淺談高中數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用

薛映霞

新課標(biāo)對(duì)高中數(shù)學(xué)提出了新的要求，要求學(xué)生通過(guò)學(xué)習(xí)提高數(shù)學(xué)知識(shí)的實(shí)際運(yùn)用能力，能通過(guò)思維的創(chuàng)造性和建模能力來(lái)運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)，通過(guò)問(wèn)題的現(xiàn)象看到實(shí)質(zhì)，把實(shí)際問(wèn)題看成數(shù)學(xué)問(wèn)題中的一個(gè)模型，利用解決數(shù)學(xué)的各種方法使實(shí)際問(wèn)題獲得解決。培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模思想，不僅能使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握按照數(shù)學(xué)思想的類(lèi)型分成一個(gè)個(gè)模塊，還能激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的熱情，通過(guò)對(duì)建模思想的認(rèn)真探索培養(yǎng)自己良好的道德品質(zhì)，不畏艱難的意志和要學(xué)好數(shù)學(xué)的決心。

一、數(shù)學(xué)建模的涵義

在把實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)模型的創(chuàng)建時(shí)，實(shí)質(zhì)就是把實(shí)際問(wèn)題中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)知識(shí)提取出來(lái)，形成一個(gè)具有實(shí)際意義的數(shù)學(xué)模型，運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言和數(shù)學(xué)公式對(duì)這個(gè)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行研究探索，進(jìn)而達(dá)到解決實(shí)際問(wèn)題的目的。教師在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模意識(shí)時(shí)，就要提高學(xué)生分析數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力，通過(guò)把實(shí)際問(wèn)題抽象簡(jiǎn)化成為數(shù)學(xué)問(wèn)題，利用學(xué)生已有的知識(shí)進(jìn)行解決。數(shù)學(xué)建模從本質(zhì)上說(shuō)就是進(jìn)行一系列的發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、解決問(wèn)題的過(guò)程，這個(gè)過(guò)程對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力要求很高，學(xué)生必須具備敏銳的觀(guān)察力和分析力，能把實(shí)際問(wèn)題與自己掌握的數(shù)學(xué)模型相聯(lián)系，然后進(jìn)行提取，在數(shù)學(xué)世界中解決實(shí)際問(wèn)題，最后把結(jié)果再帶入問(wèn)題中進(jìn)行驗(yàn)證。

二、數(shù)學(xué)建模基本過(guò)程

（一）問(wèn)題分析

數(shù)學(xué)模型就是現(xiàn)實(shí)世界中的問(wèn)題同數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行聯(lián)系的工具，最初在進(jìn)行數(shù)學(xué)建模時(shí)，就是要把實(shí)際問(wèn)題用數(shù)學(xué)語(yǔ)言和數(shù)學(xué)符號(hào)進(jìn)行表述。在把現(xiàn)實(shí)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)模型時(shí)，學(xué)生要充分對(duì)這個(gè)問(wèn)題進(jìn)行了解，了解問(wèn)題的成因和背景，把對(duì)解決問(wèn)題能提供幫助的數(shù)據(jù)都收集起來(lái)，以更好地對(duì)問(wèn)題進(jìn)行抽象和概況。

（二）合理的簡(jiǎn)化假設(shè)

在實(shí)際的生產(chǎn)和生活中，往往受到各方面因素的影響，要解決的問(wèn)題是時(shí)刻變化的，在解決這種多變問(wèn)題時(shí)，要把問(wèn)題進(jìn)行合理假設(shè)，通過(guò)假設(shè)把問(wèn)題簡(jiǎn)單化，然后運(yùn)用數(shù)學(xué)模型進(jìn)行解決。在進(jìn)行假設(shè)時(shí)，要根據(jù)問(wèn)題的背景進(jìn)行合理假設(shè)，假設(shè)進(jìn)行得合理，通過(guò)運(yùn)用數(shù)學(xué)建模思想這個(gè)問(wèn)題就能獲得解決；如果假設(shè)不合理或者假設(shè)沒(méi)有根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行，那么可能利用數(shù)學(xué)建模求解出來(lái)的答案就不適合實(shí)際問(wèn)題，這就是一個(gè)不成功的建模過(guò)程。所以，學(xué)生在進(jìn)行建模思想的運(yùn)用時(shí)，一定要根據(jù)事實(shí)進(jìn)行假設(shè)，才能得出合理有效的解決問(wèn)題的方法。

（三）建立模型

通過(guò)假設(shè)，把實(shí)際問(wèn)題中的相關(guān)變量之間建立等量關(guān)系，從而建立數(shù)學(xué)問(wèn)題。在建立模型時(shí)，學(xué)生要根據(jù)從實(shí)際問(wèn)題中提取出的常量和變量建立合適的數(shù)學(xué)模型，使問(wèn)題能獲得解決。在建立數(shù)學(xué)模型時(shí)我們要遵循以下原則：有簡(jiǎn)單方法時(shí)一定要用簡(jiǎn)單方法，能運(yùn)用初等工具時(shí)一定要用初等工具，一定要使建立的模型最簡(jiǎn)單，最易解決。

（四）求解數(shù)學(xué)模型

數(shù)學(xué)模型建立之后，接下來(lái)就是要對(duì)所建立的模型求解。在求解過(guò)程中，要使用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，使數(shù)學(xué)模型在簡(jiǎn)單有效的方法下獲得解決。如果遇到的問(wèn)題比較復(fù)雜，通過(guò)一般的數(shù)學(xué)工具解決不了，那么就可以在事實(shí)的基礎(chǔ)上對(duì)所建立的模型進(jìn)行細(xì)微變化，使模型獲得解決。

（五）模型分析、檢驗(yàn)、修改與推廣

所建數(shù)學(xué)模型求解出來(lái)之后，就要把求得的結(jié)果帶入實(shí)際問(wèn)題中進(jìn)行分析檢驗(yàn)，以驗(yàn)證所得的答案是否能滿(mǎn)足現(xiàn)實(shí)要求，并將不合理的結(jié)果進(jìn)行修改。

案例：教師在對(duì)不等式進(jìn)行講解時(shí)，先讓學(xué)生回憶在探究|x|=3的幾何意義時(shí)運(yùn)用了數(shù)學(xué)中的數(shù)軸，之后提出|x|>3和|x|<3的幾何意義是什么？

教師通過(guò)數(shù)軸來(lái)引入不等式意義的探究，這也是把數(shù)軸這個(gè)數(shù)學(xué)模型引入了課堂。假設(shè)x是數(shù)軸上的一個(gè)數(shù)，那么當(dāng)它在哪個(gè)范圍內(nèi)取值時(shí)|x|>3，在哪個(gè)范圍內(nèi)取值時(shí)|x|<3，這就需要學(xué)生通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型進(jìn)行問(wèn)題的解決。然后學(xué)生通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型，最后得出|x|>3和|x|<3的取值范圍，理解了它們的幾何意義。

這個(gè)案例是運(yùn)用學(xué)生學(xué)過(guò)的知識(shí)對(duì)新知識(shí)進(jìn)行建模，通過(guò)建模讓學(xué)生能更清楚、更深刻地理解了不等式的幾何意義。可見(jiàn)數(shù)學(xué)建模思想的運(yùn)用能促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)，在不斷提高數(shù)學(xué)建模思想的過(guò)程中，學(xué)生的數(shù)學(xué)能力也在不斷提高。

數(shù)學(xué)建模除了可以讓學(xué)生能更好地接受新知識(shí)以外，還常用來(lái)解決生活中的實(shí)際問(wèn)題。

三、高中常見(jiàn)數(shù)學(xué)應(yīng)用模型

（一）函數(shù)模型

我們可以從生活中很多現(xiàn)象中抽象出函數(shù)模型，例如，如何控制才能使用水量達(dá)到最低？如何能使工廠(chǎng)的收入最高？如何使生產(chǎn)化肥的工廠(chǎng)用原材料最省等等。這些問(wèn)題都能通過(guò)函數(shù)模型進(jìn)行解決。

（二）數(shù)列模型

數(shù)學(xué)中的數(shù)列主要應(yīng)用在從特殊到一般來(lái)進(jìn)行研究的問(wèn)題中，利用數(shù)列模型可以解決我們生活中的很多問(wèn)題。例如，銀行利率的增長(zhǎng)率是多少？我國(guó)每年人口出生率是多少？細(xì)胞分裂的速度是多少等等諸多問(wèn)題。

（三）不等式模型

在最值問(wèn)題的求解時(shí)常用到這個(gè)模型，通過(guò)從實(shí)際問(wèn)題中概括出來(lái)數(shù)學(xué)式子，然后再運(yùn)用解不等式的方法獲得最值。

（四）解析幾何模型

解析幾何模型在一些建筑中比較常見(jiàn)，例如拱形橋的修建中就設(shè)計(jì)到了解析幾何的模型。把拱形橋中涉及的數(shù)學(xué)問(wèn)題分析、概括出來(lái)，就能運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言解決拱形橋中的拱高和半徑等問(wèn)題。

（五）排列、組合模型

排列組合模型的應(yīng)用很廣泛，在很多現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中都可以運(yùn)用到這個(gè)模型。

（六）概率模型

在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生需要了解概率模型。概率模型是從具有不確定事件中提取出來(lái)的數(shù)學(xué)模型，通過(guò)解決概率模型問(wèn)題來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題中的幾率問(wèn)題。

生活中存在數(shù)學(xué)模型的現(xiàn)象很多，學(xué)生在日常生活中要養(yǎng)成對(duì)事物進(jìn)行深入分析的習(xí)慣，善于把實(shí)際問(wèn)題的本質(zhì)提取出來(lái)，把現(xiàn)實(shí)問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)模型，從而獲得問(wèn)題的解決。

通過(guò)數(shù)學(xué)建模，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題能從整體上進(jìn)行深入理解和研究。學(xué)生把數(shù)學(xué)模型應(yīng)用到現(xiàn)實(shí)生活中，能激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)探索的興趣，同時(shí)運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)能解決他們身邊的遇到的問(wèn)題，這就能大大激發(fā)學(xué)生要學(xué)好數(shù)學(xué)的決心。

（責(zé)編 張景賢）