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    無漂移算術(shù)布朗運(yùn)動下股指期貨套期保值連續(xù)出清策略

    2014-04-03 06:16:42唐衍偉劉喜華
    中國管理科學(xué) 2014年2期
    關(guān)鍵詞:頭寸套期保值

    唐衍偉,陳 剛,劉喜華

    (青島大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院,山東 青島 266071)

    1 引言

    在出清資產(chǎn)時,交易員不僅要考慮收益和風(fēng)險,還要面對市場和自身的不確定性。股指期貨套期保值涉及股票市場和股指期貨市場,一般情況下,這兩種資產(chǎn)是高度正相關(guān)的,而通過套期保值的反向操作則構(gòu)造了兩種高度負(fù)相關(guān)資產(chǎn)。對于已進(jìn)行套期保值的股票現(xiàn)貨,在出清股票頭寸時,為了避免現(xiàn)貨頭寸風(fēng)險暴露過大,應(yīng)該保持現(xiàn)貨與期貨出清量以套期保值比例同步,從而確保持有頭寸可以時時通過期貨套期保值達(dá)到規(guī)避市場總體風(fēng)險的目的。期貨采用保證金交易制度,在進(jìn)行期貨出清時,衡量的是最終實(shí)現(xiàn)的出清成本,而不需要考慮其杠桿效應(yīng),而且股指期貨可以認(rèn)為是股票指數(shù)的近似替代,因此,可以將股票與股指期貨同步出清問題納入投資組合的框架下進(jìn)行研究。

    國外出清策略研究主要有:Lawrence和Robinson[1]利用均值-方差理論,通過融合市場風(fēng)險的最優(yōu)資產(chǎn)出清策略;Jarrow和Subramanian[2]引入流動性折扣因子和交易執(zhí)行滯后時間函數(shù),假定變現(xiàn)時間和出清量是外生給定的,通過最大化資產(chǎn)出清收益來決定持有期限,推導(dǎo)出最優(yōu)資產(chǎn)出清策略;Bertsimas和Lo[3]采用隨機(jī)動態(tài)規(guī)劃法推導(dǎo)了最大化出清收益條件下的買入大部位投資組合的動態(tài)交易策略,證明了在市場沖擊和交易量存在線性關(guān)系、資產(chǎn)價格過程是隨機(jī)游走過程時,以一個常速率出售資產(chǎn)是最優(yōu)選擇;Almgren和Chriss[4-5]假定市場沖擊分為瞬時沖擊和永久沖擊且都是線性的,通過均值-方差理論,提出了推導(dǎo)資產(chǎn)最優(yōu)出清策略的框架,并提出融合流動性風(fēng)險的VaR方法,研究表明最優(yōu)執(zhí)行策略是時間的雙曲正弦和雙曲余弦的線性組合形式;Huberman和Stanzl[6]在投資者的效用函數(shù)中引入執(zhí)行成本的方差,利用隨機(jī)動態(tài)規(guī)劃方法實(shí)現(xiàn)最優(yōu)策略的求解;Berkowitz[7]從需求彈性入手,用向下傾斜的需求曲線表示變現(xiàn)活動對市場價格的沖擊,假定變現(xiàn)時間是外生變量,得到最優(yōu)策略;Almgren[8]在沖擊函數(shù)為多項(xiàng)式時,討論了變現(xiàn)時間為可變時的最優(yōu)變現(xiàn)策略;Dubil[9-10]延伸了Almgren和Chris[4]提出的模型來確定最終的出清期,假定交易以恒定速率進(jìn)行,市場沖擊函數(shù)為廣義冪指數(shù)和與價格線性相關(guān)兩種形式;M?[11]在考慮日內(nèi)市場流動性特性,采用指數(shù)價格沖擊函數(shù),建立了投資者指令重建的大部位投資組合的最優(yōu)資產(chǎn)出清策略;Subramanian[12]在投資者風(fēng)險偏好和資產(chǎn)價格運(yùn)動的廣泛假設(shè)下,建立了大宗資產(chǎn)投資者出清問題的優(yōu)化模型,并證明大宗資產(chǎn)投資者在具有較強(qiáng)效用函數(shù)時能得到最優(yōu)出清策略。Kim和Boyd[13]考慮時間不均勻線性價格沖擊與波動、流動性與波動周期情況下,建立持有頭寸預(yù)期資產(chǎn)價值與收益方差最大化的連續(xù)出清問題,通過求解第二類Fredholm積分方程或TPBVP問題求得出清軌跡。

    國內(nèi)研究主要有:林輝[14]在收益率為正態(tài)分布,相對價差和中間價格相互獨(dú)立的前提下,研究了La-VaR模型,并將確定性等價效用和風(fēng)險偏好引入多期La-VaR模型,采用勻速率出清逼近的方法,得到最優(yōu)出清策略和La-VaR;胡小平[15]假定價格沖擊函數(shù)為線性和隨機(jī),資產(chǎn)價格服從幾何布朗運(yùn)動,考慮離散和連續(xù)出清的情況,運(yùn)用動態(tài)規(guī)劃方法得到最優(yōu)出清策略。儲小俊等[16]對價格沖擊模型作了一般性拓展,在交易對價格的影響為更接近于市場一般情況的隨機(jī)、非線性價格沖擊,建立了隨機(jī)非線性價格沖擊模型;以投資者的頭寸變化作為交易策略的反映,結(jié)果表明在隨機(jī)條件下考慮非線性價格沖擊時,投資者的變現(xiàn)速度明顯地受到限制,在變現(xiàn)期的絕大部分時間內(nèi)以恒定速度變現(xiàn),同時對最優(yōu)策略進(jìn)行了參數(shù)的敏感性分析:價格波動系數(shù)、風(fēng)險厭惡系數(shù)越大,則前期變現(xiàn)速度越大、資產(chǎn)頭寸減少越快;價格沖擊系數(shù)、及瞬時價格沖擊波動率的增加,變現(xiàn)頭寸的減少越接近于直線的形式;劉宣會等[17]將隨機(jī)LQ控制模型推廣到系統(tǒng)狀態(tài)為跳躍-擴(kuò)散過程的隨機(jī)LQ模型,采用隨機(jī)Lagrange方法得到最優(yōu)反饋控制,然后運(yùn)用該框架去處理數(shù)理金融中的套期保值問題,最后得到了最優(yōu)套期保值策略;唐衍偉等[18]假定股票和期貨服從有漂移項(xiàng)的算術(shù)布朗運(yùn)動,投資者效用為均值-方差形式,價格沖擊為線性,在離散時間框架下,求解單只股票與股指期貨套期保值同步出清問題,得到出清軌跡。

    本文在Almgren和Chriss[4-5]研究框架下納入期貨套期保值,保持出清期間內(nèi)套期保值比不變,假定資產(chǎn)價格服從無漂移項(xiàng)的算術(shù)布朗運(yùn)動、永久和暫時價格沖擊均為線性的情況下,研究單只股票與股指期貨同步連續(xù)出清問題。

    2 套期保值變現(xiàn)問題

    考慮一名投資者在初始零時刻持有一種證券的頭寸為X,計劃在T時間內(nèi)連續(xù)賣出全部股票,投資者在持有期第T個交易日結(jié)束時持有股票頭寸為0。

    定義在t時刻,t∈[0,T],投資者持有的頭寸為x(t),證券的價格為St,則有:

    x(0)=X,x(T)=0

    (1)

    變現(xiàn)速度為:

    (2)

    假設(shè)市場價格運(yùn)動缺乏趨勢性,認(rèn)為市場價格服從如下無漂移項(xiàng)的幾何布朗運(yùn)動:

    dS=SσdW(t)

    (3)

    dS=σdW(t)

    (4)

    投資者變現(xiàn)交易引起的對市場不利影響分為永久沖擊與瞬時沖擊。所謂的永久沖擊是指投資者的變現(xiàn)交易 (賣) 對市場價格的不利影響一直持續(xù)整個變現(xiàn)期[0,T],而瞬時沖擊只是在時間(t-dt,t)使內(nèi)投資者的實(shí)際成交價格偏離市場的均衡價格。永久沖擊響應(yīng)和瞬時沖擊響應(yīng)都是變現(xiàn)速度的函數(shù),考慮線性沖擊響應(yīng):

    (5)

    由Almgren和 Chriss[5]知,由于永久沖擊響應(yīng)的存在,市場價格運(yùn)動中漂移項(xiàng)變?yōu)?g(v(t)),市場價格變?yōu)椋?/p>

    (6)

    由于瞬時沖擊響應(yīng)h(v(t))的存在,投資者真正實(shí)現(xiàn)的交易價格為:

    (7)

    投資者的執(zhí)行成本為:

    (8)

    其中:

    (9)

    將(9)代入(8):

    (10)

    因?yàn)椋?/p>

    (11)

    (12)

    EC的數(shù)學(xué)期望為:

    (13)

    EC的方差為:

    (14)

    同理,假定股指期貨價格服從如下算術(shù)布朗運(yùn)動:

    dSf=σfdW(t)

    (15)

    市場的永久沖擊系數(shù)和暫時沖擊系數(shù)分別為γf>0、ηf>0,套期保值的交易方向同股票交易方向相反,若股票為賣出變現(xiàn),則期貨為買入變現(xiàn)。

    為了保持股票和期貨的同步,股票和期貨頭寸應(yīng)按套期保值比φ進(jìn)行同步變現(xiàn):

    (16)

    期貨執(zhí)行成本為:

    (17)

    股指期貨套期保值股票和期貨同步執(zhí)行成本為:

    (18)

    因此,執(zhí)行成本的期望和方差可分別求得為:

    (19)

    式中,ρ為股票和期貨價格的相關(guān)系數(shù),由于股票和期貨的操作方向相反,因此在計算方差時ρ取負(fù)號,φ為套期保值比。

    (20)

    上式可寫為:

    (21)

    3 變現(xiàn)策略求解

    投資者選擇策略(x(t),v(t)),使得下式取最小值:

    U=E(EC)+λV(EC)

    (22)

    λ是資者的風(fēng)險偏好,λ<0時,投資者偏好風(fēng)險;當(dāng)λ=0時投資者風(fēng)險中性;當(dāng)λ>0時,投資者風(fēng)險厭惡。以下僅討論風(fēng)險厭惡的理性投資者。

    令:

    (23)

    則x*(t)最小值使得U取得最小值,等價于x*(t)使得指標(biāo)泛函J(x(t))取得最小值。

    令:

    (24)

    為使J(x(t))取得最小值,F(xiàn)(x(t))應(yīng)滿足如下形式的歐拉方程:

    (25)

    (26)

    將式(24)代入上式并化簡得到:

    (27)

    當(dāng)λ>0時,利用邊界條件x(0)=X,x(T)=0可得方程(27)的通解為:

    (28)

    期貨出清軌跡為xf(t)=φx(t)。

    4 參數(shù)分析

    投資者初始持有股票頭寸為x(0)=X=107股,計劃在T=5天內(nèi)出清,股票的方差為σs=0.045,永久沖擊系數(shù)為:γs=4.5×10-7,暫時沖擊系數(shù)為:ηs=1.50×10-7,股指期貨的方差為σf=0.025,永久沖擊系數(shù)為:γf=2.5×10-8,暫時沖擊系數(shù)為:ηf=5.5×10-8,套期保值比為φ=0.5,股票和期貨相關(guān)系數(shù)為ρ=0.8,假定投資者的風(fēng)險厭惡系數(shù)為λ=10-4,參數(shù)計算結(jié)果如下表:

    表1 出清參數(shù)計算

    (一)風(fēng)險厭惡系數(shù)對出清軌跡的影響

    當(dāng)風(fēng)險厭惡程度較大時,投資者傾向于在出清初期出清較大規(guī)模的頭寸,以降低后期的風(fēng)險,而當(dāng)風(fēng)險厭惡程度較小時,投資者傾向于更小的出清頭寸,也更接近勻速率出清,如圖1所示。

    圖1 不同風(fēng)險厭惡程度的出清軌跡

    圖2 不同組合標(biāo)準(zhǔn)差的出清軌跡

    (二)組合標(biāo)準(zhǔn)差對出清軌跡的影響

    組合標(biāo)準(zhǔn)差越大,則出清軌跡下移,投資者在出清初期更傾向于出清更多的頭寸以降低波動風(fēng)險;當(dāng)組合標(biāo)準(zhǔn)差變小,出清軌跡上移,投資者更傾向于更緩慢出清,如圖2所示。

    (三)相關(guān)系數(shù)不變,不同套期保值比的出清軌跡

    (1)ρ=0時或φ=0時,出清過程退化為不考慮期貨套保的情況,即純粹的股票出清;

    (2)當(dāng)ρ>0且φ>0,隨套期保值比的增加,出清軌跡向上移動,即隨套期保值比的增加,每次的出清量逐漸減少,投資者更傾向于緩慢的出清過程,如圖3所示。

    (3)當(dāng)ρ<0且φ>0,隨套期保值比的增加,出清軌跡向下移動,即隨套期保值比的增加,每次的出清量逐漸增加,投資者傾向于更快速的出清過程,如圖4所示。

    圖3 ρ=0.8時不同套期保值比的出清軌跡

    圖4 ρ=-0.8時不同套期保值比的出清軌跡

    (四)套期保值比不變,不同相關(guān)系數(shù)的出清軌跡(圖5)

    (1)當(dāng)φ>0且ρ>0,隨相關(guān)系數(shù)的增加,出清軌跡向上移動,即隨相關(guān)系數(shù)的增加,每次的出清量逐漸減少,出清量與相關(guān)系數(shù)呈反向變化,且隨套期保值比的增加,其差異越大。

    (2)ρ<0時,φ>0,隨相關(guān)系數(shù)的增加,出清軌跡向下移動,即隨相關(guān)系數(shù)絕對值的增加,每次的出清量逐漸減增加,出清量與相關(guān)系數(shù)絕對值呈同向變化,且隨套期保值比的增加,其差異越大。

    圖5 不同相關(guān)系數(shù)的出清軌跡

    5 結(jié)語

    假定股票和期貨服從無漂移項(xiàng)的算術(shù)布朗運(yùn)動,投資者效用為均值-方差形式,價格沖擊為線性沖擊,在連續(xù)時間框架下,求取了單只股票與股指期貨套期保值在給定出清時間內(nèi)的同步出清問題,得到出清軌跡。

    參數(shù)分析表明:當(dāng)風(fēng)險厭惡程度較大時,投資者傾向于在出清初期出清較大規(guī)模的頭寸,以降低后期的風(fēng)險;組合標(biāo)準(zhǔn)差越大,則出清軌跡下移,投資者在出清初期更傾向于出清更多的頭寸以降低波動風(fēng)險;當(dāng)ρ>0,隨套期保值比的增加,投資者更傾向于緩慢的出清過程,當(dāng)ρ<0則相反;在給定套期保值比的情況下,出清速率與相關(guān)系數(shù)呈反向變化。

    由于采用股指期貨進(jìn)行套期保值,使得組合標(biāo)準(zhǔn)差降低,起到平抑組合波動的作用,因而可以采取比無套期保值情況下更為緩慢的出清過程。

    參考文獻(xiàn):

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    [18] 唐衍偉.算術(shù)布朗運(yùn)動下股指期貨套期保值離散出清策略[J].系統(tǒng)工程理論實(shí)踐, 2012.

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