淺談一元線性函數(shù)在大壩分析監(jiān)測資料中的應(yīng)用

，

(四川省長葫灌區(qū)管理局，四川 威遠(yuǎn)，642450)

大壩的觀測設(shè)備安裝埋設(shè)投入工作以后，原型觀測包括現(xiàn)志、成果整理、資料分析三個(gè)環(huán)節(jié)。能真實(shí)反映實(shí)際情況并具有一定精度的現(xiàn)場觀測，是整理分析工作的基礎(chǔ)和前提，而將觀測資料加工成理性認(rèn)識(shí)的分析成果，則是觀測目的的體現(xiàn)。

水工建筑物原型觀測中所觀測的變量，影響因素一般都比較復(fù)雜，且觀測誤差在所難免。因此，在觀測資料分析中變量之間的關(guān)系，大多是統(tǒng)計(jì)相關(guān)關(guān)系，變量之間的統(tǒng)計(jì)規(guī)律稱為回歸關(guān)系。

一元線性回歸是分析中最簡單的情況，它處理兩個(gè)變量之間的統(tǒng)計(jì)關(guān)系，即因變量和一個(gè)自變量之間的統(tǒng)計(jì)關(guān)系，如果兩個(gè)變量之間的統(tǒng)計(jì)關(guān)系基本上是線性的，就可以用一元線性關(guān)系來分析。但在實(shí)際中相關(guān)關(guān)系往往不是直線相關(guān)，而是曲線相關(guān)，這就要作簡化處理。

舉一個(gè)葫蘆口大壩觀測中的實(shí)例。

在葫蘆口大壩壩頂橫縫上安裝有三向測縫計(jì)，測得橫縫沿壩軸線方向的開合度與壩體外界氣溫狀況有關(guān)，以月平均氣溫x為橫座標(biāo)，橫縫開度y為縱座標(biāo)，繪出各散點(diǎn)，可以看出y與x呈曲線關(guān)系，而非直線關(guān)系，通過連線以后，各點(diǎn)與曲線仍有偏離，可以認(rèn)為是隨機(jī)因素影響所引起。而該曲線是一條光滑的對(duì)數(shù)函數(shù)曲線，其函數(shù)方程應(yīng)為：y=b0+blnx，而標(biāo)準(zhǔn)的一元線性回歸方程應(yīng)為：y=bo+bx，這時(shí)可以將對(duì)數(shù)函數(shù)變?yōu)橐辉€性方程關(guān)系，化曲線方程為直線方程。

令c=lnx，則有：y=bo+bc，通過回歸計(jì)算，葫蘆口水庫1#縫在氣溫上升時(shí)的歸方程為：

Y=9.9429-3.4062lnx，復(fù)相關(guān)系數(shù)R=0.9946

1#縫在氣溫下降時(shí)回歸方程為：

Y=9.1553-3.1924lnx，復(fù)相關(guān)系數(shù)R=0.9994

通過求出縫開合度與氣溫之間的關(guān)系方程式，找出它們之間的定量關(guān)系。

再舉一例，在分析葫蘆口水庫壩基揚(yáng)壓力與庫水位的關(guān)系時(shí)，取1m壩段，以庫水位為橫座標(biāo)，以揚(yáng)壓力占?jí)误w重的百分比為縱座標(biāo)，繪制其實(shí)測散點(diǎn)趨勢圖，發(fā)現(xiàn)其相關(guān)性很好，經(jīng)光滑連線后，發(fā)現(xiàn)它是一典型的冪函數(shù)曲線圖，冪函數(shù)方程為：

Y=cxb

式中，x為水位；y為揚(yáng)壓力。

這又是一元非限性回歸方程，也需化為標(biāo)準(zhǔn)的一元線性回歸方程。將上方程兩邊取對(duì)數(shù)得：

lny=lnc+blnx

令：H=lny，A=lnc，X=lnx

則有：H=A+Bx

該式就變成了直線回歸方程。

通過回歸計(jì)算，求得A=-10.4714，b=3.1925，復(fù)相關(guān)系數(shù)R=0.99246。因?yàn)锳=lnc，A是c以e為底的對(duì)數(shù)，因此：c=eA=e-10.4714=2.8834×10-5

將c和b代入原方程y=cxb，即有：

Y=2.8834×10-5x3.1925

這就是葫蘆口水庫庫水位與壩基揚(yáng)壓力之間的回歸方程。

通過上兩例，可歸納線性變化變換步驟如下：

(1)繪制測值y與自變量x的散點(diǎn)圖，選定y與x間的曲線關(guān)系式；

(2)找出適當(dāng)變換式，令y′=f(y)，x′=ψ(x)，使y′=bo+bx′；

(3)根據(jù)變換式，由yi及xi算出各y′i及x′i，繪出y′～x′散點(diǎn)圖，如趨勢為線性，則可用一元線性回歸方法，求出y′=bo+bx′。如散點(diǎn)圖趨勢不為直線，則改變曲線式重作變換，直到符合線性趨勢為止；

(4)由y′與x′的線性回歸方程，推出y與x的曲線方程，并求出相應(yīng)于各xi的yi值，點(diǎn)繪到散點(diǎn)圖上，連成一元回歸曲線。

我們在整理觀測資料時(shí)，如何確定變量間關(guān)系曲線類型呢？解決這個(gè)問題通常采用以下三種途徑：

(1)根據(jù)壩工專業(yè)知識(shí)，從理論上推導(dǎo)其物理關(guān)系，從而確定兩個(gè)變量之間的曲線類型。例如，壩的位移和時(shí)間的關(guān)系，當(dāng)水位和溫度的影響一定時(shí)，可以認(rèn)為是指數(shù)或?qū)?shù)型函數(shù)關(guān)系的位移和水位關(guān)系；當(dāng)溫度影響一定，時(shí)效變形可忽略，可認(rèn)為是高次拋物線關(guān)系；

(2)參與已有實(shí)際經(jīng)驗(yàn)，如對(duì)土壩沉陷與時(shí)間的關(guān)系，有人用雙曲線來擬合，有人用拋物線來擬合，均取得一定效果。那么，解決此類問題時(shí)，就可采用雙曲線或拋物線的曲線關(guān)式來試做；

(3)從觀測數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖的分布形狀和特點(diǎn)，對(duì)一些曲線來選擇恰當(dāng)?shù)那€試做擬合。我們通過觀測資料分析，經(jīng)常有以下幾種曲線方程通過變量變換成回歸直線方程：

①雙曲線1/y=bo+b/x，可令y′=l/y，x′=1/x，則有y′=bo+bx；②冪函數(shù)y=cxb，取對(duì)數(shù)lny=lnc+blnx，可以令y′=lny，x′=lnx，bo=lnc，則有y′=bo+bx′；③指數(shù)函數(shù)y=cebx，取對(duì)數(shù)lny=lnc+bx，可以令y′=lny，bo=lnc，則有y′=bo+bx；④對(duì)數(shù)曲線y=bo+blogx，可以令x′=logx，則有y=bo+bx′；⑤指數(shù)函數(shù)y=ceb/x，取對(duì)數(shù)lny=lnc+bl/x，可以令y′=lny，x′=l/x，bo=lnc，則有y′=bo+bx′。

一元線性函數(shù)為我們工程觀測建立回歸方程起到了很大的作用，它是一個(gè)重要的分析手段，只要我們把握好，它就能為我們的工作服務(wù)。當(dāng)然，回歸方程的運(yùn)用范圍一般僅局限于原來觀測數(shù)據(jù)的變動(dòng)范圍，而不能隨意外推。例如，大壩沉陷開度在溫度達(dá)到某一較高溫度時(shí)，將因縫的接觸而不再相應(yīng)減小。