拋物線坐標系非傍軸矢量光束的解及聚焦特性

彭 繼，崔執(zhí)鳳，屈 軍

（安徽師范大學物理與電子信息學院，蕪湖241000）

拋物線坐標系非傍軸矢量光束的解及聚焦特性

彭 繼，崔執(zhí)鳳，屈 軍*

（安徽師范大學物理與電子信息學院，蕪湖241000）

為了求解柱坐標系下非傍軸矢量波動方程，得到光束的電場解析表達式，基于軸對稱情況下沿角向偏振的電場，將非傍軸近似情況下的矢量波動方程進行了拋物線坐標的轉(zhuǎn)化，利用分離變量法進行了相應求解，并給出了相應的數(shù)值計算。結(jié)果表明，非傍軸近似情況下，矢量波動方程的解能描述一種光束的電場，該場的解析表達式與合流超幾何函數(shù)以及梅杰函數(shù)的解有關(guān)；光束的光強分布與第1類零階貝塞爾模式光束類似；光束在近光軸處的光強表現(xiàn)為無限大并且沿邊緣方向急劇衰減；在焦平面上沿著徑向方向光強急劇減小。所得結(jié)果對于探究非傍軸近似情況下矢量光束的傳輸特性有一定的意義。

激光光學；非傍軸矢量波動方程；坐標變換；合流超幾何函數(shù)；梅杰函數(shù)

引 言

近年來，激光在高分辨成像技術(shù)［1-2］、光學捕獲及光鑷技術(shù)［3-5］、光束的傳輸特性［6-13］、激光信息存儲技術(shù)［14-15］等方面的應用越來越廣泛，隨之對激光光束的各項特性的研究也相應展開。為了產(chǎn)生各種適合要求的特殊光束，研究人員已經(jīng)做了大量的探究工作，并且取得不菲的成果。眾所周知，基模高斯光束、厄米-高斯模和拉蓋爾-高斯模都是最常見的傍軸條件下標量赫姆霍茲方程的解［16］，通過精確地求解非傍軸條件下標量的赫姆霍茲方程，還可以得到一些其它的激光光束的電場解析表達式，其中包括著名的拋物型激光束［17］、平面波和球面波［18］、貝塞爾模式［19-20］以及馬蒂厄光束［21］。然而也有些激光光束是通過復雜的參量多項式來描述其復振幅的，例如拉蓋爾-高斯模式［22］、非傍軸拉蓋爾-高斯模式［23］、復宗量拉蓋爾-高斯光束［24］以及厄米-高斯光束［25］等。除此之外，理論上利用求解傍軸近似條件下矢量波動方程得到矢量光束［26-28］，同時在實驗上也有諸多生成矢量光束的成功研究成果［29-32］，KOTIYAR等人求解了傍軸近似情況下的標量赫姆霍茲方程，從而得到一系列非常見的合流超幾何的激光光束［33-35］。

本文中探討了非傍軸近似情況下矢量波動方程的拋物線坐標轉(zhuǎn)化的一種特殊解，以此來描述了一種新的軸對稱情況下沿角向偏振的光束的電場解析表達式，并對其光強分布進行了相應的數(shù)值計算，結(jié)果對于研究不用矢量光束的傳輸和聚焦特性及應用有一定的參考價值。

1 理論模型

傍軸條件下標量赫姆霍茲方程的解可以用來描述線偏振光場或者矢量光場的某一個分量的電場。在柱坐標系下，沿z軸傳輸?shù)墓馐碾妶鼋馕霰磉_式可以寫成：

基模高斯光束與方位角φ無關(guān)，可以用下式表示：

對于矢量光束傳輸，將電場定義成矢量形式，光束傳輸?shù)氖噶坎▌臃匠蹋?6］為：

2 理論推導軸對稱情況下沿角向偏振的電場

為了便于建立數(shù)學模型和求解，在此不選用任意方向偏振的光束電場作為研究對象，考慮一種特殊的情況：即在軸對稱情況下沿角向偏振的電場［26］：

假設(shè)exp（-iωt）是一個與時間t有關(guān)的項以及波數(shù)k=2π/λ，將（6）式代入（5）式，在非傍軸條件下，不忽略?2E/?z2項，得到：

這與參考文獻［25］中的（5）式的第2項明顯不同。將（7）式中的變量r，z轉(zhuǎn)換成拋物線坐標系，如下：

（7）式改寫為：

將（9）式進行分離變量，假設(shè)：

于是，得到下面的方程：

式中，C是一個與u和v都無關(guān)的常量。此時，（11）式可以進一步簡化為：

在這里設(shè)變量ξ=-iku，η=ikv，C=-ikD（D為常量），代入（12）式中得：

所以（13）式的解如下：

式中，G（｛｛a1，…，an｝，｛an+1，…，ap｝｝，｛｛b1，…，bm｝，｛bm+1，…，bq｝｝，z）是梅杰函數(shù)，1F1（a，b，z）為合流超幾何函數(shù)。當且僅當D滿足D=（其中n=0，1，2，3…）時，梅杰函數(shù)和合流超幾何函數(shù)同時有解。這里，選取n=0這一特殊的解，通過貝塞爾函數(shù)與合流超幾何函數(shù)之間的變化關(guān)系［36］以及解梅杰函數(shù)，得到：

式中，Γ（·）表示的是伽瑪函數(shù)，Jv（·）表示v階的第1類貝塞爾函數(shù)。因此，最初的矢量波動方程（5）式的解為：

式中，A0是與光束功率有關(guān)的常數(shù)。注意到（17）式中有光束的傳輸因子exp（ikz），它描述了光束的傳輸方向。將半整數(shù)階的貝塞爾函數(shù)化簡為初等函數(shù)，則復振幅可以表示為：

解析表達式（18）式中含有1/r項存在，故光束存在一個奇點，即在近軸處的光強可以表現(xiàn)為無限大。同時，隨著r值的增大，其強度也會急劇地衰減。

根據(jù)光束的傳輸理論，當光束傳輸距離z=f時，光束傳輸?shù)浇蛊矫嫣帯９试冢?8）式中作變量代換令z→f-z（f是焦距），得：

在源平面z=0處復振幅可以表示為：

在軸線r=0上不能實現(xiàn)聚焦。因為當z＞f時，近軸（r?f-z）點的復振幅可以近似地表示為：

當r=0時，無論z取何值，（21）式所描述的光束強度都是無限大的；然而對于其它非零r值，隨著z的增大光強在減弱。因此，在焦點z=f后沿著光軸的方向模擬光強是逐漸減小的。

3 數(shù)值模擬

根據(jù)前面的解析表達式（17）式和（19）式，選取參量進行相應的數(shù)值模擬。圖1a表示在O-r-z平面歸一化的光束強度分布，圖1b和圖1c分別表示光束沿z傳輸方向和徑向r的強度分布情況。由于r=0點處存在光學奇點，所以這里取值考慮r→0即可，波長λ=632.8nm，A0=100。由圖1可以看出，其光強在r=0處為無限大，沿z方向有明顯的振蕩衰減，然而沿徑向r方向，衰減得更加厲害。

圖2a、圖2b、圖2c分別給出了光束在橫截面z=2λ，z=4λ和z=6λ處的強度分布，圖2d、圖2e、圖2f中分別給出了光束在橫截面z=2λ，z=4λ和z=6λ處光強沿徑向r的強度分布，其數(shù)值計算參量與圖1相同。圖2表明，該光束的強度分布為強弱相間的同心圓環(huán)，這類似于第1類零階貝塞爾光束［19-20］的強度分布。并且隨著傳輸距離的增加中心的亮斑尺寸在增大，而強度卻沿徑向方向在逐漸地衰減。

圖3a中給出了焦平面z=f處光強的3維圖分布情況。圖3b、圖3c、圖3d分別表示在橫截面z= 2λ，z=4λ和z=6λ光強的3維圖形分布情況。其計算參量與圖1相同。與圖3b、圖3c、圖3d相比，圖3a在焦平面處的光強較大，且中心亮斑的尺寸較小。在橫截面z=2λ，z=4λ和z=6λ上，r=0處的光強是無限大的，而沿著邊緣方向卻是急劇衰減的（如圖3b、圖3c和圖3d所示）。

4 小 結(jié)

理論推導了非傍軸條件下的矢量波動方程在拋物線坐標系下準確的解，該解能描述一種特殊的矢量光束。數(shù)值計算的結(jié)果表明，該光束在近光軸處的光強表現(xiàn)為無限大，沿邊緣衰減非常明顯，整個光束的強度分布類似于第1類零階貝塞爾光束，最后對該光束的聚焦特性進行了相應的數(shù)值計算和討論。

［1］ HAYAZAWA N，SAITO Y，KAWATA S.Detection and characterization of longitudinal field for tip-enhanced Raman spectroscopy［J］.Applied Physics Letters，2004，85（25）：6239-6241.

［2］ ZHANG Zh H，LI Ch G，LI J Zh，et al.Phase compensation in lensless Fourier transform digital holography［J］.Laser Technology，2013，37（5）：569-600（in Chinese）.

［3］ ZHAN Q W.Trapping metallic Rayleigh particles with radial polarization［J］.Optics Express，2004，12（15）：3377-3382.

［4］ MASAKI M，TERUTAKE H，YASUHIRO T.Measurement of axial and transverse trapping stiffness of optical tweezers in air using a radially polarized beam［J］.Applied Optics，2009，48（32）：6143-6151.

［5］ SILER M，JAKL P，BRZOBOHATY O，et al.Optical forces induced behavior of a particle in a non-diffracting vortex beam［J］.Optics Express，2012，20（22）：24304-24319.

［6］ ZHOU P，MA Y X，WANG X L，et al.Average intensity of a partially coherent rectangular flat-topped laser array propagating in a turbulent atmosphere［J］.Applied Optics，2009，48（28）：5251-5258.

［7］ GE X L，F(xiàn)ENG X X，F(xiàn)AN Ch Y.Progress of the study of phase discontinuity of laser propagation through atmosphere［J］.Laser Technology，2012，36（4）：485-489（in Chinese）.

［8］ ZHOU P，LIU Z J，XU X J，et al.Propagation of phase-locked partially coherent flattened beam array in turbulent atmosphere［J］.Optics and Lasers in Engineering，2009，47（11）：1254-1258.

［9］ ZHU Zh W，SU Zh P.Spectral change of J0-correlated partially coherent flat-topped beam in turbulent atmosphere［J］.Laser Technology，2012，36（4）：532-535（in Chinese）.

［10］ XU H F，CUI Zh F，QU J.Propagation of elegant Laguerre-Gaussian beam in non-Kolmogorov turbulence［J］.Optics Express，2011，19（22）：21163-21173.

［11］ WANG L，SHEN X J，ZHANG W A，et al.Analysis of spectral propagating properties of Gaussian beam［J］.Laser Technology，2012，36（5）：700-703（in Chinese）.

［12］ XU H F，LUO H，CUI Zh F，et al.Polarization characteristics of partially coherent elegant Laguerre-Gaussian beams in non-Kolmogorov turbulence［J］.Optics and Lasers in Engineering，2012，50（5）：760-766.

［13］ WANG B，F(xiàn)EI J Ch，CUI Zh F，et al.Reserch of degree of polarization of PCELG beam propagating through a circular aperture［J］.Laser Technology，2013，37（5）：672-678（in Chinese）.

［14］ BARREIRO J T，WEI T Ch，KWIAT P G.Remote preparation of single-photon“Hybrid”entangled and vector-polarization states［J］.Physical Review Letters，2010，105（3）：030407.

［15］ LI X P，CAO Y Y，GU M.Superresolution-focal-volume induced 3.0Tbytes/disk capacity by focusing a radially polarized beam［J］.Optics Letters，2011，36（13）：2510-2512.

［16］ ZHAN Q W.Cylindrical vector beams：from mathematical concepts to applications［J］.Advances in Optics and Photonics，2009，1（1）：1-57.

［17］ MIGUEL A B，JULIO C G V，SABINO Ch C.Parabolic nondiffracting optical wave fields［J］.Optics Letters，2004，29（1）：44-46.

［18］ BORN M，WOLF E.Principles of optics［M］.7th ed.Cam-bridgeshire，United Kingdom：Cambridge University Press，1999：11-19.

［19］ DURNIN J，MICELI J J，EBERLY J H.Diffraction-free beams［J］.Physical Review Letters，1987，58（15）：1499-1501.

［20］ KHONINA S N，KOTLYAR V V，SKIDANOV R V，et al.Rotation of microparticles with Bessel beams generated by diffractive elements［J］.Journal of Modern Optics，2004，51（14）：2167-2184.

［21］ GUTIERREZ-VEGA J C，ITURBE-CASTILLO M D，CHAVEZCERDA S.Alternative formulation for invariant optical fields：Mathieu beams［J］.Optics Letters，2000，25（20）：1493-1495.［22］ KOGELNIK H，LI T.Laser beams and resonators［J］.Proceedings of the IEEE，1966，54（10）：1312-1329.

［23］ DUAN K L，Lü B D.Application of the Wigner distribution function to complex-argument Hermite-and Laguerre-Gaussian beams beyond the paraxial approximation［J］.Optics&Laser Technology，2007，39（1）：110-115.

［24］ SESHADRI S R.Self-interaction and mutual interaction of complex-argument Laguerre-Gauss beams［J］.Optics Letters，2006，31（5）：619-621.

［25］ KOSTENBAUDER A，SUN Y，SIEGMAN A E.Eigenmode expansions using biorthogonal functions：complex-valued Hermite-Gaussians：reply to comment［J］.Journal of the Optical Society of America，2006，A23（6）：1528-1529.

［26］ HALL D G.Vector-beam solutions of Maxwell's wave equation［J］.Optics Letters，1996，21（1）：9-11.

［27］ XIN J T，GAO Ch Q，LI Ch.Combination of Hermit-Gaussian beams to arbitery order vector beams［J］.Scientia Sinica Physica Mechanica&Astronomica，2012，42（10）：1017-1021（in Chinese）.

［28］ LIM B C，PHUA P B，LAI W J，et al.Fast switchable electrooptic radial polarization retarder［J］.Optics Letters，2008，33（9）：950-952.

［29］ TIDWELL S C，DENNIS H F，WAYNE D K.Generating radially polarized beams interferometrically［J］.Applied Optics，1990，29（15）：2234-2239.

［30］ MAURER C，JESACHER A，F(xiàn)URHAPTER S，et al.Tailoring of arbitrary optical vector beams［J］.New Journal of Physics，2007，9（3）：78.

［31］ WANG X L，DING J P，NI W J，et al.Generation of arbitrary vector beams with a spatial light modulator and a common path interferometric arrangement［J］.Optics Letters，2007，32（24）：3549-3551.

［32］ KOTLYAR V V，SKIDANOV R V，KHONINA S N，et al.Hypergeometric modes［J］.Optics Letters，2007，32（7）：742-744.

［33］ KARIMI E，ZITO G，PICCIRILLO B，et al.Hypergeometric-Gaussian modes［J］.Optics Letters，2007，32（21）：3053-3055.

［34］ KOTIYAR V V，KOVALEV A A，SOIFER V A.Hankel-Bessel laser beams［J］.Journal of the Optical Society of America，2012，A29（5）：741-747.

［35］ ABRAMOWITZ M，STEGUN I.Handbook of mathematical functions［M］.9th ed.New York，USA：Dover Publishing Inc，1970：504-510.

Solution and focus property of the nonparaxial vector beams in the parabolic coordinates

PENG Ji，CUI Zhifeng，QU Jun
（College of Physics and Electronic Information，Anhui Normal University，Wuhu 241000，China）

In order to solve the nonparaxial vector wave equation in the cylindrical coordinates and obtain electric field expression of the beams，based on the electric field along the azimuthal polarization under the axisymmetric circumstance，the vector wave equation under the nonparaxiality similar circumstances was transformed to the parabolic coordinates and was solved appropriately with the separation variables method.The corresponding numerical calculation was made.The results show that the new analytical solution of the nonparaxial vector wave equation is discussed to describe the propagation of a laser beam.The electric field of such a beam is found to be based on the solutions of the confluent hypergeometric function and the Meijer functions.The intensity distribution of beam is similar to the first-class zero-order Bessel beam mode.The intensity of the light beam near the optical axis is nearly infinite，and decays rapidly along the peripheral direction and decreases sharply along the radial direction in the focal plane.The acquired results are of certain significance for exploring the propagation properties of vector beams in case of nonparaxial approximation.

laser optics；nonparaxial vector wave equation；coordinate transformation；confluent hypergeometric function；Meijer function

O432

A

10.7510/jgjs.issn.1001-3806.2014.05.027

1001-3806（2014）05-0703-06

國家自然科學基金資助項目（11374015）

彭 繼（1987-），男，碩士研究生，主要從事激光大氣傳輸與光束質(zhì)量的研究。

*通訊聯(lián)系人。E-mail：qujun70@mail.ahnu.edu.cn

2013-10-11；

2013-11-13