分片鋪設(shè)壓電梁彎曲分析的無(wú)網(wǎng)格法

袁學(xué)帥

（內(nèi)蒙古民族大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，內(nèi)蒙古通遼028043）

分片鋪設(shè)壓電梁彎曲分析的無(wú)網(wǎng)格法

袁學(xué)帥

（內(nèi)蒙古民族大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，內(nèi)蒙古通遼028043）

由不同材料層合而成的層合壓電結(jié)構(gòu)中，各層之間的材料的不連續(xù)性使得采用無(wú)網(wǎng)格配點(diǎn)法處理此類(lèi)問(wèn)題時(shí)的精度降低.為解決這一問(wèn)題，將整個(gè)問(wèn)題區(qū)域根據(jù)材料屬性劃分成不同的子區(qū)域，在每個(gè)子區(qū)域內(nèi)采用無(wú)網(wǎng)格配點(diǎn)法.為實(shí)現(xiàn)各子區(qū)域的“粘合”，在子區(qū)域的公共邊界上分別施加力、電相容性條件和位移、電勢(shì)連續(xù)性條件，導(dǎo)出子區(qū)域下的無(wú)網(wǎng)格配點(diǎn)法；并應(yīng)用該方法對(duì)層合壓電結(jié)構(gòu)在不同鋪設(shè)方式下的彎曲進(jìn)行分析并比較.結(jié)果表明：分片鋪設(shè)壓電片時(shí)，對(duì)同樣體積大小的壓電材料，不同的壓電布置會(huì)產(chǎn)生不同的對(duì)形變的控制效果；采用上下對(duì)稱(chēng)粘貼的的鋪設(shè)方式能實(shí)現(xiàn)較好的控制效果.

層合梁；壓電；分片鋪設(shè)；配點(diǎn)法

0 引言

壓電材料是一種智能材料，當(dāng)壓電晶體受外力作用發(fā)生形變時(shí)，在它的表面上出現(xiàn)異號(hào)極化電荷，從而形成電場(chǎng)；同樣地，當(dāng)對(duì)壓電晶體施加一電場(chǎng)時(shí)，由極化電荷作用而產(chǎn)生應(yīng)變和應(yīng)力.基于上述特點(diǎn)，壓電材料成為智能結(jié)構(gòu)傳感器、驅(qū)動(dòng)器的首選材料.由于壓電材料的力電耦合性，使解析求解壓電結(jié)構(gòu)問(wèn)題時(shí)非常困難，故尋求合理的數(shù)值方法對(duì)于求解壓電問(wèn)題具有重要意義.

目前，利用無(wú)網(wǎng)格法在壓電結(jié)構(gòu)力學(xué)分析取得了一定的成果.Liu等［1］采用基于徑向基函數(shù)插值的方法處理層合壓電結(jié)構(gòu)的靜態(tài)撓度問(wèn)題，Liew等［2］用無(wú)單元伽遼金方法在力電的共同作用下分析復(fù)合梁、板，上述都是基于弱式的方法. Chen等［3］采用局部徑向基配點(diǎn)法，解決了由不同材料層合而成的板、梁在力的作用下的應(yīng)力應(yīng)變問(wèn)題.然而，類(lèi)似的思想?yún)s很少用在壓電層合材料問(wèn)題中.

基于徑向基函數(shù)近似的配點(diǎn)法具有實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單和指數(shù)收斂性等優(yōu)點(diǎn)［4］，然而在處理力電耦合的壓電層合結(jié)構(gòu)時(shí)，由于各層之間的材料屬性不同而破壞了材料之間的連續(xù)性，光滑和全局的徑向基函數(shù)在解決這類(lèi)問(wèn)題時(shí)所得到的數(shù)值解往往精確度不高、穩(wěn)定性差.基于上述缺點(diǎn)，可對(duì)整個(gè)求解域根據(jù)不同材料屬性劃分成相應(yīng)的子區(qū)域，在子區(qū)域內(nèi)采用無(wú)網(wǎng)格配點(diǎn)法，然后在子區(qū)域的公共邊界分別施加位移、電勢(shì)連續(xù)性條件和力、電相容性條件.這樣就使不同材料之間“粘合”起來(lái)，最后組裝總剛度矩陣，得出了求解層合壓電結(jié)構(gòu)的子區(qū)域配點(diǎn)法，并已驗(yàn)證此方法增強(qiáng)了數(shù)值解的精確性和穩(wěn)定性.本文繼續(xù)應(yīng)用該方法，在不同的鋪設(shè)方式、鋪設(shè)位置下，分析壓電結(jié)構(gòu)的彎曲效果.

1 徑向基函數(shù)近似

考慮二維區(qū)域Ω內(nèi)的一個(gè)場(chǎng)函數(shù)w(x)，首先對(duì)整個(gè)區(qū)域進(jìn)行離散.xQ為區(qū)域內(nèi)計(jì)算點(diǎn)，其支撐域內(nèi)有n個(gè)節(jié)點(diǎn)xi(i=1，2，…，n)，可插值得到場(chǎng)函數(shù)w(x)在支撐域中的近似函數(shù)［5］

Ri(x)是關(guān)于x、xi的距離ri的徑向基函數(shù)，Pj(x)為多項(xiàng)式基函數(shù).多項(xiàng)式基的個(gè)數(shù)取決于對(duì)重構(gòu)的要求，一般來(lái)說(shuō)，二維線(xiàn)性基取

二維二次基取

其中ai，bj為待定系數(shù)，通過(guò)支撐域內(nèi)的n個(gè)節(jié)點(diǎn)的插值確定.使式（1）滿(mǎn)足計(jì)算點(diǎn)x周?chē)鷑個(gè)節(jié)點(diǎn)xi(i=1，2，…，n)的值，將得到n個(gè)線(xiàn)性方程：

然而，方程組（2）具有n個(gè)方程，未知數(shù)的個(gè)數(shù)卻有n+m個(gè)，因此可加入限制條件［6］

聯(lián)立（2）、（3），可得到

將式（5）代入式（1），得到

式中φi(i=1，2，…，n)為Φ(x)的分量.

2 壓電層合材料方程

2.1 子區(qū)域劃分

在層合壓電問(wèn)題中，不同的材料有不同的材料屬性，各微分算子在不同的材料中會(huì)有很大差異.若將壓電結(jié)構(gòu)作為整體考慮會(huì)引起計(jì)算精度的降低.基于此類(lèi)問(wèn)題，可將不同的壓電材料分區(qū)域處理.為簡(jiǎn)便起見(jiàn)，以?xún)蓚€(gè)區(qū)域?yàn)槔?考慮區(qū)域Ω（邊界為?Ω）由兩個(gè)不同的開(kāi)區(qū)域Ω1和Ω2組成，其邊界分別為?Ω1，?Ω2，公共邊界為S12，（如圖1所示）.定義閉區(qū)域：設(shè)位移、應(yīng)力、電勢(shì)、電位移邊界分別為Su，St，S?，Sω，則St∪Su= Sω∪S?=?Ω，St∩Su=Sω∩S?=null.

2.2 壓電控制方程

考慮平面壓電問(wèn)題，假設(shè)無(wú)外載電荷，極化方向沿厚度（Z軸）方向，在XZ平面下建立壓電控制方程［7］.在上述兩個(gè)子區(qū)域組成的問(wèn)題域中，每個(gè)子區(qū)域內(nèi)均為連續(xù)的.因此在各子區(qū)域均滿(mǎn)足力電耦合平衡方程、幾何方程及本構(gòu)方程，如式（8）～（10）所示.

圖1 不同材料的子區(qū)域Fig.1 Two sub-domain of a problem w ithmaterial heterogeneity

力-電耦合平衡方程

幾何方程

力-電耦合的本構(gòu)方程

電場(chǎng)強(qiáng)度與電勢(shì)的關(guān)系

其中，Lm，Le為微分算子，σ、ε分別為應(yīng)力和應(yīng)變向量，E、D、?分別表示電場(chǎng)強(qiáng)度、電位移和電勢(shì).

邊界條件及連續(xù)性條件闡述如下，

a.自然邊界條件

b.本質(zhì)邊界條件

對(duì)于一般彈性體，我們可考慮其位移、電勢(shì)的連續(xù)性和面力均衡的原則，且已證明同時(shí)考慮這兩個(gè)原則收斂效果更好［3］.因此，公共邊界的條件可表示為：

其中，qis表示為電荷面密度邊界上的給定面

電荷密度，t

i

表示力的自然邊界上給定的力，

，

分別為力、電本質(zhì)邊界上給定的位移和電勢(shì).n

m

為力邊界的法向分量，n

e

為電邊界的法向分量.

由（8）～（13）可得相應(yīng)的子區(qū)域力-電耦合問(wèn)題的基本方程為

對(duì)力-電耦合問(wèn)題可施加（14）～（17）式所示的四個(gè)邊界條件，簡(jiǎn)單表示為：

3 配點(diǎn)法的實(shí)現(xiàn)

設(shè)以下符號(hào)i=1，2表示不同介質(zhì)，用配點(diǎn)法對(duì)求解域進(jìn)行離散.Npi為區(qū)域Ωi中的節(jié)點(diǎn)數(shù)；自然邊界Sti上的節(jié)點(diǎn)數(shù)記為Nti；本質(zhì)邊界Sui上的節(jié)點(diǎn)數(shù)為Nui；NS是公共邊界S12上的節(jié)點(diǎn)數(shù).每個(gè)區(qū)域上的總結(jié)點(diǎn)數(shù)即為在每個(gè)子區(qū)域中，其場(chǎng)函數(shù)（u，w，?）可由此區(qū)域中的形函數(shù)插值近似（6）式得到：

其中，Φi、UiI分別為第i個(gè)區(qū)域的形函數(shù)向量和廣義節(jié)點(diǎn)位移向量.將（21）式代入（18）式可得到：

4 分片鋪設(shè)壓電結(jié)構(gòu)的彎曲分析

圖2為分片鋪設(shè)情況示意圖.考慮圖2所示的分片鋪設(shè)壓電懸臂梁，對(duì)圖中不同鋪設(shè)情況下壓電懸臂梁的彎曲進(jìn)行分析.基體層是厚度較大的無(wú)極化性質(zhì)的AS/3501 Gr/ep基體，基體長(zhǎng)度為100 mm，厚度為10 mm.壓電材料為PZT G-1195N，極化方向沿厚度方向.3種情況下壓電片的厚度均為1 mm.圖2中（a）壓電片長(zhǎng)度為60 mm，（b）、（c）中壓電片的長(zhǎng)度均為（a）中的一半.（b）中兩壓電片上下對(duì)稱(chēng)鋪設(shè)，粘在基體表面，施加相反方向的電壓；（c）中兩壓電片也為上下對(duì)稱(chēng)鋪設(shè)，但其內(nèi)嵌到基體里面，表面和基體水平，同樣施以相反方向的電壓［8］.其材料屬性見(jiàn)表1.

圖2 分片鋪設(shè)情況Fig.2 Situationsof distributed piezoelectric patches

表1 材料屬性Table 1 Material property

首先對(duì)同樣體積大小的壓電材料，施加相同的電壓，考慮不同的鋪設(shè)方式對(duì)壓電懸臂梁的彎曲程度的影響.設(shè)壓電片左端到梁左邊界的距離為l（mm），3種情況下均取l=20，施加電壓均為100 V.圖2（a）方式將基體和壓電片分成兩個(gè)子區(qū)域，基體均分成51×6個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，壓電片均分成31×2個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，圖2（b）、（c）均將基體和壓電片分成3個(gè)子區(qū)域，上下壓電片均分成16×2個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，圖2（b）中基體均分成51×6個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，圖2（c）中基體均分成51×7個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn).在子區(qū)域內(nèi)采用無(wú)網(wǎng)格配點(diǎn)法，子域的交界面上分別施加位移、電勢(shì)連續(xù)性條件和力、電相容性條件，得到基體中軸線(xiàn)的彎曲情況如圖3所示.可以看出，3種鋪設(shè)方式下分析比較由壓電片產(chǎn)生的基體中軸線(xiàn)的撓度，采用圖3（b）、圖3（c）方式鋪設(shè)的效果均比圖3（a）顯著；采用圖3（c）方式鋪設(shè)時(shí)，執(zhí)行器末端的撓度較大，對(duì)基體的變形影響較大；采用圖3（b）方式鋪設(shè)時(shí)，梁的撓度曲線(xiàn)較為光滑，彎曲效果較好，故能實(shí)現(xiàn)比較好的控制效果.

圖3 不同鋪設(shè)方式下基體中軸線(xiàn)的彎曲情況Fig.3 The bending ofmatrix axes for different distributed ways

然后分別?。╨=2，6，10，14，18，22），在3種鋪設(shè)方式下，分析壓電片的不同位置對(duì)梁端點(diǎn)的撓度的影響，見(jiàn)表2.可以看出，同種電壓下，壓電片自基體左端向右移動(dòng)時(shí)，產(chǎn)生的端點(diǎn)撓度逐漸增大.且采用圖3（b），圖3（c）方式鋪設(shè)時(shí)，執(zhí)行器末端的撓度增長(zhǎng)較快，控制效果顯著.

表2 相同電壓下（100 V）壓電片的鋪設(shè)模式和位置對(duì)端點(diǎn)撓度的影響Table 2 Theend pointdeflection of piezoelectric patchesof layingmodeand the location under the same voltage（100 V）

5 結(jié)語(yǔ)

本文根據(jù)層合壓電結(jié)構(gòu)的不同材料屬性，將求解域劃分成相應(yīng)的子區(qū)域，在子區(qū)域上應(yīng)用基于徑向基函數(shù)的無(wú)網(wǎng)格配點(diǎn)法，并在子區(qū)域的公共邊界上分別施加位移、電勢(shì)連續(xù)性條件和力、電相容性條件.最后組裝總剛度矩陣，得出了求解層合壓電結(jié)構(gòu)的子區(qū)域配點(diǎn)法，并應(yīng)用于層合壓電結(jié)構(gòu)中.通過(guò)數(shù)值算例結(jié)果表明，分片鋪設(shè)壓電片時(shí)，對(duì)同樣體積大小的壓電材料，不同的壓電布置會(huì)產(chǎn)生不同的對(duì)形變的控制效果.采用上下對(duì)稱(chēng)粘貼式鋪設(shè)時(shí)，能達(dá)到比較好的控制效果.此方法可進(jìn)一步應(yīng)用到分片鋪設(shè)的壓電層合板結(jié)構(gòu)中.

致謝

感謝蘇州大學(xué)姚林泉教授對(duì)論文撰寫(xiě)中提出的重要修改和建議.

［1］Liu G R，Dai K L，Lim K M，et al.A radial point interpolation method for simulation of two-dimensional piezoelectric structures［J］.Smart M ater Struct，2003，12：171-180.

［2］Liew K M，Lim H K，Tan M J，et al.Analysis of lam inated com posite beam s and plates with piezoelectric patches using theel element-free Galerkin method［J］.Com put M ech，2002，29：486-497.

［3］Chen JS，Wang L H，Hu H Y，et al.Subdomain radial basis collocation method for heterogeneous media［J］. International Journal for Numerical M ethods in Engineering，2009，80（2）：163-190.

［4］Sharan M，Kansa E J，Gupta S.Applications of the multiquadric method for the solution of elliptic partial differential equations［J］.Appl M ath Com put，1997，84：275-302.

［5］Nayroles B，Touzot G，Villon P.Generalizing the finite element method：diffuse approximation and diffuse elements［J］.Comput Mech，1992，10（5）：307-318.

［6］Liu G R.M esh free methods：Moving beyond finite elementmethod［M］.Boca Raton：CRC Press LLC，2002.

［7］袁學(xué)帥，陳富軍，姚林泉.壓電層合結(jié)構(gòu)的子域配點(diǎn)法［C］//2010全國(guó)壓電和聲波理論及器件技術(shù)研討會(huì)，2010，441-446.

YUAN Xue-shuai，CHEN Fu-jun，YAO Lin-quan. Subdomain collocation method for multilayered piezoelectric material［C］//Proceedings of the 2010 Sym posium on Piezoelectricity，Acoustic Waves and Device Applications，2010，441-446.（in Chinese）

［8］姚林泉，俞煥然.具有壓電材料薄板穩(wěn)定性的有限元法［J］.蘭州大學(xué)學(xué)報(bào)，1999，35（1）：44-48.

YAO Lin-quan，YU Huan-ran.Finite elementmethod of stability for thin plate of piezoelectric material［J］. Journal of Lanzhou University，1999，35（1）：44-48.（in Chinese）

Analysis of piezoelectric beam with distributed patches using meshless method

YUAN Xue-shuai
（School of Mathematical，Inner Mongolia University for Nationalities，Tongliao 028043，China）

To improve the accuracy of meshless method for multilayered piezoelectric，the domain withproblem was divided into some sub-domains using point collocation method according to the materialproperties. On the interface of each sub-domain，the conditions of mechanical and electric reciprocity，displacement and electric potential continuity are imposed，which can be used to glue the two neighboringsub-domain solutions together. Then，a sub-domain point collocation method was presented to solve themultilayered piezoelectric problem and analyze the bending of piezoelectric patches distributed in differentways. The results show that different piezoelectric arrangements have different effects on deformation for thesame size of piezoelectric materials，and using the vertically symmetrical pasting can achieve better controleffect compared with the other ways.

multilayered beam；piezoelectric；distributed piezoelectric patches；point collocation method

O24

A

10.3969/j.issn.1674-2869.2014.01.015

1674－2869（2014）01－0074－05

本文編輯：龔曉寧

2013-10-25

袁學(xué)帥（1986-），男，山東濟(jì)寧人，助教，碩士.研究方向：計(jì)算數(shù)學(xué)和計(jì)算力學(xué).