例談巧用圖像法解題

梁耀

利用圖像反映物理規(guī)律、分析物理問題，是研究和學(xué)習(xí)物理的一種重要方法，這種方法稱為圖像法。掌握了這種方法對(duì)中學(xué)物理學(xué)習(xí)有很大的幫助。如牛頓運(yùn)動(dòng)定律的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理、振動(dòng)和波、氣體性質(zhì)、歐姆定律和交流電的描述等等，都要用到圖像法。在解答物理問題時(shí)，特別是解答比較復(fù)雜、偏難的物理題時(shí)，如果只套用公式，則計(jì)算相當(dāng)繁瑣，若改用圖像法解題，則形象直觀，且可以化難為易，而對(duì)那些中間過程的變化不明顯，又沒有現(xiàn)成公式可用的問題，圖像法更有其獨(dú)到之處。

【例1】某鴕鳥飼養(yǎng)員，早上出發(fā)到離家分別為20km和40km的A、B兩個(gè)喂養(yǎng)點(diǎn)。若其出發(fā)后保持直線運(yùn)動(dòng)，速度的大小與其離家的距離成反比，上午11點(diǎn)鐘到達(dá)A點(diǎn)時(shí)速度為v1=5km/h。問其何時(shí)到達(dá)B點(diǎn)？

分析和解答：如圖1，題目要求的是飼養(yǎng)員從A點(diǎn)到B點(diǎn)的時(shí)間，而題給條件是飼養(yǎng)員的速度隨位移變化的關(guān)系，即v=k/x，其中k=L1·v1。經(jīng)分析可知，其運(yùn)動(dòng)顯然不是勻變速直線運(yùn)動(dòng)。所以很難用運(yùn)動(dòng)學(xué)公式和初等數(shù)學(xué)方法來直接求解。在這種情況下，如能巧妙地運(yùn)用圖像法解題，便會(huì)取得意想不到的效果。

圖1用圖像法解運(yùn)動(dòng)學(xué)問題，作關(guān)于速度的圖像，通常是作物體的v—x圖像，而根據(jù)題意，僅可作出v—x圖像。如圖2所示，v—x圖為一條雙曲線，且圖像中的曲線斜率和曲線與x軸所圍面積并無確切的物理意義，所以，直接通過v—x圖也無法求得t。

圖2為此，必須變換坐標(biāo)系。根據(jù)題意，重新畫出一個(gè)適當(dāng)?shù)膱D像，使其斜率或所圍面積具有時(shí)間或與時(shí)間有關(guān)的物理意義。由v=x/t得t=x/v，顯然，（1/v）-x圖像（如圖3）中的圖線（1/v）=（x/k）與橫軸x所圍的面積的數(shù)值即為飼養(yǎng)員經(jīng)過一定的位移所需要的時(shí)間。

圖3如圖3，在任意的x處取一窄條（陰影處），其高為（1/v）=（x/k），寬為Δx，令Δx→0，必然有此段位移所需的時(shí)間Δx→0，則v為x處的即時(shí)速度。由圖3可知，圖中窄條的面積S=Δx·（1/v）=Δx/v，這正表示飼養(yǎng)員在x處經(jīng)過位移Δx所需的時(shí)間。即

t=（1/2）×（L1/k+L2/k）×（L2-L1）

=（L22-L21）/2k

把L1=20km，L2=40km，v1=5km/h代入，可得t=6h。即從A點(diǎn)開始6小時(shí)后（即下午5點(diǎn)）飼養(yǎng)員到達(dá)B點(diǎn)。

從本題的解析可知，只要注意到圖線的斜率和所圍面積的物理意義，利用圖像能直觀地解決實(shí)際問題，并且能收到很好的效果。

（責(zé)任編輯易志毅）endprint

利用圖像反映物理規(guī)律、分析物理問題，是研究和學(xué)習(xí)物理的一種重要方法，這種方法稱為圖像法。掌握了這種方法對(duì)中學(xué)物理學(xué)習(xí)有很大的幫助。如牛頓運(yùn)動(dòng)定律的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理、振動(dòng)和波、氣體性質(zhì)、歐姆定律和交流電的描述等等，都要用到圖像法。在解答物理問題時(shí)，特別是解答比較復(fù)雜、偏難的物理題時(shí)，如果只套用公式，則計(jì)算相當(dāng)繁瑣，若改用圖像法解題，則形象直觀，且可以化難為易，而對(duì)那些中間過程的變化不明顯，又沒有現(xiàn)成公式可用的問題，圖像法更有其獨(dú)到之處。

【例1】某鴕鳥飼養(yǎng)員，早上出發(fā)到離家分別為20km和40km的A、B兩個(gè)喂養(yǎng)點(diǎn)。若其出發(fā)后保持直線運(yùn)動(dòng)，速度的大小與其離家的距離成反比，上午11點(diǎn)鐘到達(dá)A點(diǎn)時(shí)速度為v1=5km/h。問其何時(shí)到達(dá)B點(diǎn)？

分析和解答：如圖1，題目要求的是飼養(yǎng)員從A點(diǎn)到B點(diǎn)的時(shí)間，而題給條件是飼養(yǎng)員的速度隨位移變化的關(guān)系，即v=k/x，其中k=L1·v1。經(jīng)分析可知，其運(yùn)動(dòng)顯然不是勻變速直線運(yùn)動(dòng)。所以很難用運(yùn)動(dòng)學(xué)公式和初等數(shù)學(xué)方法來直接求解。在這種情況下，如能巧妙地運(yùn)用圖像法解題，便會(huì)取得意想不到的效果。

圖1用圖像法解運(yùn)動(dòng)學(xué)問題，作關(guān)于速度的圖像，通常是作物體的v—x圖像，而根據(jù)題意，僅可作出v—x圖像。如圖2所示，v—x圖為一條雙曲線，且圖像中的曲線斜率和曲線與x軸所圍面積并無確切的物理意義，所以，直接通過v—x圖也無法求得t。

圖2為此，必須變換坐標(biāo)系。根據(jù)題意，重新畫出一個(gè)適當(dāng)?shù)膱D像，使其斜率或所圍面積具有時(shí)間或與時(shí)間有關(guān)的物理意義。由v=x/t得t=x/v，顯然，（1/v）-x圖像（如圖3）中的圖線（1/v）=（x/k）與橫軸x所圍的面積的數(shù)值即為飼養(yǎng)員經(jīng)過一定的位移所需要的時(shí)間。

圖3如圖3，在任意的x處取一窄條（陰影處），其高為（1/v）=（x/k），寬為Δx，令Δx→0，必然有此段位移所需的時(shí)間Δx→0，則v為x處的即時(shí)速度。由圖3可知，圖中窄條的面積S=Δx·（1/v）=Δx/v，這正表示飼養(yǎng)員在x處經(jīng)過位移Δx所需的時(shí)間。即

t=（1/2）×（L1/k+L2/k）×（L2-L1）

=（L22-L21）/2k

把L1=20km，L2=40km，v1=5km/h代入，可得t=6h。即從A點(diǎn)開始6小時(shí)后（即下午5點(diǎn)）飼養(yǎng)員到達(dá)B點(diǎn)。

從本題的解析可知，只要注意到圖線的斜率和所圍面積的物理意義，利用圖像能直觀地解決實(shí)際問題，并且能收到很好的效果。

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利用圖像反映物理規(guī)律、分析物理問題，是研究和學(xué)習(xí)物理的一種重要方法，這種方法稱為圖像法。掌握了這種方法對(duì)中學(xué)物理學(xué)習(xí)有很大的幫助。如牛頓運(yùn)動(dòng)定律的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理、振動(dòng)和波、氣體性質(zhì)、歐姆定律和交流電的描述等等，都要用到圖像法。在解答物理問題時(shí)，特別是解答比較復(fù)雜、偏難的物理題時(shí)，如果只套用公式，則計(jì)算相當(dāng)繁瑣，若改用圖像法解題，則形象直觀，且可以化難為易，而對(duì)那些中間過程的變化不明顯，又沒有現(xiàn)成公式可用的問題，圖像法更有其獨(dú)到之處。

【例1】某鴕鳥飼養(yǎng)員，早上出發(fā)到離家分別為20km和40km的A、B兩個(gè)喂養(yǎng)點(diǎn)。若其出發(fā)后保持直線運(yùn)動(dòng)，速度的大小與其離家的距離成反比，上午11點(diǎn)鐘到達(dá)A點(diǎn)時(shí)速度為v1=5km/h。問其何時(shí)到達(dá)B點(diǎn)？

分析和解答：如圖1，題目要求的是飼養(yǎng)員從A點(diǎn)到B點(diǎn)的時(shí)間，而題給條件是飼養(yǎng)員的速度隨位移變化的關(guān)系，即v=k/x，其中k=L1·v1。經(jīng)分析可知，其運(yùn)動(dòng)顯然不是勻變速直線運(yùn)動(dòng)。所以很難用運(yùn)動(dòng)學(xué)公式和初等數(shù)學(xué)方法來直接求解。在這種情況下，如能巧妙地運(yùn)用圖像法解題，便會(huì)取得意想不到的效果。

圖1用圖像法解運(yùn)動(dòng)學(xué)問題，作關(guān)于速度的圖像，通常是作物體的v—x圖像，而根據(jù)題意，僅可作出v—x圖像。如圖2所示，v—x圖為一條雙曲線，且圖像中的曲線斜率和曲線與x軸所圍面積并無確切的物理意義，所以，直接通過v—x圖也無法求得t。

圖2為此，必須變換坐標(biāo)系。根據(jù)題意，重新畫出一個(gè)適當(dāng)?shù)膱D像，使其斜率或所圍面積具有時(shí)間或與時(shí)間有關(guān)的物理意義。由v=x/t得t=x/v，顯然，（1/v）-x圖像（如圖3）中的圖線（1/v）=（x/k）與橫軸x所圍的面積的數(shù)值即為飼養(yǎng)員經(jīng)過一定的位移所需要的時(shí)間。

圖3如圖3，在任意的x處取一窄條（陰影處），其高為（1/v）=（x/k），寬為Δx，令Δx→0，必然有此段位移所需的時(shí)間Δx→0，則v為x處的即時(shí)速度。由圖3可知，圖中窄條的面積S=Δx·（1/v）=Δx/v，這正表示飼養(yǎng)員在x處經(jīng)過位移Δx所需的時(shí)間。即

t=（1/2）×（L1/k+L2/k）×（L2-L1）

=（L22-L21）/2k

把L1=20km，L2=40km，v1=5km/h代入，可得t=6h。即從A點(diǎn)開始6小時(shí)后（即下午5點(diǎn)）飼養(yǎng)員到達(dá)B點(diǎn)。

從本題的解析可知，只要注意到圖線的斜率和所圍面積的物理意義，利用圖像能直觀地解決實(shí)際問題，并且能收到很好的效果。

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