基于Hopf分岔理論的電力系統(tǒng)電壓穩(wěn)定研究綜述

謝金良，劉澤宇

(東北電力大學(xué)電氣工程學(xué)院，吉林吉林132012)

近半個(gè)世紀(jì)以來，世界各地已發(fā)生多起電壓失穩(wěn)事故，其所造成的損失也在不斷加深。如今隨著電網(wǎng)規(guī)模的不斷擴(kuò)大，電壓穩(wěn)定問題變得尤為重要，并已成為國(guó)內(nèi)外專家學(xué)者們關(guān)注的焦點(diǎn)［1］。在眾多研究電壓穩(wěn)定性的方法中，分岔理論由于能夠揭示電壓失穩(wěn)的本質(zhì)因而得到了迅速的發(fā)展。靜態(tài)分岔是指系統(tǒng)的平衡點(diǎn)的數(shù)目及穩(wěn)定性隨著參數(shù)變化而發(fā)生的突然的變化。典型的靜態(tài)分岔有鞍結(jié)點(diǎn)分岔和極限誘導(dǎo)分岔。文獻(xiàn)［2-4］對(duì)鞍結(jié)點(diǎn)分岔進(jìn)行了詳盡的闡述，文獻(xiàn)［5］對(duì)二者進(jìn)行了比較，并從數(shù)學(xué)和物理學(xué)兩個(gè)方面揭示了二者的區(qū)別。

電力系統(tǒng)本質(zhì)上是一個(gè)非線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，但目前動(dòng)態(tài)分岔理論在該領(lǐng)域的應(yīng)用尚不成熟。所以針對(duì)Hopf分岔進(jìn)行研究具有重要的意義。

1 Hopf分岔理論

Hopf分岔是當(dāng)參數(shù)變化時(shí)從奇點(diǎn)產(chǎn)生極限環(huán)的分岔，是指方程x=f(x，μ)的系統(tǒng)狀態(tài)矩陣 J(x，μ)特征值中存在共軛復(fù)特征值，隨著分岔參數(shù)的變化，它們的實(shí)部由負(fù)變正時(shí)，在非雙曲平衡點(diǎn)附近發(fā)生的分岔。此時(shí)系統(tǒng)在(x0，μ0)處從平衡點(diǎn)分岔出一個(gè)非常量的周期解，即對(duì)應(yīng)系統(tǒng)的極限環(huán)，系統(tǒng)發(fā)生振蕩失穩(wěn)，這種情況在超負(fù)荷運(yùn)行時(shí)更加明顯［6、7］。

Hopf分岔主要分為超臨界Hopf分岔和亞臨界Hopf分岔，相較而言后者的危害更大。對(duì)于這兩種分岔類型的判定，文獻(xiàn)［8］指出，可以通過求解分岔點(diǎn)附近的曲率系數(shù)正負(fù)判斷發(fā)生分岔的類型。文獻(xiàn)［9］指出，在分岔點(diǎn)處，若第一李雅譜諾夫系數(shù)為負(fù)，則分岔出穩(wěn)定極限環(huán)，稱為超臨界Hopf分岔。如果該系數(shù)為正，則分岔出不穩(wěn)定極限環(huán)，稱為亞臨界Hopf分岔。

2 電壓穩(wěn)定領(lǐng)域的Hopf分岔應(yīng)用

2.1 Hopf分岔邊界計(jì)算方法

首先，Hopf分岔應(yīng)用的關(guān)鍵環(huán)節(jié)是分岔邊界的求取，其計(jì)算方法主要有3種，即直接法、連續(xù)法(延拓法)、非線性規(guī)劃法。

直接法即以系統(tǒng)當(dāng)前運(yùn)行狀態(tài)為起點(diǎn)直接搜尋分岔點(diǎn)的方法［10］，其優(yōu)點(diǎn)是思路簡(jiǎn)便易懂，計(jì)算速度快，可直接求得目標(biāo)，在線應(yīng)用較廣。缺點(diǎn)是維數(shù)高，收斂性差，易于陷入維數(shù)災(zāi)難，魯棒性不強(qiáng)，對(duì)初值要求高，難以計(jì)及不等式約束從而不能得到平衡解流型的全部信息。

文獻(xiàn)［11］針對(duì)原有直接法維度高和計(jì)算量大的特點(diǎn)，通過引入輔助變量簡(jiǎn)化了原方程組，使得計(jì)算更加簡(jiǎn)便快捷。文獻(xiàn)［12］通過增加標(biāo)量方程構(gòu)造擴(kuò)展系統(tǒng)使原來的2n+1維非線性方程組變?yōu)槎鄠€(gè)n+1維線性方程組，從而降低了系統(tǒng)方程的維數(shù)。然而文獻(xiàn)［12］中仍然存在一定的缺陷，如滿秩陣A的形成需要適當(dāng)?shù)倪x取矩陣B和C，標(biāo)量方程本身的計(jì)算又過于繁瑣，不宜編程實(shí)現(xiàn)等。基于此，文獻(xiàn)［13］應(yīng)用數(shù)值求解擴(kuò)充系統(tǒng)的分解迭代技巧對(duì)Hopf分岔點(diǎn)進(jìn)行降階求解，克服了由于需要適當(dāng)進(jìn)行矩陣選取所帶來的不確定因素，并使方程組的維數(shù)降低了近三分之二。

另一種常用的計(jì)算方法是連續(xù)法(延拓法)［14-15］，在電力系統(tǒng)中它是指首先追蹤給出的系統(tǒng)模型在參數(shù)變化時(shí)的平衡解曲線(流形)。延拓法的優(yōu)點(diǎn)在于能夠計(jì)及多種不等式約束，計(jì)算結(jié)果較精確，魯棒性強(qiáng)，收斂性好。同時(shí)其缺點(diǎn)也很明顯，如需逐點(diǎn)計(jì)算雅可比矩陣的所有特征值導(dǎo)致計(jì)算步驟繁瑣且計(jì)算量過大。根據(jù)Hurwitz判據(jù)，通過特征多項(xiàng)式系數(shù)構(gòu)成的一系列Hurwitz行列式符號(hào)的變化來搜尋Hopf分岔點(diǎn)，該系數(shù)構(gòu)造困難且不易編程實(shí)現(xiàn)，這些不足都限制了連續(xù)法的在線應(yīng)用［16］。

文獻(xiàn)［17］將中心流形理論分別與直接求周期解法和后繼函數(shù)法相結(jié)合，搜索到系統(tǒng)的不穩(wěn)定點(diǎn)并判別其Hopf分岔類型。同倫連續(xù)法理論上對(duì)迭代初值的選取無任何限制，可利用其全局搜索能力提高解的收斂性。文獻(xiàn)［18］針對(duì)直接法對(duì)初值要求高的缺點(diǎn)，將同倫法與連續(xù)法結(jié)合求解文獻(xiàn)［12］構(gòu)造的拓展系統(tǒng)，利用該方法對(duì)初值要求不高的特點(diǎn)，提高了計(jì)算效率。文獻(xiàn)［19］在文獻(xiàn)［18］的基礎(chǔ)上采用割線法代替切線法，由于未涉及矩陣求逆運(yùn)算，從而使得計(jì)算量進(jìn)一步減小。同時(shí)運(yùn)用自動(dòng)步長(zhǎng)控制策略，防止追蹤路線偏離解流形，保證了計(jì)算精度和速度并確保校正步有效執(zhí)行。第三種計(jì)算方法是非線性規(guī)劃法［20］，它是一種優(yōu)化算法。該算法的目標(biāo)是在滿足系統(tǒng)各種約束的情況下如何確定電力系統(tǒng)負(fù)荷增量的最大值。其優(yōu)勢(shì)在于計(jì)及各種約束條件，考慮全面且符合實(shí)際，從而使結(jié)論更具說服力，缺點(diǎn)是計(jì)算量過大［21］。

文獻(xiàn)［22］在傳統(tǒng)遺傳算法的基礎(chǔ)上提出了一種基于2階段家族保護(hù)的遺傳算法。該算法考慮了諸如系統(tǒng)阻尼、PV節(jié)點(diǎn)無功出力、勵(lì)磁電壓、節(jié)點(diǎn)電壓等更為切合實(shí)際的不等式約束，以最小奇異值H為監(jiān)測(cè)指標(biāo)，同樣克服了直接法對(duì)初值選取要求高的缺點(diǎn)。另一方面通過兩個(gè)階段即第一階段的家族內(nèi)部選擇和第二階段的家族間選擇進(jìn)行逐層淘汰，選出家族內(nèi)部?jī)?yōu)秀的個(gè)體，進(jìn)而得到種群里最優(yōu)秀的家族。該優(yōu)化算法克服了傳統(tǒng)遺傳算法收斂速度慢和易早熟的缺點(diǎn)，使得其收斂速度和計(jì)算精度都得到了極大的提高。

對(duì)于三者的關(guān)系，文獻(xiàn)［23］指出，直接法中也用到了連續(xù)潮流，而直接法從本質(zhì)上講是非線性規(guī)劃法在不考慮各種約束條件下的一種特例。連續(xù)法與非線性規(guī)劃法相結(jié)合，既避免了常規(guī)非線性優(yōu)化算法無法說明如何由現(xiàn)狀運(yùn)行點(diǎn)向最優(yōu)運(yùn)行點(diǎn)過渡的缺陷，又克服了連續(xù)法固定發(fā)電機(jī)調(diào)度模式使計(jì)算結(jié)果偏于保守的不足。

3.2 Hopf分岔邊界參數(shù)分析

參數(shù)分析法的要點(diǎn)在于通過選取不同的參數(shù)從而得到不同情況下的平衡解曲線以及分岔邊界，分析不同參數(shù)對(duì)于系統(tǒng)電壓穩(wěn)定裕度的影響，進(jìn)而為提高系統(tǒng)的電壓穩(wěn)定裕度提供較為全面而合理的參考。參數(shù)分析法可分為單參數(shù)分析法和多參數(shù)分析法，其中前者最為常用。

文獻(xiàn)［24］以風(fēng)電廠無功功率為參數(shù)，指出吸收過多的無功會(huì)使系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)電壓穩(wěn)定域大大降低。繼而又以風(fēng)電廠的有功和無功為參數(shù)，在兩參數(shù)下得出結(jié)論:電廠吸收的無功增加，導(dǎo)致在發(fā)出較少的有功時(shí)就可能引發(fā)Hopf分岔。為避免該分岔的發(fā)生，應(yīng)在無功消耗較大時(shí)限制有功輸出，即Hopf分岔的消失是以犧牲電廠有功出力為代價(jià)的。

文獻(xiàn)［25］研究了傳輸線路導(dǎo)納參數(shù)對(duì)系統(tǒng)電壓穩(wěn)定的影響，指出該參數(shù)對(duì)系統(tǒng)電壓水平影響較小，系統(tǒng)分岔邊界電壓水平隨該參數(shù)的變化不大。傳輸線路導(dǎo)納的增加使得Hopf分岔延后，增加了系統(tǒng)的電壓穩(wěn)定裕度。

靜止無功補(bǔ)償器(SVC)作為靈活的動(dòng)態(tài)無功補(bǔ)償裝置，在實(shí)際應(yīng)用中可有效控制分岔。文獻(xiàn)［26］運(yùn)用了含SVC的兩參數(shù)分析法，并分別以SVC的放大倍數(shù)Kr和電廠有功功率P、SVC參考電壓Uref和電廠有功功率P為參數(shù)，研究它們對(duì)系統(tǒng)電壓穩(wěn)定性的影響并指出:隨著Kr和P以及Uref和P的同時(shí)增加，系統(tǒng)電壓U得到提高，Hopf分岔被延遲，SVC的補(bǔ)償能力提高，進(jìn)而電廠有功輸出能力得到提高。同時(shí)又對(duì)二者做了比較:當(dāng)Kr增加到一定程度時(shí)，P近似不變，說明通過放大倍數(shù)提高有功輸出的能力有限;而Uref和P近似成線性增長(zhǎng)關(guān)系，說明增大參考電壓可大幅度提高有功輸出能力，從而指出參考電壓在提高電壓穩(wěn)定性方面的能力要優(yōu)于放大倍數(shù)。最后，將Uref、P和Kr三者共同作為分岔參數(shù)，進(jìn)行了三參數(shù)分析，仿真表明三參數(shù)分析對(duì)于系統(tǒng)電壓穩(wěn)定性的提升效果更加明顯，有功功率的輸出能力較兩參數(shù)法有了顯著的提高，為今后開展2個(gè)以上更多參數(shù)分析方法的研究提供了參考和借鑒。

以上方法由于沒有充分考慮到負(fù)荷的多樣性所以存在一定的局限性［27］。文獻(xiàn)［28］和［29］則以負(fù)荷參數(shù)為分岔參數(shù)進(jìn)行分析，計(jì)算平衡點(diǎn)對(duì)應(yīng)的Hopf分岔面的近似法向量，作為負(fù)荷參數(shù)的調(diào)節(jié)方向?qū)ω?fù)荷進(jìn)行調(diào)節(jié)，用于修正負(fù)荷增長(zhǎng)模式。該方法能夠有效調(diào)節(jié)負(fù)荷參數(shù)并檢查負(fù)荷穩(wěn)定邊界指標(biāo)，對(duì)于前述方法而言是一個(gè)有效的補(bǔ)充。

3.3 Hopf分岔邊界控制實(shí)施

Hopf分岔先于鞍結(jié)點(diǎn)分岔發(fā)生［30］，所以通過對(duì)其實(shí)施有效的控制從而提升系統(tǒng)的電壓穩(wěn)定性就顯得尤為重要。實(shí)施控制的目的主要有以下3點(diǎn):改變分岔類型、延遲分岔的發(fā)生以及對(duì)分岔進(jìn)行消除。其主要方法有線性和非線性狀態(tài)反饋法［31］、高通濾波器法［32］、諧波平衡法、規(guī)范形法等。

由于亞臨界 Hopf分岔的危害更大，所以文獻(xiàn)［33］設(shè)計(jì)了二次非線性控制器，改變了非線性系統(tǒng)的分岔特性，從而改變了分岔類型，將亞臨界Hopf分岔控制為危害相對(duì)較小的超臨界Hopf分岔。

在眾多的分岔控制方法中，最為常用的是狀態(tài)反饋控制。該方法針對(duì)少數(shù)變量甚至單個(gè)變量，通過對(duì)參數(shù)的合理選擇，即可達(dá)到通過單一變量穩(wěn)定目標(biāo)態(tài)，甚至控制分岔的目的。

文獻(xiàn)［9］采用線性狀態(tài)反饋控制，選取發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子角速度為反饋?zhàn)兞浚m當(dāng)調(diào)節(jié)控制器的增益Ks能夠有效延遲或消除Q-V曲線上半支的亞臨界Hopf分岔現(xiàn)象。通過仿真得知，亞臨界Hopf分岔點(diǎn)的消除比其延遲需要消耗更多的能量，控制器的增益Ks繼續(xù)增大則可以徹底消除曲線上半支的Hopf分岔，從而使系統(tǒng)能夠運(yùn)行至鞍結(jié)分岔點(diǎn)。文獻(xiàn)［8］在此基礎(chǔ)上對(duì)線性狀態(tài)反饋控制和靜止無功補(bǔ)償器(SVC)的作用進(jìn)行了比較，指出SVC提高了電壓水平，延遲了Hopf分岔的發(fā)生，但不能消除該分岔;線性狀態(tài)反饋控制消除了Hopf分岔，但不能提高電壓水平。最后該文將二者結(jié)合，在消除Hopf分岔的同時(shí)，使系統(tǒng)的電壓水平得到提高。

文獻(xiàn)［34］和采用高通濾波器法對(duì)Hopf分岔進(jìn)行控制，該方法是一種擴(kuò)充的狀態(tài)反饋法，利用分岔反控制原理，引入新分岔，可應(yīng)用于高維系統(tǒng)并具有一定的魯棒性。其優(yōu)勢(shì)在于能夠?qū)Σ粍?dòng)點(diǎn)進(jìn)行保持和自動(dòng)跟隨，且易于設(shè)計(jì)控制器。該方法能有效消除Hopf分岔，使系統(tǒng)穩(wěn)定域有所增加，但負(fù)荷裕度卻減小了，即系統(tǒng)的載荷能力在一定程度上受到了影響。因此，如何在消除Hopf分岔的同時(shí)兼顧系統(tǒng)的負(fù)荷裕度還有待深入研究。

3.4 Hopf分岔理論實(shí)際應(yīng)用

文獻(xiàn)［35］將Hopf分岔理論應(yīng)用于小水電并網(wǎng)的電壓穩(wěn)定研究并指出:增大水輪機(jī)輸入機(jī)械轉(zhuǎn)矩可有效延遲鞍結(jié)點(diǎn)分岔，也可在一定程度上延遲Hopf分岔;增大勵(lì)磁系統(tǒng)增益對(duì)延遲鞍結(jié)點(diǎn)分岔效果甚微，對(duì)Hopf分岔基本上無影響。繼而指出，在豐水期使機(jī)組處于滿發(fā)狀態(tài)，有利于提高系統(tǒng)電壓穩(wěn)定性。

文獻(xiàn)［36］將Hopf分岔理論應(yīng)用于風(fēng)電場(chǎng)電壓穩(wěn)定的評(píng)估并指出，因風(fēng)速變化引起的風(fēng)電輸送功率變化對(duì)系統(tǒng)電壓穩(wěn)定的影響明顯，其主要影響因素是風(fēng)電的波動(dòng)隨機(jī)性和風(fēng)電穿透功率極限(即電網(wǎng)接納風(fēng)電輸送功率的極值)。風(fēng)電穿透功率極限點(diǎn)又是分岔點(diǎn)，當(dāng)輸出功率進(jìn)一步增大穿越該點(diǎn)時(shí)，將導(dǎo)致系統(tǒng)電壓崩潰。

文獻(xiàn)［37］將Hopf分岔理論應(yīng)用于HVDC的交直流系統(tǒng)電壓穩(wěn)定性的分析中，指出直流系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性和動(dòng)態(tài)負(fù)荷的動(dòng)態(tài)特性相互作用可能引起交直流系統(tǒng)因發(fā)生Hopf分岔而失去電壓穩(wěn)定。該文還研究了直流控制系統(tǒng)的各環(huán)節(jié)對(duì)系統(tǒng)發(fā)生Hopf分岔的影響，進(jìn)而指出比例環(huán)節(jié)的增益影響較大，而積分環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)影響較小。

文獻(xiàn)［38］研究不同的開關(guān)頻率對(duì)PWM控制升壓變換器中的Hopf分岔的影響并指出:隨著開關(guān)頻率的減小，PWM控制升壓變換器更易于發(fā)生Hopf分岔，并以低頻振蕩的形式表現(xiàn)出來。

4 結(jié)語

對(duì)Hopf分岔的定義、類型及判別方法進(jìn)行了簡(jiǎn)要介紹，并結(jié)合其在電壓穩(wěn)定領(lǐng)域的階段性研究成果，分別從計(jì)算方法、參數(shù)分析、控制實(shí)施和實(shí)際應(yīng)用四個(gè)方面對(duì)其在該領(lǐng)域中的應(yīng)用進(jìn)行了詳盡的闡述和分析，展現(xiàn)出當(dāng)今在這一領(lǐng)域所進(jìn)行的研究的整體脈絡(luò)、最新動(dòng)態(tài)及發(fā)展方向。

然而，在搜集資料的過程中發(fā)現(xiàn)目前對(duì)于該領(lǐng)域的研究尚且存在諸多問題，具體表現(xiàn)如下:

1)研究大多將靜態(tài)分岔和動(dòng)態(tài)分岔割裂開來，而電力系統(tǒng)是一個(gè)非線性動(dòng)力系統(tǒng)，因而有必要把二者結(jié)合起來，以便更加深入的解釋電壓失穩(wěn)的本質(zhì)。

2)能夠兼顧在線實(shí)際應(yīng)用并全面考慮各種條件約束的算法并不多見，今后應(yīng)致力于對(duì)能夠兼顧這兩者的算法進(jìn)行開發(fā)。

3)研究多集中于單參數(shù)分析法，所以多參數(shù)分析法是今后的一個(gè)重要發(fā)展方向。

4)研究多集中于線性/非線性反饋控制，且相應(yīng)控制器的設(shè)計(jì)及其應(yīng)用不夠廣泛，這也是值得改進(jìn)之處。

5)動(dòng)態(tài)分岔理論在電力系統(tǒng)電壓穩(wěn)定領(lǐng)域中的實(shí)際應(yīng)用尚有諸多不足之處。今后應(yīng)拓寬理論的應(yīng)用范圍，并注重運(yùn)用理論解決具體實(shí)際問題的能力。

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