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    問(wèn)題驅(qū)動(dòng)式教學(xué)法在數(shù)值分析中的應(yīng)用與研究——以插值法為例

    2014-04-16 11:52:34王巧玲曾春華
    科技視界 2014年13期
    關(guān)鍵詞:插值法插值數(shù)值

    梅 芳 王巧玲 曾春華

    (江西農(nóng)業(yè)大學(xué) 理學(xué)院,江西 南昌 330045)

    問(wèn)題驅(qū)動(dòng)式教學(xué)法是基于問(wèn)題的教學(xué)方法,一種建立在構(gòu)建主義教學(xué)理論基礎(chǔ)上的教學(xué)法,它要求“問(wèn)題”的目標(biāo)性和教學(xué)情景的創(chuàng)建,學(xué)生在老師的幫助下,緊緊圍繞共同的任務(wù),在強(qiáng)烈的真實(shí)問(wèn)題動(dòng)機(jī)的驅(qū)動(dòng)下,通過(guò)對(duì)資源的積極主動(dòng)應(yīng)用,進(jìn)行自主探索和互動(dòng)協(xié)作的學(xué)習(xí)。

    目前國(guó)內(nèi)大學(xué)《數(shù)值分析》課程的教學(xué)改革起步晚,注重純理論教學(xué)。教學(xué)過(guò)程中存在的不足:數(shù)學(xué)理論推導(dǎo)嚴(yán)密但是教學(xué)枯燥,學(xué)生學(xué)習(xí)缺乏興趣。國(guó)外《數(shù)值分析》課程的改革走在前沿,美國(guó)工程院院士Cleve Moler在20世紀(jì)70年代提出在學(xué)習(xí)方式上,將教師引導(dǎo)與學(xué)生自主探究、合作交流有機(jī)結(jié)合起來(lái)。注意吸收計(jì)算數(shù)學(xué)中算法研究的最新理論研究成果,讓學(xué)生在真實(shí)的問(wèn)題驅(qū)動(dòng)下,帶著問(wèn)題去學(xué)習(xí)領(lǐng)會(huì)蘊(yùn)含其中的算法原理,并能運(yùn)用所學(xué)理論分析利用數(shù)學(xué)軟件解決現(xiàn)實(shí)生活中的科學(xué)問(wèn)題。但對(duì)驅(qū)動(dòng)問(wèn)題的解決措施的探討深入不夠。

    本文以數(shù)值分析課程的插值法為例,介紹問(wèn)題驅(qū)動(dòng)式教學(xué)法在整個(gè)章節(jié)課堂教學(xué)中的研究與應(yīng)用。

    1 創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境,提出問(wèn)題

    函數(shù)是描述自然界客觀規(guī)律的重要工具,實(shí)際應(yīng)用中許多函數(shù)是通過(guò)實(shí)驗(yàn)或者觀測(cè)得到的,其形式是一張函數(shù)表,作一條曲線,其類型(代數(shù)多項(xiàng)式函數(shù),三角函數(shù),指數(shù)函數(shù)……)是事先人為給定的,該曲線經(jīng)過(guò)所有點(diǎn)(xi,yi),i=0,1,2,…,n,這就是所謂的插值問(wèn)題。

    據(jù)資料記載,某地某年間隔30天的日落時(shí)間如下:

    5月1日 5月31日 6月30日日出 4:51 4:17 4:16日落 19:04 19:38 19:50

    根據(jù)上述資料,計(jì)算這一年中哪一天白天“最長(zhǎng)”。

    2 引導(dǎo)學(xué)生討論交流,解決問(wèn)題

    讓學(xué)生查找資料,分組討論,了解插值法的產(chǎn)生背景,中外數(shù)學(xué)家在此問(wèn)題上研究的進(jìn)程,這種古老的分析問(wèn)題數(shù)學(xué)方法應(yīng)用在那些課題中?分析關(guān)于多項(xiàng)式插值的理論依據(jù)是什么?提出問(wèn)題對(duì)于函數(shù)y=f(x)是否存在這樣的多項(xiàng)式函數(shù)P(x)能精確的逼近它呢?經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)的推導(dǎo)得到結(jié)論:滿足給定區(qū)間[a,b]上 n+1 個(gè)點(diǎn) a≤x0<x1<…<xn≤b 上的函數(shù)值為y=f(xi)(i=0,1,…,n)的插值多項(xiàng)式P(x)存在且唯一。

    然后得到Lagrange插值法的計(jì)算公式:

    其中

    插值余項(xiàng)與誤差估計(jì):

    接下來(lái),按上面的理論知識(shí),求解提出的問(wèn)題,建立一個(gè)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型,用二次等距離插值法計(jì)算求解:

    5月1日設(shè)為第0天,則x=0

    再設(shè)每一天白天的長(zhǎng)度(日出與日落的時(shí)數(shù))為14小時(shí)13分+T分

    故天數(shù)和它的長(zhǎng)度可用(x,T)表示。有記載的三天數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)于(0,0),(30,68),(60,81)

    由微積分中的最值原理T'(x)=0,得到x≈52.09,也就是最長(zhǎng)的一天為5月1日以后的第52天,即6月22日,T=83分,這一天日出與日落之間的時(shí)數(shù)為14小時(shí)13分+83分=15小時(shí)36分。與每年的夏至節(jié)氣日期相吻合。

    然后拓展數(shù)值分析插值法數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn),計(jì)算一年中的24節(jié)氣所在的具體日期。

    3 解決問(wèn)題的基礎(chǔ)上,進(jìn)一步了解插值法在理論和實(shí)踐上發(fā)展,應(yīng)用的廣泛性,提出新問(wèn)題和知識(shí)延拓

    Lagrange插值公式結(jié)構(gòu)緊湊,思路清晰,程序編制容易,但是增減節(jié)點(diǎn)時(shí),計(jì)算要全部重新計(jì)算,很不方便,增加計(jì)算量,我們希望在增加新的節(jié)點(diǎn)時(shí),原先計(jì)算的結(jié)果對(duì)后來(lái)的計(jì)算過(guò)程仍然有用,那如何改進(jìn)?于是我們得到Newton插值多項(xiàng)式

    其中 ωn+1(x)由(5)式定義。

    插值多項(xiàng)式要求插值節(jié)點(diǎn)相等,而實(shí)際問(wèn)題中還經(jīng)常要求節(jié)點(diǎn)上的導(dǎo)數(shù)值相等,甚至高階導(dǎo)數(shù)值也相等,于是課題條件改變了,我們討論新的解決問(wèn)題的方法Hermite插值法。這類型的一般問(wèn)題顯然會(huì)具有些令人感興趣的困難,在稱為伯格霍夫插值的專題中奉獻(xiàn)了大量的近期研究文獻(xiàn),學(xué)生可以查閱。

    其它的插值法,早期的板材曲線切割時(shí),常常把富有彈性的細(xì)長(zhǎng)木條(樣條)固定在樣點(diǎn)上,比方說(shuō)航空造船等工程設(shè)計(jì)的需要,要求樣條曲線二階導(dǎo)數(shù)連續(xù),三次樣條函數(shù)插值是被認(rèn)為一種有效的數(shù)學(xué)工具,并且學(xué)生將看到,插值法的算法有很多種,針對(duì)問(wèn)題選擇方法十分關(guān)鍵,正確選擇算法的前提是對(duì)方法的理解、分析、評(píng)價(jià)和鑒賞。

    4 歸納解決問(wèn)題中的知識(shí)點(diǎn),強(qiáng)化系統(tǒng)認(rèn)知能力,完善問(wèn)題的結(jié)論,總結(jié)規(guī)律,提出更深一步的問(wèn)題

    插值法是一個(gè)古老而實(shí)用的方法,作為逼近函數(shù)的構(gòu)造方法,是數(shù)值微積分,函數(shù)逼近,微分方程數(shù)值解的基礎(chǔ)。因?yàn)楦叽尾逯档腞unge現(xiàn)象,隨著信息量的增加,實(shí)驗(yàn)的結(jié)果與直觀的想象不吻合,它也是數(shù)值計(jì)算研究中值得高度重視的一類現(xiàn)象,也就是說(shuō)Lagrange插值多項(xiàng)式的次數(shù)不可能無(wú)限制的增大,所以它沒(méi)有實(shí)用性,采用分段低次插值,特別是三次樣條插值,具有良好的收斂性與穩(wěn)定性,理論上和應(yīng)用上意義重要,在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中有重要應(yīng)用。

    數(shù)值分析是研究用數(shù)學(xué)方法處理信息的學(xué)科,僅僅是實(shí)用信息量大,如果使用方法不當(dāng),也不能保證所得結(jié)果的正確性,在教學(xué)過(guò)程中提出一種知識(shí)建?;膯?wèn)題驅(qū)動(dòng)式教學(xué)方法,把學(xué)生在現(xiàn)實(shí)生活中感興趣的相關(guān)問(wèn)題,引入數(shù)值分析算法的教學(xué)之中,將問(wèn)題驅(qū)動(dòng)與數(shù)值分析的各種算法技術(shù)相結(jié)合,加深對(duì)《數(shù)值分析》這門課程的有關(guān)算法和結(jié)論的理解,激發(fā)學(xué)生積極思考和避免一些常犯易犯的錯(cuò)誤,提出一種實(shí)用有效的問(wèn)題驅(qū)動(dòng)的教學(xué)內(nèi)容結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì),打破傳統(tǒng)的教學(xué)模式,讓數(shù)值分析的學(xué)習(xí)更高效。

    [1]李慶揚(yáng),王超能,易大義.數(shù)值分析[M].5版.北京:清華大學(xué)出版社,2008:22-46.

    [2]林成森.數(shù)值分析[M].2版.北京:科學(xué)出版社,2005:114-190.

    [3]白峰杉.數(shù)值分析引論[M].2版.北京:高等教育出版社,2010:92-104.

    [4]任玉杰.數(shù)值分析及其MATLAB實(shí)現(xiàn)[M].北京:高等教育出版社,2008:354-480.

    [5]王國(guó)榮,俞耀明,徐兆亮.數(shù)值分析(原書(shū)第3版)[M].北京:機(jī)械工業(yè)出版社,2005:245-306.

    [6]王超能.數(shù)值分析簡(jiǎn)明教程[M].北京:高等教育出版社,2003:13-53.

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