用POD方法研究有限長正方形棱柱尾流的雙穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象

王漢封，徐勝金

(1.中南大學土木工程學院，湖南 長沙 410075;2.中南大學高速鐵路建造技術國家工程實驗室，湖南 長沙 410075;3.清華大學航空航天學院，北京 100871)

0 引言

一端固定于壁面，另一端為自由端的有限長柱體結構在工程中廣泛存在，如超高層建筑、冷卻塔、懸索橋或斜拉橋橋塔等等。由于自由端后下掃流的影響，有限長柱體的尾流和氣動力特性都與二維柱體的對應情況有顯著區(qū)別［1］。在下掃流的作用下，有限長柱體的尾流中會出現(xiàn)一對對稱的尾流渦［2-3］，使得有限長柱體尾流呈現(xiàn)出顯著的三維性。下掃流具有將柱體兩側脫落的展向渦向外側分開的趨勢，這使得有限長柱體尾流中的卡門渦街比二維柱體尾流更寬，而渦脫離頻率即St數(shù)較?。?-4］。

壁面邊界層條件對有限長柱體尾流也有顯著的影響，當邊界層厚度相對較小時，其影響可忽略，尾流中的三維性主要由下掃流所控制;而當邊界層厚度較大時，柱體尾流中會出現(xiàn)一個與下掃流相反的“上升流”［3，5］。伴隨該上升流，在尾流底部會出現(xiàn)一對與尾流渦旋向相反的底部渦［5］。隨著尾流向下游的發(fā)展，底部渦的衰減速率快于頂部渦［3，5］。

眾多的試驗結果顯示，有限長柱體的高寬比或長徑比(H/d，其中H為柱體高度，d為柱體特征寬度)對柱體所受氣動力和尾流結構有很大的影響［1，3，6］。部分學者［6-7］認為，當H/d大于某一臨界值時，柱體尾流中除靠近自由端附近的區(qū)域外，大部分區(qū)域仍被交替脫落的展向渦所控制，類似于二維柱體尾流中的Karman渦街;而當H/d小于該臨界值時，交替脫離的展向渦會消失，整個尾流被下掃流所控制，并呈現(xiàn)出對稱狀態(tài)。對于圓形柱體，這一臨界值為3～4左右;而對于方形截面柱體，該臨界值則略?。?-7］。通過系統(tǒng)的研究 H/d=3～11的方形柱體尾流，Wang和Zhou［1］發(fā)現(xiàn)對該高寬比范圍內的柱體，自由端上剪切流都會將柱體兩側剪切流連接在一起，構成一個封閉的整體渦結構。尾流渦和可能出現(xiàn)的底部渦都是該渦結構在流向平面內的投影。最近，日本學者Kawai等［8］通過高頻3D-PIV試驗驗證了這一結論的正確性。此外，當H/d=5和7時，柱體尾流中都可以觀察到Karman渦街和對稱渦結構兩種典型流動狀態(tài)［1，5］。顯然，當尾流中出現(xiàn)上述兩種不同的流動狀態(tài)時，柱體所受的氣動力特性將有顯著的差異。當Karman渦街出現(xiàn)時，柱體的阻力系數(shù)(CD)較大，相應的脈動升力系數(shù)()也較大;而當尾流結構呈對稱形態(tài)時，CD和均較?。?］。通過測量 H/d=5的柱體側面中間高度上的壓力系數(shù)(Cp)隨時間的變化規(guī)律，Sattari［9］觀察到了類似的現(xiàn)象，即 Cp隨時間的變化規(guī)律有兩種典型的狀態(tài)。某些時候，Cp會出現(xiàn)周期性顯著的大幅波動;而另一些時候，Cp的波動幅度很小且沒有明顯的周期。

上述結果均是通過觀察有限長柱體尾流或表面壓力的瞬態(tài)測量結果而得到的，尾流中上述兩種典型狀態(tài)的內在關系以及他們與二維柱體尾流的區(qū)別仍不清楚。針對這些問題，本文對H/d=7的正方形棱柱中間高度展向平面內流場進行了PIV測量及POD分析。為方便對比，在相同實驗條件下對二維方柱尾流也進行了測量。POD分析為進一步了解有限長柱體尾流特性，特別是上述兩種典型狀態(tài)的關系提供了新的角度。

1 實驗裝置

實驗是在一閉式循環(huán)風洞中進行的，實驗段寬0.6m，高0.6m，長2.4m，實驗模型如圖1 所示。有限長正方形棱柱一端固定在平板上，柱體寬度 d=20mm，高寬比 H/d=7。平板距離風洞底面約0.15m，以避免風洞壁面邊界層的影響。為防止流動分離，平板前緣加工成光滑弧形。柱體中心距離平板前緣0.3m。實驗中，自由來流速度(U∞)為7m/s，對應的Red=9300。實驗裝置所帶來的風洞阻塞度約為3%，阻塞效應可忽略不計。柱體所在位置上的平板邊界層厚度為27mm，即1.35d。坐標系的定義如圖1所示，其中x為流動方向，y為寬度方向，z為高度方向。

圖1 實驗裝置與PIV測量平面示意圖Fig.1 Schematic diagram of the experimental setup and the PIV measurement plane

一熱線探針固定在有限長棱柱尾流中x*=3，y*≈1.5，z*=3.5的位置上，以檢測尾流中的渦脫落頻率。本文中上標“*”表示以U∞或d進行無量綱化。探針連接在恒溫熱線風速儀上，過熱系數(shù)為1.6。熱線信號經(jīng)1.5kHz低通慮波后，以3kHz的頻率進行采樣，采樣時間為20s。對熱線信號進行FFT變換后，可依據(jù)能譜峰值對應的頻率確定尾流中的渦脫落頻率。本文中以上述方法所確定的渦脫落頻率的誤差為±0.86Hz，對應St數(shù)的相對誤差為±2.3%。

本實驗所使用的PIV激光器最大脈沖能量為120mJ，CCD 分辨率為 1280×1024pixel2，系統(tǒng)的測量頻率為3.75Hz。實驗中采用石蠟油產(chǎn)生的煙霧作為示蹤粒子，油滴粒徑在1～5μm范圍內，具有良好的跟隨性。運用該PIV對z*=3.5的展向平面內流動進行了測量，如圖1所示。測量中，圖像的空間分辨率為 153μm/pixel，對應實際測量范圍約為 196×156mm2?；ハ嚓P算法所用查問區(qū)間為32×32pixel2，兩個方向上重疊率均為50%。在相同Red的條件下對二維方柱尾流也進行了類似的PIV測量，以提供對比參照。通常認為PIV測量得到的瞬態(tài)速度包含有系統(tǒng)誤差和隨機誤差。經(jīng)認真標定，系統(tǒng)誤差可忽略不計;而隨機誤差的影響因素眾多，如顆粒濃度、顆粒尺寸、空間分辨率等［10］。對于本實驗所研究的湍流鈍體尾流場，瞬時場采樣數(shù)為1500幀，以確保統(tǒng)計量和POD分析的可靠性。以上述的1500個瞬態(tài)樣本計算時均速度、雷諾應力和速度rms值的統(tǒng)計誤差分別為2%、9%和6%左右［11］。

2 實驗結果

2.1 時均結果

圖2所示為二維方柱尾流中x*=2處時均流向速度、雷諾應力，以及流向與側向脈動速度的rms值和的分布情況。文中“-”表示時間平均量。圖2中同時給出了二維方柱尾流中的LDV測量結果［12］作為對比。可看出，本文PIV結果與文獻中的LDV測試結果吻合的較好，這驗證了本次實驗結果的可靠性。

圖3給出的是二維棱柱和有限長棱柱尾流中u方向脈動速度的能譜。在二維方柱尾流中，能譜峰值出現(xiàn)在=0.13處，這與文獻［12-13］所報道的結果是一致的。而對于H/d=7的柱體，St數(shù)為0.11，略小于二維棱柱的對應值。這是因為有限長柱體尾流中的下掃流具有將柱體兩側脫落的展向渦向外側分開的趨勢，從而延長了展向渦的脫落時間，所以降低了有限長柱體尾流中的渦脫離頻率［4］。此外，如圖3所示，有限長棱柱尾流中能譜的尖峰要明顯弱于二維棱柱，且尖峰的寬度也相對較大。這說明，盡管H/d=7的柱體尾流中有周期性的渦脫落現(xiàn)象，但其渦強度要弱于二維鈍體尾流，這一特性將在下面尾流的POD分析中進一步討論。

圖2 二維方柱尾流中的時間平均結果，x*=2Fig.2 Time averaged results in 2D square cylinder wake，x*=2

圖3 流向脈動速度能譜Fig.3 Power spectral density function of u

2.2 POD模態(tài)與能量分布

本征正交分解(POD)法是基于主元分析(PCA)思想，依據(jù) Karhumen-Loève展開，將流場進行分解，并按照能量比計算出各階模態(tài)，識別出流動中大尺度的擬序結構［14］。本文中用于PIV數(shù)據(jù)分析的POD方法是由Sirovich提出的快照POD(Snapshot POD)算法［15］。首先，將瞬時流場分解為時均速度場和脈動速度場，即，然后對脈動速度場進行POD分解。最終，全部流場信息可分解為時均流場(0階模態(tài))和脈動流場(已分解為1，2，3…階模態(tài))。任意瞬時流場可視為各階模態(tài)的線性組合。POD方法已經(jīng)成功的用于多種湍流速度場、渦量場以及壓力場的研究中［14，16-19］。

圖4給出了二維方柱尾流場的1-3階模態(tài)對應的以無量綱渦量為背景的速度矢量圖。這一結果與van Oudheusden等［20］所報道的二維方柱尾流中的結果是一致的。在1、2階模態(tài)中可清晰的看到正負交替的Karman渦街。1、2階模態(tài)是完全相似的，僅相位上相差1/4個渦脫離周期。3階模態(tài)所對應的正負渦量呈現(xiàn)出關于中心線對稱的形態(tài)，這與1、2階模態(tài)是截然不同的。此外，3階模態(tài)的渦強度也顯著小于1、2階模態(tài)對應值，這說明在二維方柱尾流中3階及以上模態(tài)對湍流脈動帶來的貢獻是非常有限的，這一點將在各階模態(tài)對應的能量分布中進一步討論。

圖4 二維方柱尾流中的1-3階模態(tài)對應的流動結構Fig.4 Flow structures of 1-3 POD modes in 2D square cylinder wake

圖5給出了H/d=7的棱柱尾流中間高度(z*=3.5)截面內1-3階模態(tài)的矢量與渦量圖。與二維方柱對應結果(如圖4所示)有很多定性的相似之處:首先，1、2階模態(tài)的渦量呈現(xiàn)出類似Karman渦街的正負交替的形態(tài)，且兩者空間上也是相差1/4周期;其次，1，2階模態(tài)對應的渦量強度明顯大于3階模態(tài)的對應值;此外，3階模態(tài)所對應的渦量與速度矢量圖也呈現(xiàn)出關于中心線對稱的結構。除上述定性上的相似點外，圖4與圖5存在著顯著的差異。H/d=7棱柱尾流中1、2階模態(tài)的渦量值要明顯小于二維柱體尾流中的對應結果，這說明在有限長棱柱尾流中正負交替的渦街結構相對較弱。相對于二維柱體尾流結果，圖5中1、2階模態(tài)的渦結構在y方向明顯更寬，表明有限長棱柱尾流要寬于對應的二維柱體尾流，這與文獻［1］的結果是吻合的。造成這一現(xiàn)象的原因是有限長柱體自由端產(chǎn)生的下掃流，具有將柱體側面剪切流向外側排開的趨勢［1，4］。

圖5 H/d=7柱體尾流z*=3.5截面內1-3階模態(tài)對應的流動結構Fig.5 Flow structures of 1-3 POD modes at z*=3.5 in the finite-length prism with H/d=7

圖6給出了各階模態(tài)對湍動能的貢獻率(不含0階模態(tài))。對于二維方柱尾流，總湍動能的73.6%(37.2%+36.4%)來自于 1、2 階模態(tài)，說明 Karman渦街在二維方柱尾流中占據(jù)了支配地位。而3階模態(tài)所對應的能量約占3.8%，僅相當于1、2階模態(tài)對應能量的1/10左右。在H/d=7的有限長棱柱尾流中，各階模態(tài)的能量分布與二維方柱尾流對應結果有著顯著的區(qū)別?？傮w而言，相對于二維方柱，有限長棱柱尾流的脈動能量在較高階模態(tài)中的比重明顯增強。代表準 Karman渦街的1、2階模態(tài)(如圖5所示)所對應的能量分別為26.7%和19.2%，遠小于二維柱體尾流的對應值。而代表著對稱尾流結構的3階模態(tài)所對應的能量卻達到了9.8%。這說明，在有限長棱柱尾流中類似Karman渦街結構的1、2階模態(tài)對總脈動能量的貢獻要顯著小于二維柱體尾流，而來自于對稱形態(tài)的3階模態(tài)和更高階模態(tài)的脈動能量則更多。由此可知，即使H/d=7棱柱的高寬比遠大于已有文獻所報道的臨界值2～3［6-7］，它的尾流結構與二維棱柱尾流也有著顯著的差別。

圖6 POD各模態(tài)能量分布Fig.6 Energy distribution of POD modes

2.3 瞬態(tài)流場的雙穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象

POD方法不僅能識別出流場中各階模態(tài)及其對總脈動能量的貢獻，而且可用各模態(tài)的線性組合對瞬態(tài)流場進行重建，如式(1)所示。其中，u為重建的某一時刻瞬態(tài)速度場，ˉU為時均速度場，φi和ai為第i階模態(tài)所對應的速度場和該模態(tài)的系數(shù)［15，21］。對于二維柱體尾流，其1、2階模態(tài)對湍動能的貢獻占據(jù)了主導地位，如圖6所示。因此，可近似的只用0階模態(tài)(時均場)和1、2階模態(tài)對瞬態(tài)流場進行重建，即“低階模型法”(Low Dimensional Model，LDM)［22-23］，如式(2，3)所示。

式(3)中 λ1，λ2是1、2階模態(tài)所對應的特征值，θ是各瞬態(tài)流場對應對的渦脫落相位角［24］。系數(shù)a1、a2并非相互獨立，若用和分別對其歸一化，各瞬態(tài)流場對應的點()將構成一個圓形［20，22］。圖7分別給出了二維方柱和有限長棱柱尾流中點()的分布。顯然，即使是二維方柱尾流，)各點也并非嚴格的落在標準圓形上，而是分散于其兩側。這是由于在Re=9300時，盡管大尺度的Karman渦街在尾流中占了支配地位，但仍有各種小尺度渦甚至隨機脈動會對尾流結構帶來影響［20］。

圖7 各瞬態(tài)流場中1、2階模態(tài)對應系數(shù)Fig.7 Coefficients of the first two modes in the LDM for each instantaneous flow field

由POD模態(tài)重建瞬態(tài)流場的方法(如式1所示)可知，a1、a2代表著在瞬態(tài)流場重建中1、2階模態(tài)的貢獻。因此，圖 7中各點距原點的距離 R(=的大小與1、2階模態(tài)的貢獻是成正比的。也就是說，當點P()距離原點較遠時，1、2階模態(tài)的貢獻相對較大;而當點P距離原點較近時，1、2階模態(tài)的貢獻則較小。對于二維方柱尾流，沒有瞬態(tài)點P分布于原點附近(如圖7a所示)。這意味著在二維方柱尾流中1、2階模態(tài)所對應的Karman渦街結構始終占據(jù)主導著地位。而在H/d=7的棱柱尾流中，各瞬態(tài)點P幾乎均勻的分布于平面內，與二維柱體尾流所對應的環(huán)形分布有顯著的區(qū)別。遠離原點的點P，其對應的瞬態(tài)尾流是由代表著類似Karman渦街的1、2階模態(tài)所支配，這與二維柱體尾流是類似的;而原點附近的點P，其對應的瞬態(tài)尾流場中1、2階模態(tài)的貢獻可以忽略，此時的瞬態(tài)尾流場是由呈對稱形態(tài)的3階模態(tài)(如圖5所示)或更高階模態(tài)所控制。圖8給出了上述兩種典型的尾流狀態(tài)，其對應P點的位置已在圖7(b)中標出。

圖8 H/d=7柱體尾流中間高度截面內兩種典型流動狀態(tài)Fig.8 Two typical instantaneous flow status in the wake of prism with H/d=7

由上述分析可知，有限長柱體尾流會出現(xiàn)兩種典型的瞬態(tài)流動結構:第一種是由1、2階模態(tài)所控制的類似Karman渦街的形態(tài)，另一種是由3階或更高階模態(tài)控制的對稱形態(tài)。而在二維方柱尾流中，第二種形態(tài)是不會出現(xiàn)的。對于有限長棱柱體，當Karman渦街形態(tài)的尾流出現(xiàn)時，柱體側面壓力和柱體升力都會呈現(xiàn)出周期性顯著的大幅波動;而當出現(xiàn)對稱的尾流結構形態(tài)時，柱體側面壓力以及升力的脈動均較小，且無明顯的周期性［1，9，25］。

3 結論

(1)代表著Karman渦街結構的1、2階模態(tài)在H/d=7的有限場棱柱尾流中對湍動能的貢獻為45.9%，遠小于其在二維柱體尾流中對湍動能的貢獻73.6%;而代表著對稱形態(tài)的3階模態(tài)對前者的貢獻達到9.8%，是后者對應值的2倍多。

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