二次函數(shù)圖象在解題中的應用

劉曉輝

二次函數(shù)是一種重要的函數(shù)，它有很多重要的性質(zhì)，其中對稱性和根的存在性就是其中的兩個重要的性質(zhì).本文基于這兩個重要的性質(zhì)得出兩個推論，旨在拋磚引玉，引起大家對二次函數(shù)圖象的探究.

一、基本理論1

根據(jù)對稱性知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c，若對稱軸為x=x0，則f（x0-t）=f（x0+t）（其中t為常數(shù)）.

推論：對于f（x）=ax2+bx+c，若對稱軸為x=x0，則

（1）當a>0時，若|t1-t0|>|t2-x0|，則f（t1）>f（t2）；

（2）當a<0時，若|t1-x0|>|t2-x0|，則f（t1）

【例1】已知f（x）=ax2+bx+c，且f（-3）=f（2），求a與b的關(guān)系.

解：∵f（-3）=f（2），

∴|-3-b12a|=|2-b12a|且-3<-b12a<2.

∴b12a=-3+212.

∴b1a=-1，即b=-a.

【例2】已知函數(shù)f（x）=3x2+2x+b，試比較5+b與b+1的大小關(guān)系.

解：由題意可知5+b=f（1），b+1=f（-1）.

又∵f（x）=3x2+2x+b的對稱軸為x=-213，

顯然有|1-213|<|-1-213|.

故由理論可知f（1）

二、基本理論2

若f（x）為[a，b]上的連續(xù)函數(shù)，且f（a）·f（b）<0，則必存在x0∈（a，b），使得f（x0）=0.

推論：若f（x）=0為一元二次方程，且x=x1根的范圍是a

【例3】若方程ax2-2x+1=0的兩根滿足條件：較小的根小于1，較大的根在1和3之間，求a的取值范圍.

解：設(shè)f（x）=ax2-2x+1，則f（x）在（-∞，+∞）上連續(xù)，當然在（-∞，1），及（1，3）上也連續(xù)，由基本理論2知，必有f（1）·f（3）<0，即（a-1）（9a-5）<0，∴519

評析：本題的解法避免了用判別式的繁雜計算，使解題過程大大簡化.

【例4】若方程x2-mx-m+3=0的兩根滿足條件：一根在0與1之間，另一根在1與2之間，求m的集合.

分析：由上述理論可知，應有f（0）·f（1）<0，

f（1）·f（2）<0，

即（3-m）·（4-2m）<0，

（4-2m）·（7-3m）<0，

解得2

三、利用二次函數(shù)圖象的對稱性特征還可求一些可化為二次函數(shù)型的函數(shù)的值域

【例5】求函數(shù)y=3cos2x-4cosx+1的值域.

分析：若令cosx=t，則y=3t2-4t+1，這是一個關(guān)于t的二次函數(shù)，從而可求值域.

解：令cosx=t，則-1≤x≤1，y=3t2-4t+1，這是一個關(guān)于t的二次函數(shù)，從而可利用圖象求值域.

由前述理論可知，當t=-1時，ymax=3×（-1）2-4×（-1）+1=8；

當t=213時，ymin=-113.

∴函數(shù)y=3cos2x-4cosx+1的值域為[-113，8].

評析：對于定義域不全為全體實數(shù)集的二次函數(shù)，若用配方法求值域，尚需分類討論，顯然不如用圖象來得簡便.

（責任編輯金鈴）

二次函數(shù)是一種重要的函數(shù)，它有很多重要的性質(zhì)，其中對稱性和根的存在性就是其中的兩個重要的性質(zhì).本文基于這兩個重要的性質(zhì)得出兩個推論，旨在拋磚引玉，引起大家對二次函數(shù)圖象的探究.

一、基本理論1

根據(jù)對稱性知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c，若對稱軸為x=x0，則f（x0-t）=f（x0+t）（其中t為常數(shù)）.

推論：對于f（x）=ax2+bx+c，若對稱軸為x=x0，則

（1）當a>0時，若|t1-t0|>|t2-x0|，則f（t1）>f（t2）；

（2）當a<0時，若|t1-x0|>|t2-x0|，則f（t1）

【例1】已知f（x）=ax2+bx+c，且f（-3）=f（2），求a與b的關(guān)系.

解：∵f（-3）=f（2），

∴|-3-b12a|=|2-b12a|且-3<-b12a<2.

∴b12a=-3+212.

∴b1a=-1，即b=-a.

【例2】已知函數(shù)f（x）=3x2+2x+b，試比較5+b與b+1的大小關(guān)系.

解：由題意可知5+b=f（1），b+1=f（-1）.

又∵f（x）=3x2+2x+b的對稱軸為x=-213，

顯然有|1-213|<|-1-213|.

故由理論可知f（1）

二、基本理論2

若f（x）為[a，b]上的連續(xù)函數(shù)，且f（a）·f（b）<0，則必存在x0∈（a，b），使得f（x0）=0.

推論：若f（x）=0為一元二次方程，且x=x1根的范圍是a

【例3】若方程ax2-2x+1=0的兩根滿足條件：較小的根小于1，較大的根在1和3之間，求a的取值范圍.

解：設(shè)f（x）=ax2-2x+1，則f（x）在（-∞，+∞）上連續(xù)，當然在（-∞，1），及（1，3）上也連續(xù)，由基本理論2知，必有f（1）·f（3）<0，即（a-1）（9a-5）<0，∴519

評析：本題的解法避免了用判別式的繁雜計算，使解題過程大大簡化.

【例4】若方程x2-mx-m+3=0的兩根滿足條件：一根在0與1之間，另一根在1與2之間，求m的集合.

分析：由上述理論可知，應有f（0）·f（1）<0，

f（1）·f（2）<0，

即（3-m）·（4-2m）<0，

（4-2m）·（7-3m）<0，

解得2

三、利用二次函數(shù)圖象的對稱性特征還可求一些可化為二次函數(shù)型的函數(shù)的值域

【例5】求函數(shù)y=3cos2x-4cosx+1的值域.

分析：若令cosx=t，則y=3t2-4t+1，這是一個關(guān)于t的二次函數(shù)，從而可求值域.

解：令cosx=t，則-1≤x≤1，y=3t2-4t+1，這是一個關(guān)于t的二次函數(shù)，從而可利用圖象求值域.

由前述理論可知，當t=-1時，ymax=3×（-1）2-4×（-1）+1=8；

當t=213時，ymin=-113.

∴函數(shù)y=3cos2x-4cosx+1的值域為[-113，8].

評析：對于定義域不全為全體實數(shù)集的二次函數(shù)，若用配方法求值域，尚需分類討論，顯然不如用圖象來得簡便.

（責任編輯金鈴）

二次函數(shù)是一種重要的函數(shù)，它有很多重要的性質(zhì)，其中對稱性和根的存在性就是其中的兩個重要的性質(zhì).本文基于這兩個重要的性質(zhì)得出兩個推論，旨在拋磚引玉，引起大家對二次函數(shù)圖象的探究.

一、基本理論1

根據(jù)對稱性知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c，若對稱軸為x=x0，則f（x0-t）=f（x0+t）（其中t為常數(shù)）.

推論：對于f（x）=ax2+bx+c，若對稱軸為x=x0，則

（1）當a>0時，若|t1-t0|>|t2-x0|，則f（t1）>f（t2）；

（2）當a<0時，若|t1-x0|>|t2-x0|，則f（t1）

【例1】已知f（x）=ax2+bx+c，且f（-3）=f（2），求a與b的關(guān)系.

解：∵f（-3）=f（2），

∴|-3-b12a|=|2-b12a|且-3<-b12a<2.

∴b12a=-3+212.

∴b1a=-1，即b=-a.

【例2】已知函數(shù)f（x）=3x2+2x+b，試比較5+b與b+1的大小關(guān)系.

解：由題意可知5+b=f（1），b+1=f（-1）.

又∵f（x）=3x2+2x+b的對稱軸為x=-213，

顯然有|1-213|<|-1-213|.

故由理論可知f（1）

二、基本理論2

若f（x）為[a，b]上的連續(xù)函數(shù)，且f（a）·f（b）<0，則必存在x0∈（a，b），使得f（x0）=0.

推論：若f（x）=0為一元二次方程，且x=x1根的范圍是a

【例3】若方程ax2-2x+1=0的兩根滿足條件：較小的根小于1，較大的根在1和3之間，求a的取值范圍.

解：設(shè)f（x）=ax2-2x+1，則f（x）在（-∞，+∞）上連續(xù)，當然在（-∞，1），及（1，3）上也連續(xù)，由基本理論2知，必有f（1）·f（3）<0，即（a-1）（9a-5）<0，∴519

評析：本題的解法避免了用判別式的繁雜計算，使解題過程大大簡化.

【例4】若方程x2-mx-m+3=0的兩根滿足條件：一根在0與1之間，另一根在1與2之間，求m的集合.

分析：由上述理論可知，應有f（0）·f（1）<0，

f（1）·f（2）<0，

即（3-m）·（4-2m）<0，

（4-2m）·（7-3m）<0，

解得2

三、利用二次函數(shù)圖象的對稱性特征還可求一些可化為二次函數(shù)型的函數(shù)的值域

【例5】求函數(shù)y=3cos2x-4cosx+1的值域.

分析：若令cosx=t，則y=3t2-4t+1，這是一個關(guān)于t的二次函數(shù)，從而可求值域.

解：令cosx=t，則-1≤x≤1，y=3t2-4t+1，這是一個關(guān)于t的二次函數(shù)，從而可利用圖象求值域.

由前述理論可知，當t=-1時，ymax=3×（-1）2-4×（-1）+1=8；

當t=213時，ymin=-113.

∴函數(shù)y=3cos2x-4cosx+1的值域為[-113，8].

評析：對于定義域不全為全體實數(shù)集的二次函數(shù)，若用配方法求值域，尚需分類討論，顯然不如用圖象來得簡便.

（責任編輯金鈴）