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    數(shù)學悖論發(fā)展概述

    2019-01-31 03:34:35
    中國校外教育 2019年5期
    關鍵詞:集合論說謊者羅素

    (北京市第八中學)

    一、引言

    悖論也叫逆論和反論,指自相矛盾的荒謬結論。悖論是一個與數(shù)學物理等自然科學以及哲學、語言學息息相關的論題,對數(shù)學史的推進和發(fā)展起到了重要的作用。悖論主要有三種形式:第一種叫做佯謬,指的是某論斷貌似一定是錯誤的,其實是正確的;第二種叫似是而非的悖論,指的是某種論斷貌似一定是正確的,實際上是錯誤的;第三種叫做邏輯悖論,是指前提沒有明顯錯誤的情況下,經(jīng)過一系列看似正確的推理,得出了兩個完全相反的結論。本文將對數(shù)學悖論的歷史、經(jīng)典的數(shù)學悖論及數(shù)學悖論的影響進行簡要介紹。

    二、數(shù)學悖論的歷史

    第一次數(shù)學危機與畢達哥拉斯悖論有著密不可分的聯(lián)系。畢達哥拉斯悖論產(chǎn)生的時代,數(shù)系正在從自然數(shù)向有理數(shù)進行擴充。當時的人們認為,所有數(shù)都可以由有理數(shù)來表示,即表示為兩個整數(shù)的比值,但希帕索斯卻發(fā)現(xiàn)了“等腰直角三角形的直角邊和斜邊不可公度”的悖論。相傳希帕索斯在船上劃出了一個邊長為1的等腰直角三角形,而被畢達哥拉斯派的人扔進海里。正是這個發(fā)現(xiàn)引起了數(shù)學思想的巨大變革,數(shù)學史上將其稱為“第一次數(shù)學危機”。此后,越來越多的悖論相繼被提出,人類的數(shù)學思想因此也更進一步。

    三、經(jīng)典的數(shù)學悖論

    1.說謊者悖論

    說謊者悖論最早被提出是在公元前六世紀。在一個叫做克里特島的地方,有一面墻上寫著一句話“寫在這面墻上的話是假的”,這是這面墻上的唯一一句話。我們不妨設這句話所敘述的命題為Q,當人們對這句話的真假進行判斷時就會陷入矛盾:如果Q為真,則墻上的這句話是真話,與話中“墻上的話是假的”矛盾;如果Q為假,則墻上的是假話,話中“墻上的話是假話”則是真話,也同樣存在矛盾。以上便是說謊者悖論的完整內容。說謊者悖論中,“在這面墻上的話”來指代“這面墻上寫的話是假的”是“以部分指代整體”,所以這種因部分的真實存在而違背了整體存在的辯證規(guī)律是由于主觀虛構與思維混亂造成的,因為上述的辯證規(guī)律必須以客觀存在為根據(jù)。說謊者悖論事實上是人類的認識發(fā)展到某一個層次后,對自己的語言進行的一種檢討思索,在世界各地古代的各種不同的書籍中也都有關于說謊者悖論的記載。中國的墨子曾說過一句話,大意是:若一句話為真話是成立的,那么這句話為真話也是假的。由此可見,說謊者悖論所涉及的語言問題是每一個民族在發(fā)展過程中都要經(jīng)歷的一個反思過程。

    2.羅素悖論

    在20世紀初,科學界都沉浸在一片寧靜祥和中,當時的數(shù)學家普遍認為科學大廈已經(jīng)基本建成,剩下的科學家只能對大廈進行一些點綴和修補。法國大數(shù)學家彭加萊更是曾公開宣稱:數(shù)學的嚴格性已經(jīng)實現(xiàn)了,然而時隔不到兩年,羅素悖論的發(fā)現(xiàn)就結束了大家的美夢。羅素悖論是世界上最著名的悖論之一,它是由羅素在1902年提出的,是由羅素發(fā)現(xiàn)的一個集合論悖論。

    羅素在解決集合論問題時將集合分為兩種:第一種是自身元素的集合,第二種集合為不是自身元素的集合。接下來,假設S是由一切不屬于自身的集合所組成,即“S={x∣x ∈S}”。則S是否包含于S?如果假設S包含于S,則不符合題中x ∈S,所以S包含于S不成立;假設S不包含于S,于是就符合x ∈S,可推出S包含于S,但因為假設中S不包含于S,與S包含于S矛盾,所以假設也不成立。在悖論提出后,人們紛紛尋找著解決的辦法,有些人希望對康托爾的集合論進行改造,通過對集合添加限制而排除悖論,但這需要建立新的規(guī)則,并且規(guī)則必須足夠嚴格才能保證排除所有矛盾,但同時規(guī)則又必須盡可能廣闊,才能令康托爾集合論原來的內容盡可能的留下來。1908年,策梅洛提出了第一個公理化集合論體系,在很大程度上彌補了集合論所體現(xiàn)出的漏洞,從而較為成功的解決了人類數(shù)學史的第三次危機。同時,羅素悖論的提出也促使人們開始再次研究基礎數(shù)學。

    羅素悖論是如何被解決的呢?在研究的初級階段,人們將羅素悖論認為是整體與部分的關系,部分學者認為羅素悖論混淆了整體與部分之間的關系,但在不斷的研究中發(fā)現(xiàn)這種解釋無法接近羅素悖論的實質,原因有以下幾點:其一,如果羅素悖論可以認為是整體和部分之間關系的混淆,則可以用不矛盾律來進行排除,但事實上人們無法用不矛盾律排除這種可能性;其二,如果在康托爾集合論中出現(xiàn)邏輯矛盾,康托爾集合論體系應該可以自己解決,這種現(xiàn)象也同樣適用于各種體系,但悖論卻有不同,在集合論體系內出現(xiàn)的悖論在該集合論體系中是無法理解的,體系本身更無法合理的進行解釋;其三,悖論在形式上與邏輯矛盾也有不同。悖論的含義是在某個知識體系出現(xiàn)一個命題Q時,由Q可以推導出非實際情況,而出現(xiàn)非Q命題時,Q可以由非Q推導出。而邏輯矛盾的形式意義是某一個知識系統(tǒng)里獨立的出現(xiàn)Q和非Q兩個命題,所謂獨立是指Q和非Q兩個命題是根據(jù)這個知識系統(tǒng)的不同的部分推出的互斥命題,Q不是從非Q推出的,非Q也不是從Q推出的。因此從形式上來看,悖論與邏輯矛盾也不能畫上等號。

    羅素悖論的實質在于,它把康托爾集合論的知識發(fā)展到了集合論的有效領域外,在有效領域外羅素提出了他的悖論??低袪柤险摰闹饕碚摶A是概括公理與外延公理。因此,康托爾公理具有了以下基本特征:其一是選集的任意性,即在一定的條件下一定會存在一個集合;其二是對于任意的條件,集合都是相互不同的,這說明集合論只對世界上界限分明的物體有效,而對那些似是非是的物體無效。羅素悖論的提出,促使人們對集合論進行了進一步的研究,引起了人們對數(shù)學基礎理論的重視,所以被人們傳頌,成為了世界上最有名的悖論之一。

    四、悖論的影響

    每一個悖論的提出都會引起人們對于已有觀念的反思甚至重建,使人們重視起原來被忽視的一些問題,這就是悖論的意義。例如,畢達哥拉斯悖論的出現(xiàn)使人們意識到:當時的數(shù)系并不足以表示他們所能接觸到的所有數(shù)字,所以出現(xiàn)了第一次數(shù)學危機,也借此對已有數(shù)系進行了擴充;說謊者悖論的提出,讓人們意識到了語言系統(tǒng)還存在一些小的瑕疵,產(chǎn)生了邏輯矛盾的情況,促進了人們對于語言的完善豐富;羅素悖論的提出則使人發(fā)現(xiàn)集合論的有效范圍是有限的,才讓后人改進形成了可拓集合論,而其他諸如量子悖論等著名的悖論也都在不同的領域發(fā)揮了作用。人們在發(fā)現(xiàn)矛盾之后,從問題的本質出發(fā),思考悖論在邏輯的本質上存在的矛盾,建立新的體系或者是在原有的體系上進行完善來避免這些矛盾的產(chǎn)生,從而使得體系變得更加完善,這就是悖論對于自然科學和哲學的影響。

    五、總結

    任何一個學科的發(fā)展歷程都不是一帆風順的,悖論就是一種促進學科發(fā)展的方式,雖然這種發(fā)展方式不太平穩(wěn),但是總能引起人們對于當時一些根深蒂固思想的革新。由于悖論可能導致人們對一些重要或是十分基礎的理論做出懷疑,所以可能會引發(fā)人們的慌亂,但是在解決悖論的過程中,知識體系的擴充會給學術界帶來新的知識與新的力量,在給人們帶來慌亂之后,也給人們帶來新的曙光。

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