回歸·拓廣·升華
——以一道解三角形試題的分析歷程為例*

王 耀

(江蘇省蘇州第一中學(xué) 215006)

筆者在近期的高三一輪復(fù)習(xí)中，發(fā)現(xiàn)一道解三角形選擇題的準(zhǔn)確率不高，于是以此為契機(jī)，精心構(gòu)思，通過師生合作將一些相關(guān)知識點(diǎn)完美串聯(lián)起來，具體講評歷程整理如下.

1 問題呈現(xiàn)

2 知識梳理

教材溯源1(人教版教材第54頁“綜合運(yùn)用”第17題)證明：設(shè)△ABC的外接圓的半徑是R，則a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC．

簡證(1)當(dāng)△ABC是銳角三角形時(shí)，外接圓O半徑為R，如圖1，連結(jié)BO并延長，交外接圓于點(diǎn)A1，連結(jié)A1C，則圓周角∠A1=∠A.

圖1 圖2

3 問題解決

在批閱這道題時(shí)，筆者發(fā)現(xiàn)得分率相對較低，詢問后得知即使答對的學(xué)生，也有部分是通過對三角形特殊化后“猜對”的答案．因此，在講解前，筆者特地回顧教材，對正弦定理的來龍去脈進(jìn)行回顧(知識梳理部分)．這樣處理后，許多學(xué)生再面對這道題時(shí)，得到以下解法：

圖3

解法1中，通過初等幾何知識(圓周角相等)以及正弦定理的拓廣結(jié)論進(jìn)行求解，讓解題思維不只是“冰冷的美麗”，能否繼續(xù)展開“火熱的思考”，也是值得探究的問題．除了采用“化角”的轉(zhuǎn)化策略，筆者也嘗試進(jìn)行“化邊”轉(zhuǎn)化，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考，將解法2的教學(xué)片段整理如下.

師：在解三角形中，由三角形的角平分線能想到什么性質(zhì)或結(jié)論？

圖4

生2：相交弦定理，也就是利用△A1BD∽△CAD可知BD·DC=AD·DA1.

師：生2講得很全面，問題轉(zhuǎn)化為求出角平分線AD的長度，怎么求解呢？

師：上面對三角形中內(nèi)角平分線的定性分析、定量計(jì)算，復(fù)習(xí)了經(jīng)典的結(jié)論，現(xiàn)在請大家將上面的信息綜合起來，推導(dǎo)一下線段AA1的長度表達(dá)式.

評注(1)這個(gè)解法中，綜合運(yùn)用了多個(gè)定理，如角平分線定理、相交弦定理、余弦定理、角平分線長公式等，其中，與角平分線相關(guān)的公式、定理都是命題中的熱點(diǎn)，本文下面會舉例說明．

圖5

多么簡潔的方法，的確讓大家眼前一亮，筆者和學(xué)生一起感受這道題蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)之美，也有學(xué)生提出能不能利用余弦定理來證明這個(gè)結(jié)論？結(jié)合前面的解法，師生討論后發(fā)現(xiàn)這個(gè)方向是可行的．

解法4如圖6，設(shè)∠BAC=A=2θ，則∠BAA1=∠CAA1=∠BCA1=∠CBA1=θ，可設(shè)A1B=A1C=x．

圖6

真是條條大路通羅馬啊，一道小題竟然可以有幾種方法去研究它，不知不覺地就過了一節(jié)課．課后，筆者也意猶未盡，繼續(xù)思考，得到如下更為簡潔的解法：

4 拓展運(yùn)用

為了鞏固上文中的一些解題策略，筆者選取了幾道習(xí)題供學(xué)生進(jìn)行練習(xí)，升華思維．

圖7

例1(2018·江蘇卷13)在△ABC中，角A，B，C所對應(yīng)的邊分別為a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)D，且BD=1，則4a+c的最小值為．

圖8

評注此題也可以運(yùn)用幾何法進(jìn)行直觀想象，即利用角平分線定理構(gòu)造調(diào)和點(diǎn)列，得到結(jié)果，但是用解析法進(jìn)行邏輯推理更加嚴(yán)謹(jǐn)，可培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力．

圖9

評注在人教版新教材第64頁中，讓學(xué)生用向量法研究三角形的性質(zhì)進(jìn)行數(shù)學(xué)探究的研究活動，本例恰好是在所學(xué)知識基礎(chǔ)上，對三角形的內(nèi)心進(jìn)行向量表示的完美體現(xiàn)．

例4(2021·全國I卷19)記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知b2=ac，點(diǎn)D在邊AC上，BDsin∠ABC=asinC．

(1)證明：BD=b；(2)若AD=2DC，求cos∠ABC．

圖10

評注這道題雖是中檔題，但是從學(xué)生反饋來看，不少人用時(shí)較多．可見，將未知的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的結(jié)構(gòu)特征，選擇有效的轉(zhuǎn)化策略尤為重要，本題由定比分點(diǎn)進(jìn)行向量表示是最高效的解題途徑．

5 教學(xué)感悟

(1)回歸教材，理解數(shù)學(xué)

2017年版課程標(biāo)準(zhǔn)指出，通過高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，獲得進(jìn)一步學(xué)習(xí)以及未來發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗(yàn)(簡稱“四基”)；提高從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力(簡稱“四能”)．高考命題的依據(jù)是“課標(biāo)”“考綱”與“教材”，命題源于教材但又高于教材，這是全體高三教師的共識．那么，高三數(shù)學(xué)備考的課堂教學(xué)中，提升“四基”“四能”，離不開對教材的深刻理解．章建躍教授近年來倡導(dǎo)的“理解數(shù)學(xué)”[1]引起了廣泛的關(guān)注，他提出，教好數(shù)學(xué)的前提是要理解數(shù)學(xué)，只有理解數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)，才能積累教學(xué)知識的表達(dá)經(jīng)驗(yàn)．

的確，通過文中分析的這道題不難看出，對于廣大師生而言，理解教材是教師教好數(shù)學(xué)、學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵，教材中的定理和一些典型的例習(xí)題之間常具有一定的關(guān)聯(lián)性，其中滲透了某些經(jīng)典的數(shù)學(xué)思想方法．因此，在高三的復(fù)習(xí)工作中，要認(rèn)真研讀教材，充分發(fā)掘教材的使用價(jià)值，通過對教材的深入思考與研究，幫助學(xué)生系統(tǒng)地梳理知識，構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)．例如，本文中通過對正弦定理背景下的習(xí)題講評的設(shè)計(jì)，師生共同探究問題的背景、方法和聯(lián)系，幫助學(xué)生積累問題解決過程中常用的解題經(jīng)驗(yàn)．

(2)拓展探究，建構(gòu)數(shù)學(xué)

教學(xué)的目的是使學(xué)生學(xué)會未知的知識，逐步由“學(xué)會”到“會學(xué)”．也就是說，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中接受新知識，更重要的是要學(xué)會如何獨(dú)立思考．因此，筆者認(rèn)為給學(xué)生提供合適的研究對象，進(jìn)行拓展研究，顯得尤為必要．這些素材廣泛分布在教材中，例如正文、思考、旁白、例習(xí)題等．

在高考復(fù)習(xí)教學(xué)中，如果只是對知識點(diǎn)重復(fù)羅列，無法提高學(xué)生學(xué)習(xí)的參與度和內(nèi)驅(qū)力．不妨注重聯(lián)系，“合縱連橫”地進(jìn)行知識體系的再建構(gòu)，即通過“點(diǎn)—線—面”的方式，將教材中的關(guān)聯(lián)知識點(diǎn)靈活呈現(xiàn)[2]，在教師的引領(lǐng)下，學(xué)生對概念、定理、公式的來龍去脈進(jìn)行再認(rèn)識，對教材知識進(jìn)行再鞏固，提高知識綜合運(yùn)用的能力，提升問題解決的成功率．

本節(jié)課中研究的問題，與三角函數(shù)、向量、正弦定理、余弦定理、不等式、初等幾何等知識之間有著密切的聯(lián)系，這些知識都是解決幾何問題的有力工具．通過對其中分析思維歷程的展示，讓學(xué)生領(lǐng)會到知識的精髓，積累數(shù)學(xué)探究的活動體驗(yàn)．

(3)強(qiáng)化運(yùn)用，升華思維

以“微點(diǎn)”入手的課堂教學(xué)是近年來高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中的常見課型[3]，教師精心選擇素材，結(jié)合歸類設(shè)計(jì)、變式開發(fā)等手段完善講評策略，通過學(xué)生自主探究、師生合作探究，對知識進(jìn)行運(yùn)用和拓展，探究解法聯(lián)系，還原問題本原，從而引導(dǎo)學(xué)生積極、主動地矯正思維問題，深入體會數(shù)學(xué)思想方法，拓寬思維的廣度，發(fā)掘思維的深度，進(jìn)一步完善知識結(jié)構(gòu)．這樣的課堂設(shè)計(jì)，常需要從微觀和宏觀兩個(gè)層面進(jìn)行構(gòu)思，師生積極參與，使高三的數(shù)學(xué)課堂充滿生機(jī)活力，對學(xué)生思維的發(fā)展、創(chuàng)新精神的培養(yǎng)和實(shí)踐能力的提高有積極的作用，對教師課堂教學(xué)效率和品位的提高有參考價(jià)值．

通過本節(jié)課中的問題解決過程發(fā)現(xiàn)，解法之間有聯(lián)系，更有創(chuàng)新，各具特色，解題過程不再是“冰冷的形式化美麗”，而是那種發(fā)散的、火熱的思考過程，達(dá)到了數(shù)學(xué)思維的自然流淌．由此可見，面對數(shù)學(xué)問題，只要我們學(xué)會廣泛的聯(lián)想和生動的類比，我們就會擁有寬闊的思路，探究出各式各樣的方法.如果在解題過程中，對于每一個(gè)細(xì)節(jié)再進(jìn)一步深入思考，繼續(xù)追尋下去，那么解法還能不斷改進(jìn)，不斷優(yōu)化，化復(fù)雜為簡單，聚分散為統(tǒng)一．這一切不僅可以提高我們發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力，更是一種數(shù)學(xué)美的享受．

總之，提高學(xué)生的問題解決能力和提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，是數(shù)學(xué)解題教學(xué)的永恒主題．作為教者，應(yīng)善于引導(dǎo)學(xué)生重視知識背后的結(jié)構(gòu)、聯(lián)系和規(guī)律，積累問題解決過程中的思維經(jīng)驗(yàn)，追求知識能力的應(yīng)用和遷移，從而讓教師的課堂教學(xué)更加精彩，最大限度地促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的有效落實(shí)．