巧用幾何直觀 妙解“雞兔同籠”

許勇

我國古代有一趣題：今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？這四句話的意思是說有若干只雞兔同在一個(gè)籠子里，從上面數(shù)，有35個(gè)頭；從下面數(shù)，有94只腳，問籠中各有幾只雞和幾只兔？

這就是著名的“雞兔同籠”問題。解答這類題目一般用“假設(shè)法”來求解。如果假設(shè)這35只全是雞，每只雞有2只腳，35只雞就有35×2=70只腳，但實(shí)際上有94只腳，相差94-70=24只腳。這是因?yàn)榘淹每闯闪穗u。我們知道，每把一只兔看成一只雞就會(huì)少4-2=2只腳，那么把多少只兔看成雞就能少24只腳呢？這樣，就可以求出兔的只數(shù)是：24÷2=12（只），則雞就有35-12=23（只）。當(dāng)然，也可以假設(shè)這35只全是兔，解題思路同上。隨著大家對“雞兔同籠”問題的深入研究，出現(xiàn)了一些另類解法，比如“砍足法”和“抬足法”等。

經(jīng)過分析和研究，我發(fā)現(xiàn)了這樣一種解法（如圖1）：用兩個(gè)長方形的長分別表示每只雞和每只兔的腳數(shù)，寬分別表示雞和兔的只數(shù)。因?yàn)殚L方形的面積=長×寬，所以，兩個(gè)長方形的面積分別表示雞的總腳數(shù)（每只雞的腳數(shù)×雞的只數(shù)）和兔的總腳數(shù)（每只兔的腳數(shù)×兔的只數(shù)），兩個(gè)長方形的面積和就表示雞和兔一共有94只腳。通過“數(shù)形結(jié)合”，將“雞兔同籠”問題轉(zhuǎn)化成了幾何中的“面積問題”。原來要求雞和兔各多少只，就可以根據(jù)兩個(gè)長方形的面積和以及兩個(gè)長方形的長，分別求出它們的寬。怎樣來求兩個(gè)長方形的寬各是多少呢？因?yàn)槊恐浑u有2只腳，每只兔有4只腳，所以，下面的長方形的長實(shí)際是上面長方形的長的2倍，我們把下面的長方形從中間切開，平分成左右兩部分，就可以把原來的組合圖形拼成一個(gè)新的長方形（如圖2）。

由于新長方形的面積是94（94只腳），長是2（每只雞的腳數(shù)），則寬就應(yīng)該是：94÷2=47。這時(shí)新長方形的寬（雞的只數(shù)+兔的只數(shù)+兔的只數(shù)），比原來兩個(gè)長方形的寬（雞的只數(shù)+兔的只數(shù)）多47-35=12，實(shí)際多出的12就是兔的只數(shù)，當(dāng)然雞就是35-12=23（只）。

除此之外，還有另外一種拼法（如圖3）。

原來的組合圖形通過變形，仍然可以拼成一個(gè)新的長方形。這時(shí)新長方形的面積是94（94只腳），長是4（每只兔的腳數(shù)），寬就應(yīng)該是94÷4=23.5（兔的只數(shù)+雞的只數(shù)的一半），比原來兩個(gè)長方形的寬（雞的只數(shù)+兔的只數(shù)）少35-23.5=11.5，實(shí)際上少的11.5就是雞的只數(shù)的一半，因此雞的只數(shù)就是11.5×2=23（只），則兔的只數(shù)是35-23=12（只）。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》把幾何直觀作為十大核心概念之一提出來，足見當(dāng)前數(shù)學(xué)教育界在修訂數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)、實(shí)施課程改革時(shí)對幾何直觀的關(guān)注度，也充分說明幾何直觀對于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要性。那么，什么是幾何直觀呢？幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于學(xué)生探索解決問題的思路、預(yù)測結(jié)果。在“雞兔同籠”問題的新解中，我就是充分利用幾何直觀，把抽象的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為適當(dāng)?shù)膸缀螆D形，從圖形的直觀特征中發(fā)現(xiàn)了數(shù)量之間的聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)了“數(shù)”與“形”的相互轉(zhuǎn)化，達(dá)到了化難為易、化繁為簡、化隱為顯的目的。在“雞兔同籠”問題的教學(xué)中，如果教師能引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”的方法去分析問題和解決問題，學(xué)生學(xué)起來就會(huì)輕松愉快，容易掌握且印象深刻。更重要的是，學(xué)生能從中充分體驗(yàn)到幾何直觀的作用和優(yōu)勢，從而有效地發(fā)展他們的幾何直觀能力。

（作者單位：重慶市開縣漢豐第五中心小學(xué)）

我國古代有一趣題：今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？這四句話的意思是說有若干只雞兔同在一個(gè)籠子里，從上面數(shù)，有35個(gè)頭；從下面數(shù)，有94只腳，問籠中各有幾只雞和幾只兔？

這就是著名的“雞兔同籠”問題。解答這類題目一般用“假設(shè)法”來求解。如果假設(shè)這35只全是雞，每只雞有2只腳，35只雞就有35×2=70只腳，但實(shí)際上有94只腳，相差94-70=24只腳。這是因?yàn)榘淹每闯闪穗u。我們知道，每把一只兔看成一只雞就會(huì)少4-2=2只腳，那么把多少只兔看成雞就能少24只腳呢？這樣，就可以求出兔的只數(shù)是：24÷2=12（只），則雞就有35-12=23（只）。當(dāng)然，也可以假設(shè)這35只全是兔，解題思路同上。隨著大家對“雞兔同籠”問題的深入研究，出現(xiàn)了一些另類解法，比如“砍足法”和“抬足法”等。

經(jīng)過分析和研究，我發(fā)現(xiàn)了這樣一種解法（如圖1）：用兩個(gè)長方形的長分別表示每只雞和每只兔的腳數(shù)，寬分別表示雞和兔的只數(shù)。因?yàn)殚L方形的面積=長×寬，所以，兩個(gè)長方形的面積分別表示雞的總腳數(shù)（每只雞的腳數(shù)×雞的只數(shù)）和兔的總腳數(shù)（每只兔的腳數(shù)×兔的只數(shù)），兩個(gè)長方形的面積和就表示雞和兔一共有94只腳。通過“數(shù)形結(jié)合”，將“雞兔同籠”問題轉(zhuǎn)化成了幾何中的“面積問題”。原來要求雞和兔各多少只，就可以根據(jù)兩個(gè)長方形的面積和以及兩個(gè)長方形的長，分別求出它們的寬。怎樣來求兩個(gè)長方形的寬各是多少呢？因?yàn)槊恐浑u有2只腳，每只兔有4只腳，所以，下面的長方形的長實(shí)際是上面長方形的長的2倍，我們把下面的長方形從中間切開，平分成左右兩部分，就可以把原來的組合圖形拼成一個(gè)新的長方形（如圖2）。

由于新長方形的面積是94（94只腳），長是2（每只雞的腳數(shù)），則寬就應(yīng)該是：94÷2=47。這時(shí)新長方形的寬（雞的只數(shù)+兔的只數(shù)+兔的只數(shù)），比原來兩個(gè)長方形的寬（雞的只數(shù)+兔的只數(shù)）多47-35=12，實(shí)際多出的12就是兔的只數(shù)，當(dāng)然雞就是35-12=23（只）。

除此之外，還有另外一種拼法（如圖3）。

原來的組合圖形通過變形，仍然可以拼成一個(gè)新的長方形。這時(shí)新長方形的面積是94（94只腳），長是4（每只兔的腳數(shù)），寬就應(yīng)該是94÷4=23.5（兔的只數(shù)+雞的只數(shù)的一半），比原來兩個(gè)長方形的寬（雞的只數(shù)+兔的只數(shù)）少35-23.5=11.5，實(shí)際上少的11.5就是雞的只數(shù)的一半，因此雞的只數(shù)就是11.5×2=23（只），則兔的只數(shù)是35-23=12（只）。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》把幾何直觀作為十大核心概念之一提出來，足見當(dāng)前數(shù)學(xué)教育界在修訂數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)、實(shí)施課程改革時(shí)對幾何直觀的關(guān)注度，也充分說明幾何直觀對于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要性。那么，什么是幾何直觀呢？幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于學(xué)生探索解決問題的思路、預(yù)測結(jié)果。在“雞兔同籠”問題的新解中，我就是充分利用幾何直觀，把抽象的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為適當(dāng)?shù)膸缀螆D形，從圖形的直觀特征中發(fā)現(xiàn)了數(shù)量之間的聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)了“數(shù)”與“形”的相互轉(zhuǎn)化，達(dá)到了化難為易、化繁為簡、化隱為顯的目的。在“雞兔同籠”問題的教學(xué)中，如果教師能引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”的方法去分析問題和解決問題，學(xué)生學(xué)起來就會(huì)輕松愉快，容易掌握且印象深刻。更重要的是，學(xué)生能從中充分體驗(yàn)到幾何直觀的作用和優(yōu)勢，從而有效地發(fā)展他們的幾何直觀能力。

（作者單位：重慶市開縣漢豐第五中心小學(xué)）

我國古代有一趣題：今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？這四句話的意思是說有若干只雞兔同在一個(gè)籠子里，從上面數(shù)，有35個(gè)頭；從下面數(shù)，有94只腳，問籠中各有幾只雞和幾只兔？

這就是著名的“雞兔同籠”問題。解答這類題目一般用“假設(shè)法”來求解。如果假設(shè)這35只全是雞，每只雞有2只腳，35只雞就有35×2=70只腳，但實(shí)際上有94只腳，相差94-70=24只腳。這是因?yàn)榘淹每闯闪穗u。我們知道，每把一只兔看成一只雞就會(huì)少4-2=2只腳，那么把多少只兔看成雞就能少24只腳呢？這樣，就可以求出兔的只數(shù)是：24÷2=12（只），則雞就有35-12=23（只）。當(dāng)然，也可以假設(shè)這35只全是兔，解題思路同上。隨著大家對“雞兔同籠”問題的深入研究，出現(xiàn)了一些另類解法，比如“砍足法”和“抬足法”等。

經(jīng)過分析和研究，我發(fā)現(xiàn)了這樣一種解法（如圖1）：用兩個(gè)長方形的長分別表示每只雞和每只兔的腳數(shù)，寬分別表示雞和兔的只數(shù)。因?yàn)殚L方形的面積=長×寬，所以，兩個(gè)長方形的面積分別表示雞的總腳數(shù)（每只雞的腳數(shù)×雞的只數(shù)）和兔的總腳數(shù)（每只兔的腳數(shù)×兔的只數(shù)），兩個(gè)長方形的面積和就表示雞和兔一共有94只腳。通過“數(shù)形結(jié)合”，將“雞兔同籠”問題轉(zhuǎn)化成了幾何中的“面積問題”。原來要求雞和兔各多少只，就可以根據(jù)兩個(gè)長方形的面積和以及兩個(gè)長方形的長，分別求出它們的寬。怎樣來求兩個(gè)長方形的寬各是多少呢？因?yàn)槊恐浑u有2只腳，每只兔有4只腳，所以，下面的長方形的長實(shí)際是上面長方形的長的2倍，我們把下面的長方形從中間切開，平分成左右兩部分，就可以把原來的組合圖形拼成一個(gè)新的長方形（如圖2）。

由于新長方形的面積是94（94只腳），長是2（每只雞的腳數(shù)），則寬就應(yīng)該是：94÷2=47。這時(shí)新長方形的寬（雞的只數(shù)+兔的只數(shù)+兔的只數(shù)），比原來兩個(gè)長方形的寬（雞的只數(shù)+兔的只數(shù)）多47-35=12，實(shí)際多出的12就是兔的只數(shù)，當(dāng)然雞就是35-12=23（只）。

除此之外，還有另外一種拼法（如圖3）。

原來的組合圖形通過變形，仍然可以拼成一個(gè)新的長方形。這時(shí)新長方形的面積是94（94只腳），長是4（每只兔的腳數(shù)），寬就應(yīng)該是94÷4=23.5（兔的只數(shù)+雞的只數(shù)的一半），比原來兩個(gè)長方形的寬（雞的只數(shù)+兔的只數(shù)）少35-23.5=11.5，實(shí)際上少的11.5就是雞的只數(shù)的一半，因此雞的只數(shù)就是11.5×2=23（只），則兔的只數(shù)是35-23=12（只）。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》把幾何直觀作為十大核心概念之一提出來，足見當(dāng)前數(shù)學(xué)教育界在修訂數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)、實(shí)施課程改革時(shí)對幾何直觀的關(guān)注度，也充分說明幾何直觀對于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要性。那么，什么是幾何直觀呢？幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于學(xué)生探索解決問題的思路、預(yù)測結(jié)果。在“雞兔同籠”問題的新解中，我就是充分利用幾何直觀，把抽象的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為適當(dāng)?shù)膸缀螆D形，從圖形的直觀特征中發(fā)現(xiàn)了數(shù)量之間的聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)了“數(shù)”與“形”的相互轉(zhuǎn)化，達(dá)到了化難為易、化繁為簡、化隱為顯的目的。在“雞兔同籠”問題的教學(xué)中，如果教師能引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”的方法去分析問題和解決問題，學(xué)生學(xué)起來就會(huì)輕松愉快，容易掌握且印象深刻。更重要的是，學(xué)生能從中充分體驗(yàn)到幾何直觀的作用和優(yōu)勢，從而有效地發(fā)展他們的幾何直觀能力。

（作者單位：重慶市開縣漢豐第五中心小學(xué)）