在數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生審美能力

●趙春祥

《高中數(shù)學(xué)課程課標(biāo)》指出：“體會數(shù)學(xué)的美學(xué)意義，從而進(jìn)一步樹立辯證唯物主義和歷史唯物主義世界觀”[1]。數(shù)學(xué)也是一種美學(xué)，數(shù)學(xué)所揭示的規(guī)律，深刻地表現(xiàn)了客觀世界在數(shù)量與形式上的美。數(shù)學(xué)有自然科學(xué)皇后的美稱，不僅具有抽象性、邏輯性，也具有豐富的美學(xué)內(nèi)容。英國著名哲學(xué)家、數(shù)理邏輯學(xué)家羅素認(rèn)為“數(shù)學(xué)，如果正確地看待它，不僅擁有真理，而且也具有至高的美”。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，深入挖掘并藝術(shù)地表現(xiàn)出數(shù)學(xué)美的特征，不僅可以培養(yǎng)學(xué)生正確的審美觀和鑒賞美、創(chuàng)造美的能力，而且還可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和深層次探求知識的欲望。

一、借助定律，挖掘數(shù)學(xué)形式美

在課堂教學(xué)中，運(yùn)用美的形式感染誘發(fā)學(xué)生，就可以擺脫枯燥乏味的講授。根據(jù)課堂教學(xué)內(nèi)容，聯(lián)系現(xiàn)實(shí)生活中學(xué)生熟悉的實(shí)際問題，運(yùn)用大量生動的感性材料進(jìn)行解說，以數(shù)學(xué)美的魅力撥動學(xué)生的心弦，使學(xué)生心里引起聯(lián)想和想象來加入并促進(jìn)理解學(xué)習(xí)內(nèi)容，更迅速地掌握學(xué)習(xí)內(nèi)容。

如黃金分割律0.618，這個美學(xué)數(shù)字無處不在。神學(xué)家阿奎那曾說過：“愉快的感覺來自恰當(dāng)?shù)谋壤保@個比例就是黃金分割比。人的身體各部分之間的比例，不管是人體結(jié)構(gòu)的整體，還是人體的局部，到處可以尋覓到黃金分割律的比值0.618。眼睛、耳朵、鼻子的寬與長之比是0.618；人的肚臍以上與肚臍以下的比值也是0.618。

再如寬長比為黃金比的矩形稱之為 “黃金矩形”，在這個黃金矩形中分出一個正方形，位于左邊，右邊剩下的仍是一個小的黃金矩形。在這個黃金矩形中再分出一個正方形，位于上邊，下邊剩下的是一個更小的黃金矩形。一直繼續(xù)下去，就會得到一個“黃金矩形套”，里面有無數(shù)多個黃金矩形。我們用一條光滑的連續(xù)曲線把所有正方形的頂點(diǎn)連接起來，得到的就是對數(shù)螺線或等角螺線[2]。海螺、蝸牛的外形就非常近似于對數(shù)螺線。黃金矩形被美術(shù)界公認(rèn)為“地球上最具有調(diào)和性而美麗的矩形”，其圖案常?，F(xiàn)身于藝術(shù)中詮釋美，古希臘的帕德嫩神廟就含有黃金矩形。在舉世聞名的巴黎埃菲爾鐵塔和維納斯塑像中都能找到這種比例數(shù)字?？梢娙祟悓ψ匀坏膶徝朗俏镔|(zhì)性的。出于對人類身處的世界的適應(yīng)，審美絕非主觀先驗(yàn)的東西，正如“源于生活，高于生活”一語所闡釋。設(shè)計(jì)應(yīng)該是對自然的高級模仿——而這種模仿必須是認(rèn)知清楚基礎(chǔ)之上的主觀能動的行為。

二、聯(lián)系實(shí)際，展現(xiàn)數(shù)學(xué)自然美

數(shù)學(xué)美的另一體現(xiàn)是它可以客觀地反映自然美，大自然中的美都與數(shù)學(xué)有著千絲萬縷的聯(lián)系，細(xì)心觀察日常生活和藝術(shù)活動，就會發(fā)現(xiàn)隨處可見數(shù)學(xué)的自然美。在課堂教學(xué)中，如果把數(shù)學(xué)美和大自然結(jié)合起來就能使學(xué)生更好地感知和理解數(shù)學(xué)的魅力，從而在教學(xué)中形成主動活潑的學(xué)習(xí)氣氛，在美的熏陶中充分發(fā)揮學(xué)生在數(shù)學(xué)方面的創(chuàng)造性潛能，加深對知識的記憶。

如花兒的美麗除了與繽紛燦爛的顏色有關(guān)外，還與花朵的排列和花瓣數(shù)目有關(guān)。數(shù)學(xué)中的菲波那契數(shù)列就巧妙地解釋了它。菲波那契數(shù)列的通項(xiàng)公式為Fn=Fn-1+Fn-2(Fn1=F2=1，n為大于2的自然數(shù))，這個數(shù)列是由十三世紀(jì)文藝復(fù)興時期著名的意大利數(shù)學(xué)家菲波那契在他所著的《算盤全集》中提出的。經(jīng)研究，自然界中的許多花瓣數(shù)目都符合該數(shù)列。在大多數(shù)情況下，一朵花的花瓣數(shù)目都是 3、5、8、13、21、34、55……數(shù)學(xué)方程與曲線和花兒有機(jī)地結(jié)合，給數(shù)學(xué)美增添了新的內(nèi)容。x3+y3=3axy在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中稱之為“笛卡兒葉線”，曾被著名數(shù)學(xué)家笛卡兒取名為“茉莉花瓣”，這一方程代表的曲線可以表示某花的外部輪廓?？茖W(xué)家對植物葉子和花朵的圖案也作了研究，發(fā)現(xiàn)輻射對稱的花和螺旋排列的果，它們在數(shù)學(xué)中符合黃金分割的規(guī)律。蜜蜂的蜂房是自然的對稱形式，這種建筑輕巧堅(jiān)固，美觀實(shí)用，是一個典型的完全滿足數(shù)學(xué)規(guī)律的美學(xué)建筑。英國數(shù)學(xué)家馬克勞林經(jīng)過研究證實(shí)，這些蜂房的六角形窩洞的六個角，都有一致的規(guī)律，鈍角等于109°28′，銳角等于 70°32′，并且還能以單薄的結(jié)構(gòu)獲得最大的強(qiáng)度。這種巧妙對稱的協(xié)調(diào)，正是體現(xiàn)數(shù)學(xué)當(dāng)中的自然結(jié)構(gòu)美。

三、挖掘內(nèi)涵，探索數(shù)學(xué)對稱美

從古希臘起，對稱性就被認(rèn)為是數(shù)學(xué)美的一個基本內(nèi)容。畢達(dá)哥拉斯說：“一切立體圖形中最美的是球體，一切平面圖形中最美的是圓形?！币?yàn)?，這兩種形體在各個方向上都是對稱的。所以，對稱是一種平衡狀態(tài)，是美的形式。

對稱美是指組成某一事物或?qū)ο蟮膬蓚€部分的對等性。數(shù)學(xué)對稱美表現(xiàn)為下列三種形式：第一，數(shù)和式的對稱美。數(shù)學(xué)的對稱的源頭來自于代數(shù)中多項(xiàng)式方程的解，代數(shù)中對稱的現(xiàn)象有很多，像二項(xiàng)式定理，楊輝三角，函數(shù)具有奇偶性的必要非充分條件是函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱等。第二，圖形的對稱美。如等腰三角形、等腰梯形、矩形等軸對稱或中心對稱圖形等。圓是軸對稱圖形，有無數(shù)多條對稱軸，任何一條直徑所在的直線都是它的對稱軸；圓又是中心對稱圖形，繞對稱中心(圓心)旋轉(zhuǎn)任意角度都能自相重合，其形狀可謂是增之顯多，減之顯少。這種完美的“全方位”對稱性在平面中僅圓具有。正弦函數(shù)y=sinx的圖像夾在平行線之間呈美麗的“波浪”形且關(guān)于對稱軸對稱，其對稱中心分別是點(diǎn)（kπ，0）（k∈Z）。 第三，數(shù)學(xué)思想和方法的對稱美。如分析法與綜合法，直接法與反證法，邏輯思維與逆向思維，動靜結(jié)合互相轉(zhuǎn)化的思維，或然與必然的思想方法等。

在數(shù)學(xué)中，對稱的概念、對稱的運(yùn)算、對稱的圖形、對稱的公式、定理等等，對稱現(xiàn)象不勝枚舉。對稱給人以均衡、完美、穩(wěn)重、簡單、和諧、勻稱的美的享受，更重要的是一種思想方法的啟迪。如建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，可使運(yùn)算過程簡化，所得的方程簡捷。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)式、方程、幾何圖形所具有的對稱性解題，思路靈巧、解法簡捷，使學(xué)生體會到數(shù)學(xué)解題美的感染力，從而增強(qiáng)了學(xué)生分析問題，解決問題的能力。因此，數(shù)學(xué)對稱美能起到優(yōu)化解題思路和簡化解題過程的功效。通過探求對稱美、利用對稱美、掌握對稱美的規(guī)律，達(dá)到認(rèn)識數(shù)學(xué)解題的規(guī)律。

四、綜合提煉，追求數(shù)學(xué)統(tǒng)一美

統(tǒng)一性是指在不同的數(shù)學(xué)對象或同一對象的不同組成部分之間所存在的內(nèi)在聯(lián)系或共同規(guī)律。德國大數(shù)學(xué)家希爾伯特指出“數(shù)學(xué)科學(xué)是一個不可分割的有機(jī)整體，它的生命正是在于各個部分之間的聯(lián)系，數(shù)學(xué)的有機(jī)的統(tǒng)一，是這門科學(xué)固有的特點(diǎn)”。數(shù)學(xué)的基本結(jié)構(gòu)構(gòu)成為數(shù)學(xué)美的基本源泉，即數(shù)學(xué)美充分地表現(xiàn)在數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的統(tǒng)一性。在數(shù)學(xué)中，統(tǒng)一的表現(xiàn)方法是多樣的，一個定論，一個算式等往往涵蓋了諸多結(jié)論，使得不同形式的問題歸結(jié)到了統(tǒng)一形式。例如，平面幾何中的相交弦定理、切割線定理、切線長定理都可以統(tǒng)一于圓冪定理。又如棱柱、棱錐、棱臺、圓柱、圓錐、圓臺等形狀各異，但他們的體積公式都能統(tǒng)一到同一公式中。

數(shù)學(xué)中的統(tǒng)一如同客觀世界的統(tǒng)一，是多樣的統(tǒng)一，于理論與方法均如此。以“距離”概念而論，中學(xué)學(xué)過：兩點(diǎn)間的距離、點(diǎn)到直線的距離、點(diǎn)到平面的距離、兩平行線之間、兩平行平面之間、直線與平行平面之間的距離等概念。諸多的“距離”可統(tǒng)一為：設(shè)A是一個非空集合，對任意x、y∈A，按照一定法則對應(yīng)一個實(shí)數(shù)P(x，y)，它滿足非負(fù)性、對稱性、三角形不等式等條件，則稱P(x，y)為x、y的距離，而A是以P為距離的距離空間。這樣的統(tǒng)一，抓住了多樣事物的本質(zhì)與規(guī)律，提升到新的高度，并展開了對更多數(shù)學(xué)對象的研究，例如，可以在[a，b]上連續(xù)函數(shù)f(t)組成的集合 c∈[a，b]，定義“距離”構(gòu)成距離空間，等等。這像一首和諧的樂曲又展開了新的樂章。

數(shù)學(xué)的統(tǒng)一美，美在揭示了數(shù)學(xué)的普遍聯(lián)系上，美在數(shù)學(xué)對客觀世界和諧協(xié)調(diào)、井然有序的真實(shí)反映上，盡管內(nèi)容絢麗多姿，卻能互相轉(zhuǎn)化、結(jié)合。中學(xué)數(shù)學(xué)中的互補(bǔ)概念、互否命題或互為補(bǔ)集思想都是對立的統(tǒng)一；幾何、代數(shù)、三角間相互轉(zhuǎn)化，都可以表明各種數(shù)學(xué)思想與形式是和諧統(tǒng)一的。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師如能從形式多樣的解題方法中指出統(tǒng)一的解題思想，對某些類型的題目，作進(jìn)一步的概括綜合和挖掘提煉，或從整體上把握內(nèi)容，可使初學(xué)者更好地發(fā)現(xiàn)美的所在。教師如能努力挖掘教材中的潛在因素，充分展示數(shù)學(xué)美的統(tǒng)一性特征，有利于學(xué)生形成良好的知識結(jié)構(gòu)，在頭腦中建立“知識鏈”，形成知識網(wǎng)絡(luò)，提高思維的概括性以及綜合運(yùn)用的能力。

五、多方審視，揭示數(shù)學(xué)和諧美

數(shù)學(xué)的和諧美一是體現(xiàn)在形式的簡單性。如，數(shù)學(xué)語言是簡單統(tǒng)一的符號語言；數(shù)學(xué)的出發(fā)點(diǎn)是簡單、明晰的；數(shù)學(xué)問題的解決是化繁為簡的過程。所以，簡單性是數(shù)學(xué)美的特征，也是數(shù)學(xué)所要求的，從雜亂無章的自然現(xiàn)象中抽象出數(shù)學(xué)概念，再用簡單的數(shù)學(xué)形式表示，然后反過來又解釋更多現(xiàn)象，這正是我們數(shù)學(xué)的威力美的體現(xiàn)。二是體現(xiàn)在數(shù)學(xué)比例與優(yōu)美的曲線或圖形的形式美。比如直角三角形斜邊的平方等于其兩直角邊的平方和a2+b2=c2；再如圓周長公式C=2πr這個初等數(shù)學(xué)公式，揭示了圓周長和半徑之間的一種簡潔、奇妙、和諧的比例美。三是體現(xiàn)在理論體系內(nèi)部的嚴(yán)謹(jǐn)。數(shù)學(xué)體系是把自然規(guī)律抽象成一些概念、公式或定理，并通過簡潔的推理證明出各種令人驚嘆的公式和定理，充分表現(xiàn)了其內(nèi)在的和諧性，從中感受到一種崇高、博大、妙不可言的和諧美。例如，從等式ab=N出發(fā)，①已知a、b求N這要用到乘方運(yùn)算；②已知b、N求a用到開方運(yùn)算；③由和諧美原則，已知b、N求b用到一種新的運(yùn)算即對數(shù)運(yùn)算。只有這三種運(yùn)算融為一體，才能完美地揭示ab=N中的運(yùn)算關(guān)系，若沒有對數(shù)運(yùn)算的引入，這似乎是一個殘缺的“月亮”，就為求指數(shù)運(yùn)算帶來了困難。

數(shù)學(xué)中的和諧美貫穿于全部數(shù)學(xué)體系之中。課堂上習(xí)題教學(xué)如果全方位多角度審視分析，通過尋求數(shù)、式、形之間內(nèi)部和外部的和諧美，猜想條件和結(jié)論間的和諧美，使學(xué)生覺得數(shù)學(xué)包含著無窮無盡的趣味和千變?nèi)f化的風(fēng)采，和諧的審美原則還能幫助學(xué)生制定解題策略和指明解題方向。數(shù)學(xué)美的和諧性特征，讓學(xué)生對前后知識進(jìn)行比較，理解它們的內(nèi)在聯(lián)系，從而形成知識的有序結(jié)構(gòu)和解題的方法體系，這樣可以減輕他們的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)。

六、出奇制勝，感受數(shù)學(xué)奇異美

在數(shù)學(xué)中出現(xiàn)一種新而不平常的關(guān)系結(jié)構(gòu)，能在人們的想象中誘發(fā)一種樂趣，在人們心靈深處產(chǎn)生出一種愉悅的驚奇，這就是數(shù)學(xué)的奇異美。數(shù)學(xué)的發(fā)展就象精彩故事一樣的波瀾壯闊，此起彼伏，扣人心弦，令人陶醉，既在情理之中，又在意料之外，是和諧與奇異的統(tǒng)一體。

奇異美顯示出客觀世界的多樣性，是數(shù)學(xué)思想的獨(dú)創(chuàng)性和數(shù)學(xué)方法新穎性的具體體現(xiàn)。奇異，包含著多方面的含義，一是新穎、富有創(chuàng)造性，具有獨(dú)特之處；二是新奇、出乎常識和預(yù)料，使人贊嘆、驚愕。奇異美即在于求“新”、求“異”。這恰好符合人類在科學(xué)中不斷探索、不斷前進(jìn)的精神。在數(shù)學(xué)的發(fā)展過程中，不斷出現(xiàn)統(tǒng)一各部分的新理論，同時又不斷出現(xiàn)無法包括在這個理論之中的奇異的對象。這些奇異的對象又反過來促進(jìn)數(shù)學(xué)的發(fā)展。歷史上，哥德巴赫猜想，地圖著色的五色問題，都引起了無數(shù)數(shù)學(xué)家的無限興趣。從有理數(shù)發(fā)展到無理數(shù)，從實(shí)際中一維、二維、三維空間，到抽象的n維空間的建立，從有限的觀念，到無限的觀念的認(rèn)可，每一次認(rèn)識上的深化，都導(dǎo)致了數(shù)學(xué)理論的重大進(jìn)展?？梢哉f，數(shù)學(xué)的歷史，就是一部不斷探索的歷史，就是一部不斷產(chǎn)生奇異性，又不斷解決奇異性的歷史。在數(shù)學(xué)中，許多奇異對象的出現(xiàn)，一方面打破了舊的統(tǒng)一，另一方面又為在更高層次上建立新的統(tǒng)一奠定了基礎(chǔ)。

數(shù)學(xué)中出人意料的反例和巧妙的解題方法都表現(xiàn)出奇異的美，閃耀著智慧的光芒。某些數(shù)學(xué)問題若能抓住其“個性”，不但能獲得令人驚嘆不已的解法，還從中感受到數(shù)學(xué)的奇異美，感受到創(chuàng)造的喜悅和成功的樂趣，從而令人陶醉神往。這種奇異美可以激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新欲望，培養(yǎng)創(chuàng)新精神，改變學(xué)生在認(rèn)知上的局限性，增強(qiáng)了學(xué)生對真理的追求。

在數(shù)學(xué)教學(xué)活動中，通過數(shù)字美、符號美、構(gòu)圖美，培養(yǎng)了學(xué)生審美感受力、理解力、想象力、鑒賞力。使學(xué)生感受到了數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在美，增強(qiáng)了他們對數(shù)學(xué)知識的喜愛，并通過“內(nèi)化”逐步遷移為對數(shù)學(xué)知識的強(qiáng)烈追求，從而激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。因此，通過正確地引導(dǎo)學(xué)生審視數(shù)學(xué)美、挖掘數(shù)學(xué)美、創(chuàng)造數(shù)學(xué)美、追求數(shù)學(xué)美，帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)入數(shù)學(xué)美的王國，陶冶精神情操，讓學(xué)生在美的熏陶中心靈受到開啟，精神得到升華，感情產(chǎn)生共鳴，知識得到豐富，使整個課堂教學(xué)形象化，提高學(xué)習(xí)效率。

[1]黃偉．讓“美”在數(shù)學(xué)課堂上流淌[J]．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)通訊：教師版，2011：10.

[2]張國棣．兩類黃金橢圓美的比較[J]．中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考：上半月，2008：10.