一種LFM信號(hào)參數(shù)估計(jì)的新方法

馮維婷, 張寶軍

FENG Wei-ting, ZHANG Bao-jun

西安郵電大學(xué) 電子工程學(xué)院，陜西 西安 710121

School of Electronic and Engineering’ Xi’an University of Post and Telecommunications’ Xi’an 710121’China

1 引言

LFM 信號(hào)作為一種典型非平穩(wěn)信號(hào)，在雷達(dá)、通信，聲納和地震勘測等領(lǐng)域有廣泛地應(yīng)用，關(guān)于 LFM信號(hào)參數(shù)估計(jì)有許多方法。最大似然(Maximum Likelihood)估計(jì)的方法[1-2]最早是1960年Kelly等人提出的，這種方法的性能最優(yōu)，精度最高，但它在實(shí)際中需要進(jìn)行二維極值搜索，計(jì)算量非常大。為了減小計(jì)算量，文獻(xiàn)[3]采用二維牛頓迭代，但它需要有一個(gè)靠近真實(shí)值的初始值，否則將出現(xiàn)不收斂的情況。解線性調(diào)頻(Dechirp)方法是工程中常采用的一種方法[4-5]，具有直觀、信噪比門限低，加速度估計(jì)范圍大的特點(diǎn)[6]。該方法需要有調(diào)頻斜率變化范圍的先驗(yàn)知識(shí)，對(duì)信號(hào)進(jìn)行調(diào)頻斜率補(bǔ)償，再對(duì)補(bǔ)償后的回波頻譜進(jìn)行譜峰搜索?；贒echirp方法的參數(shù)估計(jì)需要在中心頻率-調(diào)頻斜率二維平面上進(jìn)行峰值搜索，同樣具有運(yùn)算量大的特點(diǎn)。FrFT（Fractional Fourier Transform）作為一種新的時(shí)頻分析方法[7-8]，是一種廣義的傅里葉變換，其采用了線性調(diào)頻基，特別適合于 LFM 信號(hào)的參數(shù)估計(jì)。但此方法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)時(shí)需要在分?jǐn)?shù)階傅里葉變換域構(gòu)成的二維平面上進(jìn)行峰值搜索，同樣運(yùn)算量很大。基于時(shí)頻分析的一些其它方法[9-10]，也可用于LFM信號(hào)的參數(shù)估計(jì)，但以上這些方法都存在運(yùn)算量大的問題。

為減少計(jì)算復(fù)雜度、提高運(yùn)算實(shí)時(shí)性，Peleg等提出了離散多項(xiàng)式相位變換法[11-12]，該方法通過瞬時(shí)相關(guān)函數(shù)的方法，把對(duì)中心頻率和調(diào)頻斜率的二維搜索轉(zhuǎn)變?yōu)閮纱我痪S搜索，但中心頻率參數(shù)估計(jì)值受到誤差傳遞效應(yīng)影響，且調(diào)頻斜率估計(jì)范圍較小。

針對(duì)以上問題，本文提出了一種不同于以上方法的LFM信號(hào)參數(shù)估計(jì)新方法?；诮稻S思想，首先對(duì)信號(hào)進(jìn)行數(shù)學(xué)變換，得到僅含多普勒中心頻率的復(fù)正弦信號(hào)，通過FFT并用chirp-z變換進(jìn)行頻譜細(xì)化得到精確的多普勒中心頻率估計(jì)值；然后根據(jù)先驗(yàn)知識(shí)在調(diào)頻斜率的取值范圍內(nèi)，對(duì)回波進(jìn)行調(diào)頻斜率補(bǔ)償；最后對(duì)補(bǔ)償后的信號(hào)僅在中心頻率估計(jì)值處進(jìn)行單值非整數(shù)點(diǎn)DFT運(yùn)算，從而得到一維調(diào)頻斜率變化平面，通過搜索峰值獲得信號(hào)調(diào)頻斜率估計(jì)值。相比于二維峰值搜索算法，運(yùn)算復(fù)雜度大大地降低，更利于實(shí)時(shí)處理。對(duì)比于離散多項(xiàng)式相位變換法，新方法的調(diào)頻斜率估計(jì)范圍不受限制，對(duì)中心頻率的估計(jì)不受誤差傳遞效應(yīng)影響。仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了算法的有效性。

2 中心頻率的估計(jì)方法

混有噪聲的LFM信號(hào)模型為x(t)=s(t)+w(t)，LFM信號(hào)定義為

首先考慮fd的參數(shù)估計(jì)。受采樣時(shí)間點(diǎn)對(duì)稱的啟發(fā)，定義x1(t)=x(t)x*(-t)。其中x*(-t)是對(duì)x(t)先取反轉(zhuǎn)得x(-t)，再對(duì)x(-t)取共軛得到的。x1(t)可表示為

其中，w1(t)是x1(t)的噪聲分量。由(2)式可見，x1(t)是一個(gè)混有噪聲的單一頻率復(fù)正弦信號(hào)。在沒有噪聲情況下，將x1(t)離散化為N點(diǎn)的序列x1(n)，其離散時(shí)間傅里葉變換用Yx1(ω)表示，見下式。

此時(shí)，x1(n)幅度頻譜的最大值對(duì)應(yīng)于2· fd頻率位置處。式(4)可以利用FFT快速算法實(shí)現(xiàn)，但頻譜離散化造成的誤差較大。根據(jù)信號(hào)處理理論，信號(hào)的FFT變換可以獲得其離散化的全局譜，Chirp-Z變換可獲得全局譜中感興趣的某段頻譜的精細(xì)結(jié)構(gòu)。本文利用Chirp-Z變換進(jìn)行頻譜細(xì)化，減小參數(shù)估計(jì)誤差。頻率為ω0的N點(diǎn)復(fù)正弦序列，在頻域上表現(xiàn)為最大值在位置處的一個(gè)辛格函數(shù)。故要估計(jì)就是在頻域上搜索其最大幅值，最大幅值處對(duì)應(yīng)著的估計(jì)值。以復(fù)正弦序列估計(jì)頻率為例，闡述細(xì)化頻譜具體步驟。

1）對(duì)正弦序列進(jìn)行N點(diǎn)的 FFT得離散為N點(diǎn)的全局頻譜F(k)，k0是幅度最大值處對(duì)應(yīng)的離散頻率索引值；

Chirp-Z變換有快速算法，可借助FFT實(shí)現(xiàn)[13]。經(jīng)過Chirp-Z變換后，范圍內(nèi)的頻譜頻率分辨率變?yōu)?ω=2πNM，比直接FFT的頻率分辨率提高了M倍，可獲得信號(hào)頻率高精度的估計(jì)值。對(duì)x1(n)采用 Chirp-Z變換后，中心頻率估計(jì)值的表達(dá)式為其中，f與f是包含譜峰值頻ab率點(diǎn)的頻率起點(diǎn)和終點(diǎn)，k1為Chirp-Z變換的譜峰值對(duì)應(yīng)的離散頻率索引值。

3 調(diào)頻斜率的估計(jì)方法

在得到信號(hào)fd的估計(jì)值后，接下來考慮μ的估計(jì)。根據(jù)信號(hào)處理理論，對(duì)于時(shí)域有限長的LFM信號(hào)，其頻譜由于調(diào)頻斜率項(xiàng)的存在，是將其幅度頻譜中對(duì)應(yīng)于中心頻率處的辛格函數(shù)展寬，且展寬的程度取決于調(diào)頻斜率值。圖1是LFM信號(hào)的幅度頻譜。其中線性調(diào)頻信號(hào)參數(shù)fd=900 Hz，取調(diào)頻斜率分別為μ=0、μ=166.5 Hz/s進(jìn)行對(duì)比。由圖可見，調(diào)頻斜率等于零的信號(hào)頻譜，中心頻率處對(duì)應(yīng)峰值，能量集中于中心頻率處；μ=166.5 Hz/s的信號(hào)頻譜，頻譜值明顯下降，能量被分散在以中心頻率為中心的帶寬內(nèi)。所以，對(duì)LFM信號(hào)在中心頻率處進(jìn)行解線性調(diào)頻處理，在調(diào)頻斜率的取值范圍內(nèi)對(duì)LFM信號(hào)進(jìn)行補(bǔ)償，即解除LFM信號(hào)的二次相位項(xiàng)調(diào)制，降為單一頻率信號(hào)，則由于對(duì)應(yīng)調(diào)頻斜率μ處信號(hào)被完全補(bǔ)償，頻譜呈現(xiàn)尖峰，如圖2所示。圖中頻譜最大幅值處與要估計(jì)的值對(duì)應(yīng)。

圖1 LFM信號(hào)的幅度頻譜圖

圖2 處對(duì)應(yīng)的調(diào)頻斜率變化曲線

上式中，由于預(yù)先不知道調(diào)頻斜率μ的值，需要根據(jù)先驗(yàn)知識(shí)，在一定范圍內(nèi)取值：μ∈[μstart,μend]。

對(duì)離散LFM序列進(jìn)行補(bǔ)償，獲取調(diào)頻斜率估計(jì)值的具體步驟如下：

1）在調(diào)頻斜率μ∈[μstart,μend]的取值范圍內(nèi)，對(duì)LFM序列進(jìn)行補(bǔ)償。首先構(gòu)造信號(hào) exp(-jπμbt2)與 LFM序列x(n)相乘就是調(diào)頻斜率補(bǔ)償后的信號(hào)。式中第一次補(bǔ)償時(shí)取i=0。Δμ為步長，需結(jié)合參數(shù)估計(jì)精度與運(yùn)算量的實(shí)際要求綜合考慮確定。

3）用[μstart,μend]內(nèi)的第二個(gè)值μb=μstart+i·Δμ，（i=1），補(bǔ)償離散序列x(n)，重復(fù)以上步驟，直到μb=μend結(jié)束，最后得到序列。搜索該序列最大值，最大值處對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)就是估計(jì)值。

綜上所述，本文提出的新方法，通過構(gòu)造信號(hào)x1(t)，把線性調(diào)頻信號(hào)的多普勒中心頻率對(duì)應(yīng)到一個(gè)單一頻率的復(fù)正弦信號(hào)，搜索其FFT的峰值并結(jié)合頻譜細(xì)化處理就可得到中心頻率高精度的估計(jì)值。接著，對(duì)原信號(hào)進(jìn)行調(diào)頻斜率補(bǔ)償，再對(duì)補(bǔ)償后信號(hào)進(jìn)行處的單值DFT，第二次搜索峰值得到調(diào)頻斜率的估計(jì)值。需要說明的是，與fd估計(jì)不同的是，μ的估計(jì)精度不受數(shù)據(jù)離散化影響，而是鑒于實(shí)際應(yīng)用的條件，取決于人為設(shè)定的Δμ值大小。故當(dāng)Δμ值越小時(shí)，估計(jì)精度越高，但同時(shí)運(yùn)算量越大。

4 計(jì)算復(fù)雜度分析

假設(shè)LFM信號(hào)離散化后的數(shù)據(jù)長度為N，調(diào)頻斜率搜索次數(shù)為L。從以上分析可知，本文方法的計(jì)算量主要是：為了得到估計(jì)值的一次N點(diǎn)FFT和M點(diǎn)的Chirp-Z運(yùn)算，為了得到的L次單值DFT運(yùn)算。一次FFT的計(jì)算復(fù)雜度為O(NlgN)、一次Chirp-Z的為O((M+N-1)lg(M+N-1))[14]，L次單值DFT運(yùn)算的為O(LN)，總計(jì)算復(fù)雜度為O[NlgN+(M+N-1)lg(M+N-1)+LN]。

與其它各種方法的計(jì)算復(fù)雜度對(duì)比：基于二維峰值搜索的 FrFT方法，當(dāng)采用分解型快速算法時(shí)，可將離散FrFT分解為信號(hào)的卷積形式用FFT實(shí)現(xiàn)。當(dāng)FrFT域掃描點(diǎn)數(shù)為L時(shí)，其計(jì)算復(fù)雜度為O(LNlogN)[15]；而基于二維峰值搜索的Dechirp方法，若調(diào)頻斜率搜索次數(shù)也為L，其計(jì)算復(fù)雜度與FrFT方法相當(dāng)?；诮稻S處理的離散多項(xiàng)式相位變換法，是對(duì)兩次FFT結(jié)果的一維搜索，算法復(fù)雜度為O(2NlgN)。通過對(duì)比可見，對(duì)于固定的Chirp-Z變換點(diǎn)數(shù)M，當(dāng)采樣點(diǎn)數(shù)N和搜索次數(shù)L越大時(shí)，本文新方法的運(yùn)算量遠(yuǎn)小于二維搜索算法的運(yùn)算量，而接近于離散多項(xiàng)式相位變換法的運(yùn)算量。當(dāng)M=256，N=4096，L=1000時(shí)，采用本文方法的運(yùn)算量為4197743，采用基于二維峰值搜索方法的運(yùn)算量為49152000。由此可以看出，基于二維峰值搜索方法的運(yùn)算量是本文方法的運(yùn)算量的11.7倍。

5 計(jì)算機(jī)仿真分析

仿真實(shí)驗(yàn)：LFM信號(hào)參數(shù)設(shè)定為：幅度A=1，中心頻率fd=899.5 Hz，調(diào)頻斜率μ=166.35 Hz/s，采樣點(diǎn)數(shù)N=2049，采樣頻率Fs=2049Hz。其中μ的搜索范圍116 Hz/s～216 Hz/s，搜索步長為0.1 Hz/s，搜索次數(shù)L=1001；仿真中Chirp-Z變換點(diǎn)數(shù)M=256。表格1是本文方法與基于二維峰值搜索的Dechirp法運(yùn)行時(shí)間的比較。仿真中信號(hào)模型未加入噪聲，仿真環(huán)境為：Duo CPU E6550@2.33GHz ，4GB內(nèi)存，Windows XP操作系統(tǒng)，MATLAB2008b。由表1可以看出，本文方法明顯減少了程序運(yùn)行時(shí)間。

表1 本文方法與Dechirp法運(yùn)行時(shí)間的比較

圖3所示為新方法與Dechirp方法、離散多項(xiàng)式相位變換法得到的參數(shù)估計(jì)值均方誤差和CRLB下限的對(duì)比曲線。仿真結(jié)果顯示，本文方法的參數(shù)檢測信噪比門限為-8dB。

圖3(a) 中心頻率估計(jì)值均方誤差曲線

圖3(b) 調(diào)頻斜率估計(jì)值均方誤差曲線

圖3(a)中，離散多項(xiàng)式相位變換法的參數(shù)估計(jì)是從μ開始的，由于誤差傳遞影響，fd具有較差的估計(jì)性能。Dechirp方法的信噪比門限高，但中心頻率估計(jì)性能曲線隨信噪比的增加而性能未能提升，這是由于解線性調(diào)頻處理后，中心頻率估計(jì)性能受到FFT固有頻率分辨率的制約。新方法的參數(shù)估計(jì)是從fd開始，其估計(jì)性能不受μ估計(jì)值的影響，同時(shí)還利用Chirp-z變換細(xì)化了頻譜，提高了頻率分辨率，因此能獲得較好的估計(jì)性能。圖3(b)中，離散多項(xiàng)式相位變換法對(duì)μ的估計(jì)性能也受限于FFT的頻率分辨率。Dechirp方法對(duì)μ的估計(jì)精度取決于搜索步長Δμ，而在相同的Δμ條件下，新方法比Dechirp方法的性能曲線更接近CRLB下限。這是因?yàn)楸疚姆椒ㄊ菑墓烙?jì)fd開始，fd估計(jì)值越精確，對(duì)應(yīng)的μ估計(jì)值誤差越小。

6 結(jié)語

本文提出了 LFM 信號(hào)參數(shù)估計(jì)的新方法。利用觀測信號(hào)先構(gòu)造新函數(shù)得到中心頻率估計(jì)值；然后在調(diào)頻斜率取值范圍內(nèi)對(duì)原信號(hào)進(jìn)行補(bǔ)償，對(duì)補(bǔ)償后的信號(hào)在對(duì)應(yīng)中心頻率估計(jì)值處基于單值DFT運(yùn)算、搜索峰值得調(diào)頻斜率估計(jì)值。仿真結(jié)果表明，新方法對(duì)參數(shù)具有較好的估計(jì)效果，且計(jì)算復(fù)雜度低于二維峰值搜索方法、接近于離散多項(xiàng)式相位變換法，因此更利于快速高精度的參數(shù)測量。

[1]Kelly E J.The radar measurement of range, velocity and acceleration [J].IEEE Trans on Military Electronics,1961, MIL-5:51-57.

[2]Li Y, Fu H, Pooi Y K.Improved, approximate, time-domain ML estimators of chirp signal parameters and their perform analysis [J].IEEE Trans.on Signal Processing , 2009, 57(4) :1260- 1272.

[3]Abatzoglou T J.Fast maximum likelihood joint estimation of frequency and frequency rate [J].IEEE Trans on AES, 1986, 22(6):708-715.

[4]李文臣，王雪松，劉佳琪，等.線性調(diào)頻參數(shù)估計(jì)方法的數(shù)學(xué)統(tǒng)一[J].信號(hào)處理, 2009,25(8) :1292-1297.

[5]張賢達(dá)，保錚.非平穩(wěn)信號(hào)分析與處理[M].北京：國防工業(yè)出版社，2001,158-164.

[6]蘇軍海, 呂孝雷，邢孟道.窄帶雷達(dá)高速多目標(biāo)檢測及其運(yùn)動(dòng)參數(shù)估計(jì)[ J].系統(tǒng)工程與電子技術(shù), 2009,31(7):1539-1543.

[7]齊林，陶然，周思永，等.基于分?jǐn)?shù)階Fourier 變換的多分量LFM信號(hào)的檢測和參數(shù)估計(jì)[J ].中國科學(xué)(E),2003,33(8):749-759.

[8]屈海濤, 齊林, 穆曉敏, 等.基于FRFT的多分量LFM信號(hào)DOA估計(jì)[J].計(jì)算機(jī)工程與應(yīng)用, 2007, 43(35):65-67.

[9]Barbarossa S.Analysis of multi component LFM signals by a combined Wigner-Hough transform [J].IEEE Trans on Signal Processing, 1995, 43(6):1511-1515.

[10]Wood J C, Barry D T.Linear signal synthesis using the Radon-Wigner transform[ J].IEEE Trans on Signal Processing, 1995, 43(6):1511-1515.

[11]Peleg S , Porate B.Estimation and classification of polynominal-phase signals[ J].IEEE Trans on Information Theory, 1991, 37(2):422-430.

[12]Peleg S , Porate B.Linear FM signal parameters estimation from discrete time observations[ J].IEEE Trans on AES, 1991, 27(4):607-616.

[13]程佩青.數(shù)字信號(hào)處理教程[M].北京：清華大學(xué)出版社，2001,172-177.

[14]陳祝明，丁義元，向敬成.采用 Chrip-Z變換提高 LFMCW 雷達(dá)的測距離精度[J].信號(hào)處理,2002,18(2):110-112.

[15]Ozaktas H M, Arikanet O, Kutay M A,Bozdagl G.Digital computation of the fractional Fourier transform [J].IEEE Trans on Signal Processing, 1996, 44(9):2141-2150.