從“畫數(shù)學(xué)”到“數(shù)學(xué)化”

【名師檔案】

莊惠芬，常州市武進(jìn)區(qū)星河小學(xué)校長(zhǎng)，常州市名師工作室優(yōu)秀領(lǐng)銜人，特級(jí)教師，江蘇人民教育家培養(yǎng)對(duì)象，江蘇省“333高層次人才培養(yǎng)工程”培養(yǎng)對(duì)象。出版專著《魅力數(shù)學(xué)課堂》《基于建模思想的小學(xué)數(shù)學(xué)教材解讀》等。中央電視臺(tái)、《小學(xué)教學(xué)》《江蘇教育研究》《江蘇教育報(bào)》等媒體對(duì)她的事跡進(jìn)行了專題報(bào)道。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》將實(shí)驗(yàn)稿中的核心概念之一“符號(hào)感”調(diào)整為“符號(hào)意識(shí)”。二者之間有著怎樣的聯(lián)系和區(qū)別？為什么要做這樣的調(diào)整？小學(xué)階段需要培養(yǎng)兒童的符號(hào)意識(shí)嗎？怎樣來培養(yǎng)兒童的符號(hào)意識(shí)呢？

問題1：小學(xué)階段需要培養(yǎng)兒童的符號(hào)意識(shí)嗎？

數(shù)學(xué)的基本語言是文字語言、符號(hào)語言和圖像語言，其中最具數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)的是符號(hào)語言，是人們進(jìn)行計(jì)算、推理和解決問題的一種工具。數(shù)學(xué)符號(hào)簡(jiǎn)潔、抽象、準(zhǔn)確、清晰，具有簡(jiǎn)約思維、提高效率、便于交流的功能。

課標(biāo)修訂小組核心成員黃翔教授認(rèn)為，符號(hào)感主要是潛意識(shí)、直覺，符號(hào)感最重要的內(nèi)涵是運(yùn)用符號(hào)進(jìn)行數(shù)學(xué)思考和表達(dá)，進(jìn)行數(shù)學(xué)活動(dòng)；而符號(hào)意識(shí)有兩個(gè)意思：第一，用符號(hào)可以進(jìn)行運(yùn)算，可以進(jìn)行推理；第二，用符號(hào)進(jìn)行的運(yùn)算和推理得到的結(jié)果具有一般性。數(shù)學(xué)的本質(zhì)是概念和符號(hào)，并通過概念和符號(hào)進(jìn)行運(yùn)算和推理，用“意識(shí)”比用“感”更為準(zhǔn)確。可見，發(fā)展兒童的符號(hào)意識(shí)是在培養(yǎng)和發(fā)展更高層次、更高水準(zhǔn)的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

符號(hào)意識(shí)的形成過程就是讓兒童經(jīng)歷“畫數(shù)學(xué)”到“數(shù)學(xué)化”的過程，是一個(gè)微型科研的過程，這樣的過程對(duì)兒童而言是必要的、有價(jià)值的，是指引他們走向數(shù)學(xué)美妙花園的重要通道之一。

發(fā)展兒童的符號(hào)意識(shí)離不開讓他們經(jīng)歷符號(hào)產(chǎn)生、運(yùn)用、推廣、建模的過程。每一個(gè)數(shù)學(xué)符號(hào)的誕生，背后都凝聚著數(shù)學(xué)工作者艱辛的努力，凝聚著人類的智慧。在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師一方面要引導(dǎo)兒童對(duì)每一個(gè)符號(hào)的出現(xiàn)產(chǎn)生好奇心，感受它的不同內(nèi)涵；另一方面也要讓兒童對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)的抽象性、簡(jiǎn)潔性、模型性有所領(lǐng)悟，感受數(shù)學(xué)符號(hào)系統(tǒng)的統(tǒng)攝性和優(yōu)越性。如“搭配中的學(xué)問”就是從具體實(shí)際問題的搭配→數(shù)學(xué)化變成數(shù)學(xué)問題→符號(hào)化建立搭配的模型→解決生活中的組合問題進(jìn)行檢驗(yàn)→抽象形成數(shù)學(xué)模型一步步不斷深入的過程。

兒童一般不能輕而易舉地將身邊的數(shù)學(xué)上升到“符號(hào)”的意義。教師應(yīng)該在適當(dāng)?shù)臅r(shí)候讓他們感悟符號(hào)的價(jià)值，比如數(shù)字、圖形、線段、字母等。在不斷的喚醒中，增強(qiáng)兒童的符號(hào)意識(shí)和直觀自覺，這是兒童建立符號(hào)意識(shí)的基礎(chǔ)。建立符號(hào)意識(shí)，有助于兒童理解符號(hào)的意義并進(jìn)行數(shù)學(xué)思考。教師應(yīng)為兒童創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)情境，喚醒其生活經(jīng)驗(yàn)，使他們?cè)谙嗷ソ涣鞯倪^程中，逐漸理解符號(hào)的意義，培養(yǎng)起符號(hào)意識(shí)。

問題2：怎樣培養(yǎng)兒童的符號(hào)意識(shí)？

讓兒童親近符號(hào)，接受、理解符號(hào)，感悟符號(hào)表達(dá)的優(yōu)勢(shì)與作用。兒童在生活中接觸了很多用符號(hào)來表示事物的情境，使他們積累了很多潛藏的符號(hào)意識(shí)，這是培養(yǎng)他們的符號(hào)意識(shí)的重要基礎(chǔ)。兒童對(duì)抽象的數(shù)量關(guān)系的理解存在著一定的困難。如果適時(shí)地讓兒童自己在紙上涂一涂、畫一畫，可以幫助他們分析、理解抽象的數(shù)量關(guān)系。數(shù)學(xué)符號(hào)的學(xué)習(xí)過程應(yīng)遵循從感性→理性→運(yùn)用的辯證發(fā)展過程。

挖掘兒童已有經(jīng)驗(yàn)中潛在的符號(hào)意識(shí)，促進(jìn)其數(shù)學(xué)思考。要解決數(shù)學(xué)符號(hào)的抽象性和兒童思維的形象性之間的矛盾，就要為兒童多創(chuàng)設(shè)一些應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的情境，幫助他們體驗(yàn)數(shù)學(xué)符號(hào)的價(jià)值。

優(yōu)化知識(shí)結(jié)構(gòu)，靈活運(yùn)用符號(hào)，強(qiáng)化兒童的符號(hào)意識(shí)。通過形成知識(shí)模塊，可以幫助兒童概括、整理所學(xué)的知識(shí)；揭示知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，使之系統(tǒng)化。這種清晰穩(wěn)固的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，離開數(shù)學(xué)符號(hào)系統(tǒng)是難以想象的。

重視思想，提煉方法，促進(jìn)模型建構(gòu)。所謂建模，就是用數(shù)學(xué)符號(hào)語言或圖像語言刻畫某種實(shí)際問題的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。常見的形式有公式、關(guān)系式、統(tǒng)計(jì)圖表、線段圖、示意圖等。數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建是離不開數(shù)學(xué)符號(hào)的。隨著數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的深入，對(duì)兒童的符號(hào)意識(shí)的要求也越來越高。在教學(xué)中，我們要幫助兒童理解符號(hào)的意義，逐步引導(dǎo)兒童經(jīng)歷從具體情境→抽象的符號(hào)表示→深化應(yīng)用這一逐步形式化、符號(hào)化的過程，促進(jìn)其符號(hào)意識(shí)的形成。

“畫數(shù)學(xué)”與“數(shù)學(xué)化”是相輔相成的，兒童從“畫數(shù)學(xué)”開始不斷積累升華，過渡到“數(shù)學(xué)化”。從“畫數(shù)學(xué)”到“數(shù)學(xué)化”，目的是更好地讓兒童形成符號(hào)意識(shí)，促進(jìn)其數(shù)學(xué)思考，使他們學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)建模，完善知識(shí)結(jié)構(gòu)，在具象→表象→抽象的過程中創(chuàng)造世界。

（作者單位：江蘇省常州市武進(jìn)區(qū)星河小學(xué)）

閱讀延伸

符號(hào)語言是在文字語言的基礎(chǔ)上產(chǎn)生的，它把文字語言的主要內(nèi)容以直觀、形象的方式簡(jiǎn)練地表示出來，以方便人們進(jìn)行表達(dá)、交流、思考以及解決問題。數(shù)學(xué)符號(hào)能夠精確地表達(dá)某種概念、方法、數(shù)量關(guān)系和邏輯關(guān)系，從而為數(shù)學(xué)交流和進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)提供了方便。

此次課標(biāo)的修訂，專設(shè)了10個(gè)核心概念，“符號(hào)意識(shí)”是其中之一。將“符號(hào)感”更名為“符號(hào)意識(shí)”，更加強(qiáng)調(diào)學(xué)生主動(dòng)理解和運(yùn)用符號(hào)的心理傾向；“符號(hào)意識(shí)主要是指能夠理解并且運(yùn)用符號(hào)表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律?！边@強(qiáng)調(diào)了符號(hào)表示的作用；“知道使用符號(hào)可以進(jìn)行運(yùn)算和推理，得到的結(jié)論具有一般性。”這一條強(qiáng)調(diào)了符號(hào)的一般性特征。因?yàn)橛脭?shù)進(jìn)行的所有運(yùn)算都是個(gè)案，而數(shù)學(xué)要研究一般問題，一般問題需要通過符號(hào)來表示。因此，一方面，符號(hào)可以像數(shù)一樣進(jìn)行運(yùn)算和推理；另一方面，通過符號(hào)運(yùn)算和推理得到的結(jié)論具有一般性。

教師要注意把握兒童的符號(hào)意識(shí)培育過程中的每一步。鼓勵(lì)學(xué)生用獨(dú)特的方式表示具體情境中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律是關(guān)鍵的起步。引進(jìn)字母來表示數(shù)是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)符號(hào)、學(xué)會(huì)用符號(hào)表示數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律的重要一步。理解符號(hào)并會(huì)把實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系用符號(hào)表示出來是成功的一步。

為了更系統(tǒng)地把握數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)及其培養(yǎng)策略，可以品讀下列資料：

1.《數(shù)學(xué)符號(hào)史》（張紅、徐品芳著，科學(xué)出版社）

2.《數(shù)學(xué)符號(hào)理解手冊(cè)》（[日]黑木哲德著，趙雪梅譯，學(xué)林出版社）

3.《小學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)培養(yǎng)策略與案例》第二章“用數(shù)學(xué)的視角去認(rèn)識(shí)世界——數(shù)學(xué)意識(shí)的發(fā)展”（朱德江著，北京師范大學(xué)出版集團(tuán)）

4.《成為高度自覺的教育者——寫給后課標(biāo)時(shí)代的數(shù)學(xué)教師》（許衛(wèi)兵著，江蘇教育出版社）

5.《數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理學(xué)》（第2版）第十章第二節(jié)“符號(hào)意識(shí)及其培養(yǎng)”（孔凡哲、曾崢編著，北京大學(xué)出版社）

6.《試論符號(hào)意義獲得能力及其培養(yǎng)——以數(shù)學(xué)教學(xué)為例》（王成營(yíng)、陳佑清，《全球教育展望》，2012年第7期）

7.《發(fā)展學(xué)生符號(hào)意識(shí)探微》（許光新，《教學(xué)月刊》小學(xué)版（數(shù)學(xué)），2013年第5期）