運(yùn)用《幾何畫板》演示圓錐曲線的統(tǒng)一定義

徐家銀

圓錐曲線的統(tǒng)一定義：平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)的距離和一條定直線的距離的比是常數(shù)e的點(diǎn)的軌跡，當(dāng)01時(shí)是雙曲線.

從以上定義可知，只要給出一個(gè)定點(diǎn)、一條定直線和離心率e的值，就可以確定相應(yīng)的圓錐曲線.那么，怎么由一個(gè)定點(diǎn)、一條定直線和離心率e的值畫出圓錐曲線并能方便地演示給學(xué)生看呢？利用《幾何畫板》這個(gè)工具就能很好地實(shí)現(xiàn)這個(gè)目的，現(xiàn)介紹如下.

打開幾何畫板5.03迷你增強(qiáng)版，點(diǎn)擊編輯按鈕→點(diǎn)參數(shù)選項(xiàng)→選擇角度為弧度，精確度調(diào)為十萬分之一；畫一直線標(biāo)簽為“定直線（準(zhǔn)線）”，在直線右方取一點(diǎn)F并標(biāo)簽為“定點(diǎn)（焦點(diǎn)）”.

取點(diǎn)A、B，標(biāo)記B為中心，讓點(diǎn)A關(guān)于B旋轉(zhuǎn)180°得A′，構(gòu)造線段AA′，在線段AA′上取點(diǎn)C；度量點(diǎn)C、A間的距離及點(diǎn)C、A′間的距離，計(jì)算|CA|與|CA′|的比值，標(biāo)簽為離心率e，左右滑動點(diǎn)C可以調(diào)節(jié)離心率e的大小，將點(diǎn)C的標(biāo)簽改為“左右滑動此點(diǎn)調(diào)節(jié)離心率”，隱藏點(diǎn)A、B、A′，隱藏距離|CA|與|CA′|的度量值，度量點(diǎn)F到直線l的距離并標(biāo)簽為p（拋物線的焦半徑，對于橢圓和雙曲線，它的值等于|a21c-c|）.

調(diào)節(jié)離心率小于1（將會畫出橢圓），計(jì)算pe1|1-e2|并標(biāo)簽為a（橢圓和雙曲線通用），計(jì)算a與e的積并標(biāo)簽為c（半焦距，橢圓和雙曲線通用），計(jì)算a2-c2標(biāo)簽為b（橢圓專用）.

因?yàn)槎c(diǎn)F在定直線l的右方，所以定點(diǎn)F和定直線l分別為橢圓的左焦點(diǎn)和左準(zhǔn)線.將點(diǎn)F向右平移c個(gè)單位得一點(diǎn)標(biāo)簽為O，并將此點(diǎn)定義為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，以點(diǎn)O為圓心作單位圓，在該圓上取點(diǎn)P，單位圓與x軸的交點(diǎn)標(biāo)簽為Z，度量∠ZOP的值，因?yàn)闄E圓的參數(shù)方程為x=acosα

y=bsinα，所以，計(jì)算acos∠ZOP和bsin∠ZOP的值，分別以這兩個(gè)值為橫、縱坐標(biāo)繪制點(diǎn)M，以點(diǎn)M、P構(gòu)造軌跡便可以得到橢圓；生成點(diǎn)P的動畫并設(shè)置按鈕，標(biāo)簽為“橢圓動畫”.隱藏坐標(biāo)系等.

將離心率調(diào)節(jié)為1，使橢圓的畫面消失.計(jì)算-|1-e|+p12并標(biāo)簽為“拋物線調(diào)節(jié)量”，設(shè)計(jì)這個(gè)調(diào)節(jié)量是本文的獨(dú)到之處，目的是當(dāng)調(diào)節(jié)離心率小于或大于1時(shí)拋物線不會出現(xiàn).在定直線l任取一點(diǎn)G，度量點(diǎn)G的橫坐標(biāo)XG，計(jì)算“拋物線調(diào)節(jié)量”與XG的和，并以這個(gè)值為橫坐標(biāo)、0為縱坐標(biāo)繪制一點(diǎn)H，過H作一直線與過點(diǎn)F且垂直于準(zhǔn)線l的直線垂直，設(shè)垂足為N，將點(diǎn)N定義為原點(diǎn)建立新的坐標(biāo)系.在準(zhǔn)線l上任取一點(diǎn)J，度量點(diǎn)J的縱坐標(biāo)yJ，計(jì)算y2j12p的值，以y2j12p的值為橫坐標(biāo)，yJ為縱坐標(biāo)繪制點(diǎn)M，選擇點(diǎn)M、J構(gòu)造軌跡便可得到拋物線.生成點(diǎn)J的動畫并設(shè)置按鈕，標(biāo)簽該按鈕為“拋物線動畫”.度量點(diǎn)M、F間的距離及點(diǎn)M到準(zhǔn)線l的距離，計(jì)算這兩個(gè)距離的比值，該比值即為拋物線的離心率（值正好為1），按下“拋物線動畫”按鈕時(shí)，盡管點(diǎn)M、F間的距離及點(diǎn)M到準(zhǔn)線l的距離在不斷變化，但是它們始終相等，即離心率的值始終為1.隱藏坐標(biāo)系、點(diǎn)G、J、H等.

調(diào)節(jié)離心率大于1（小于1時(shí)只出現(xiàn)橢圓，等于1時(shí)只出現(xiàn)拋物線）時(shí)拋物線消失，此時(shí)c>a，計(jì)算c2-a2的值記為b雙，計(jì)算a21c的值，過點(diǎn)F作準(zhǔn)線l的垂線，垂足為L，因?yàn)榇藭r(shí)點(diǎn)F為雙曲線的右焦點(diǎn)，所以要將點(diǎn)L向左平移a21c個(gè)單位得到點(diǎn)O，將O標(biāo)記為原點(diǎn)建立新的坐標(biāo)系，以O(shè)和K構(gòu)造圓，在該圓上取一點(diǎn)P，度量∠KOP的值.因?yàn)殡p曲線的參數(shù)方程為x=asecα

y=btanα，所以，計(jì)算a1cos∠KOP、b雙·tan∠KOP的值，分別以這兩個(gè)值作為橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)繪制點(diǎn)M，以點(diǎn)M、P構(gòu)造軌跡便可得到雙曲線.生成點(diǎn)P的動畫，并設(shè)置按鈕，標(biāo)簽為“雙曲線動畫”，度量MF及M到準(zhǔn)線l的距離，計(jì)算它們的比值（等于離心率的值），隱藏以上過程中的坐標(biāo)系和輔助點(diǎn)等.

至此，整個(gè)課件制作完成.演示時(shí)，拖動調(diào)節(jié)點(diǎn)調(diào)節(jié)離心率小于1時(shí)得到橢圓，按下動畫按鈕，讓學(xué)生觀察動點(diǎn)到定點(diǎn)和定直線的距離的比有何變化.調(diào)節(jié)離心率等于1時(shí)得到拋物線，調(diào)節(jié)離心率大于1時(shí)得到雙曲線.通過以上的演示，加深學(xué)生對圓錐曲線統(tǒng)一定義的理解.

（責(zé)任編輯黃桂堅(jiān)）