？ǖぴ谒摹吨匾乃囆g(shù)》中把未知量稱作“remignotam”（不知道的東西），他還用qdratuaeqtur4rebusp：32表示x2=4x+32。邦貝利（R.Bombelli，1526～1572）在他的《大術(shù)》一書中把x，x2和x3寫成1，2和3。例如，1+3x+6x2+x3就成了1p.3p.6p.1。1585年，Stevin把這個式子寫成1+3+6+1。Stevin還用分數(shù)指數(shù)表示平方根，表示立方根等等。

直到16世紀中，迅速發(fā)展的科學對數(shù)學家提出了引進符號體系的迫切要求。代數(shù)性質(zhì)上最重大的變革是由法國數(shù)學家韋達（FrancoisVieta，1540～1603）在符號體系方面引入的。韋達是第一個有意識地使用字母的人。他在研讀了Cardan，Bombelli，Stevin和Diophantus的著作后獲得了使用字母的想法。他不僅用字母表示未知量和未知量的乘冪，而且用來表示一般的系數(shù)。通常他用輔音字母表示已知量，用元音字母表示未知量。他把他的符號性代數(shù)稱作logisticaspeciosa（類的籌算術(shù)），以別于logisticanumerosa

（數(shù)的籌算術(shù)）。1591年，他出版的《分析術(shù)引論》（InArtemAnalyticamIsagoge）是一部符號代數(shù)的最早著作，規(guī)定了算術(shù)和代數(shù)的分界線，建立“類”的概念，用一般的類取代特殊的數(shù)。通俗地說就是把形如求解方程x2+10x=39演變成求解方程x2+ax=b的初等代數(shù)。這種認識把代數(shù)看成關(guān)于字母的計算，即關(guān)于由字母構(gòu)成的公式的變換以及關(guān)于代數(shù)方程的科學。代數(shù)就一下子成為研究一般類型的形式和方程的學問。正因為有了符號體系，代數(shù)才得以進一步發(fā)展。后來，數(shù)學家笛卡兒（ReneDescartes，1596～1650）對此作出了改進，第一個提倡用x、y、z表示未知數(shù)。他在《幾何學》（1637年）中用x3--9xx+26x--240表示x3-9x2+26x-24=0。這與現(xiàn)在的寫法基本類似。

在有了系統(tǒng)的代數(shù)符號以后，數(shù)學家們開始研究二次方程的解，后來有了一般的求根公式，再后來對三次、四次方程也有了一般的求根公式，而且從中導致了復數(shù)的發(fā)現(xiàn)。但對五次或五次以上的方程求解，在找一般的求解公式時，卻遇到的極大的困難。不斷的失敗啟示人們，是否這樣的一般公式根本就不存在？在1832年，天才的伽羅瓦（E.Galois）徹底解決了這個問題。即一般的五次或五次以上的方程沒有求根公式。伽羅瓦在解決這個問題時，第一次明確提出了群的概念，他正是用“群論”的方法創(chuàng)造性地解決了上述問題。隨著四元數(shù)、向量、矩陣、線性變換等一系列更具一般性的研究對象的出現(xiàn)，代數(shù)的面貌發(fā)生了一系列深刻的變化。盡管代數(shù)仍是一門關(guān)于運算的科學，但它已經(jīng)從局限于研究數(shù)的運算性質(zhì)的數(shù)學分支，變成研究更為一般的代數(shù)運算的規(guī)律和性質(zhì)的龐大的數(shù)學分支。這就是抽象代數(shù)，或稱近世代數(shù)。

盡管代數(shù)學向前邁了一大步，但為了使記號精簡起見，規(guī)定除非絕對必要時，一般不引進新的記號，或者根據(jù)需要對原來的記號稍加修改。哈密而頓（W.R.Hamilton）定義了向量的外積和內(nèi)積，格拉斯曼（H.G.Grassmann）給出了包括內(nèi)積、外積在內(nèi)的幾種積。向量的外積在向量分析中占有中心地位。1846年格拉斯曼用a×b表示內(nèi)積，1862年又表示為[ulv]，在1844年和1862年他用[uv]表示外積。最先用“uv”表示向量積的是俄國的索莫夫（1907年），吉布斯（J.W.Gibbs）把數(shù)量積成為“點積”（dotproduct）并記為u·v，他還用u×v表示向量積，這種用法一直沿用到現(xiàn)在。荷蘭數(shù)學家洛倫茲（HendrikAntoonLorentz，1853-1928）把數(shù)量積記為（u，v），向量外積記為[u·v]。特納等人于1903年記內(nèi)積為（u，v），現(xiàn)在也常用，對應的向量外積記為[u，v]。人類對科學的探索永無止境，隨著代數(shù)學的不斷前進發(fā)展，根據(jù)使用的需要還會產(chǎn)生更多的符號。

代數(shù)學發(fā)展的關(guān)鍵是建立了一套有效的符號體系，首要的一步是引進符號代表數(shù)字，用符號代替文字敘述。正如克萊因所說：“代數(shù)學上的進步是引進了較好的符號體系，這對它本身和分析的發(fā)展比16世紀技術(shù)上的進步尤為重要。事實上，采取了這一步，才使代數(shù)有可能成為一門科學?！庇辛诉@些先進、簡明的代數(shù)符號來表示并反映事物的內(nèi)在本質(zhì)，人們的思維活動才能以驚人的方式得以簡化。

參考文獻：

[1]周金才.數(shù)學史海泛舟[M].江西教育出版社，2001.

[2]T·丹齊克.數(shù)·科學的語言[M].上海教育出版社，2000.

[3]杜瑞芝.數(shù)學史辭典[M].山東教育出版社，2000.

[4]張奠宙.數(shù)學史選講[M].上海科學技術(shù)出版社，1999.

[5]李文林.數(shù)學史概論[M].高等教育出版社，1998.

（作者單位 廣東省深圳市高級中學初中部）

編輯 魯翠紅