斜井井間地震高斯射線束正演方法

魏崢嶸，李輝峰，范廷恩，李文潔

(1．西安石油大學地球科學與工程學院，陜西 西安710065;2．中海油研究總院，北京100027)

隨著油田勘探開發(fā)的深入，尤其是現(xiàn)階段非常規(guī)油氣勘探的發(fā)展，要求進一步提高地震勘探的精度。井間地震方法可以有效地避免地面環(huán)境和表層低速帶對高頻地震信號的不利影響，可以接收到高信噪比的高頻地震信息。同樣由于觀測系統(tǒng)的特殊性，使其可以獲得多種類型的地震波，如反射波、透射波、折射波(首波)、直達波(初至波)以及管波等［1-2］。基于上述井間地震特點，井間地震勘探在油氣勘探開發(fā)中具有非常重要的作用。

如今，油氣開發(fā)技術已達到很高水平，用于開展井間地震勘探的井多為斜井、叢式井、水平井，若兩井軌跡不在同一平面上，使得本為二維的井間地震問題變?yōu)榱巳S問題，如圖1。

常規(guī)正演方法在精度上和速度上都不能很好地滿足實際生產需要。射線追蹤法包括試射法、彎曲法、波前法［3-4］，其優(yōu)點在于簡單直觀，計算速度較快，所得地震波傳播時間比較準確，但缺少地震波的動力學信息，而且對復雜地質構造會出現(xiàn)盲區(qū)［5］。波波動方程法雖然具有動力學特征，但是部分僅適用于簡單的地質模型，且計算速度很慢，時效性差［6］。

圖1 不共面斜井三維示意圖Fig．1 3D schematic diagram of non-coplanar inclined well

高斯射線束方法將波動方程法和射線追蹤法很好地結合起來，其正演結果既有地震波的運動學特征又有動力學特征，且計算速度非?？?。目前，高斯射線束正演方法僅用于地面地震及VSP正演，國內外尚未見到有關斜井井間地震高斯射線束正演的文獻。本文在推導斜井井間地震高斯射線束正演算法的基礎上，在VC和Qt環(huán)境下編制了斜井井間地震高斯射線束正演程序，利用該程序對多種斜井井間地質模型進行了正演，進而將本算法的結果與成熟的運動學正演和動力學正演結果進行對比，證實了本文算法的優(yōu)越性。

1 斜井井間地震高斯射線束正演方法原理

高斯射線束正演是將波場分解到具有一定頻率范圍的射線束上實現(xiàn)地震波場的數(shù)值模擬，它是將動力學方程集中在射線附近的高頻漸近時間調和解。高斯射線束正演包括運動學射線追蹤、動力學射線追蹤和波場疊加3個階段。斜井井間地震高斯射線束正演如圖2，從震源出發(fā)的高斯射線束就像一個以射線為中心的射線管，它的能量在中心射線附近呈高斯分布。檢波點R處的波場就是由震源發(fā)出的多個射線束能量疊加得到的［5］。運動學射線追蹤主要用來計算中心射線的運動軌跡，動力學射線追蹤是將每條射線傳播至接收井時能量的大小記錄下來，最后通過波場疊加獲得每一個檢波點處能量的分布情況，把所有高斯射線束對檢波點的貢獻疊加形成最終的合成記錄［6］。

圖2 斜井井間地震高斯射線束原理示意圖Fig．2 Schematic diagram for the crosswell seismic Gaussian beam of inclined well

高斯射線束是指彈性動力學方程集中于射線附近的高頻漸近時間調和解，該解在頻率域具有如下表達形式

式中:ω 為圓頻率;t為時間參量;UP(s，n，ω，t)是 P波位移［6］。

圖2(b)中α(s)為波沿中心射線的傳播速度。

射線的相前曲率

K(s)= α(s)Re［p(s)/q(s)］。

射線的有效半寬度

p(s)、q(s)為隨著波沿射線的傳播而變化的兩復值函數(shù)，滿足

在式(1)中A(s)函數(shù)是指波沿中心射線的振幅。在層狀模型中，假設射線從震源S0出發(fā)，穿過N個地層界面之后再反射回到接收點R處，振幅為

式中:Ri為界面的透射或者反射系數(shù)，Q為地震波與界面的交點，ρ為介質的密度，入射射線與生成射線與界面切線方向的夾角為αi和βi，如圖2(c)所示。

除中心射線的距離n外另一個影響P波位移相位的是 s，在中心射線上，延時為 τ(s)=

從式(1)還可以得出沿射線的p、q還必須滿足下列條件:q(s)≠0，使得

2 井間地震高斯射線束正演合成地震記錄方法

通過高斯射線束運動學追蹤，獲得沿中心射線附近的波動方程高頻近似P波位移分量在頻率域的表達式，然后將所有射線在檢波點處的能量疊加起來。因為彈性波動方程的線性性質，所以疊加近似滿足波動方程

式中:uφ為初始入射角φ的高斯束位移(式(1));(s，n)為與射線有關的射線中心坐標系中接收點R的坐標;Φ(φ)為與初始入射角φ有關的權函數(shù)。

如果式(4)中Φ(φ)已知，那么根據(jù)該公式可以求出介質中任意一點的波場。用式(4)的漸近值與二維線源波動方程精確解的漸近值比較來確定Φ(φ)，

式中:α0為震源處的波速［6］。

使用高斯波包法來合成地震記錄，假設震源函數(shù)為f(t)并且可積，其頻譜為

f(t)為高頻函數(shù)時可以保證高斯射線束法的高頻近似性。

設一子波函數(shù)

式中的fm，γ，v可根據(jù)需要選擇，f(t)對應具有高斯包絡的諧波載體，γ控制包絡的寬度，fm為其主頻率，該子波稱作高斯包絡子波。利用該子波形式，可以得到極端波包的近似表達式

為了實現(xiàn)復雜情況下斜井井間地震高斯射線束正演，筆者在推導了基本方法的基礎上，研制了復雜構造井間地震高斯射線束的正演算法，進而在Microsoft Visual Studio 6．0和 Qt環(huán)境下編寫了程序［9-10］，程序流程見圖3。

圖3 井間地震高斯射線束正演算法流程Fig．3 Flow chart for the forward algorithm of crosswell seismic Gaussian beam

3 井間地震高斯射線束正演方法的實現(xiàn)及結果分析

3．1 模型試驗

為了驗證算法和程序的性能，筆者對多種地質模型進行了試算，限于篇幅這里僅列出逆斷層模型(圖4(a))的正演結果。

圖4 斜井井間高斯射線束方法正演結果Fig．4 Forward result of crosswell seismic Gaussian beam of declined well

高斯射線束法正演的地震子波采用Gabor子波，子波主頻250 Hz，采樣間隔0．5 ms，觀測系統(tǒng)為左井激發(fā)，右井接收，檢波點數(shù)為200個，間隔5 m，激發(fā)位置見圖4(a)，第一個檢波點位于右井深度100 m處。

模型正演合成地震記錄(圖4(b))結果顯示:(1)合成地震記錄有透射波①、7組下行反射波②和2組上行反射波③，透射波與反射波時距曲線形態(tài)與理論計算相符。由于斷層的存在，上行反射波時距曲線出現(xiàn)斷開，能夠準確反映斷層模型運動學特征。(2)地震波能量和頻率有明顯的強、弱關系，具有明顯的動力學特征。(3)單炮在PC2．2 GHz微機上正演平均用時為6 s。證明高斯射線束方法及所編程序同樣適合斜井井間模型的正演模擬，能準確地表現(xiàn)出井間高斯射線束正演方法具有的運動學和動力學特征。

圖5 斜井斷層模型常規(guī)正演方法合成地震記錄Fig．5 Synthetic seismograms of fault model of declined well using different forward methods

3．2 方法對比

為了體現(xiàn)本方法的正確性和優(yōu)越性，筆者分別用模型分塊法［11］運動學正演方法和Tesseral波動方程正演軟件對圖4所示的斜井井間地質模型進行了相同參數(shù)運動學和動力學正演。將所得結果進行了對比。以下圖5(a)為模型分塊法運動學正演合成地震記錄，圖5(b)為波動方程動力學正演合成地震記錄。表1為3種正演方法單炮正演運算時間統(tǒng)計。

表1 單炮正演時間Tab．1 Single-shot forward time

高斯射線束法正演結果與圖5(a)運動學正演結果對比顯示，運動學正演因斷層的存在有明顯盲點，且頻率和能量沒有變化;與圖5(b)波動方程動力學正演結果對比，可以看出動力學特征與其基本一致。因為動力學正演是全波場正演，且采用的子波不同，所以在合成地震記錄上出現(xiàn)了多次波。表1單炮正演時間統(tǒng)計顯示，高斯射線束方法用于斜井井間地震正演模擬的速度優(yōu)于其他2種方法，時效性非常高。

3．3 斜井三維井間地震模型試驗

圖6為利用編寫的三維建模軟件實現(xiàn)的不共面斜井傾斜地層三維模型，炮點位于第三層，垂深500 m，2口斜井的軌跡在三維空間內不共面，這也是目前井間地震勘探的難點重點。通過對簡單三維模型(圖6(a))的實算，得出的地震波到達時與理論計算完全一致。在井不共面的情況下，檢波點接收到的地層反射波和透射波分布于界面的某一范圍，而不是在炮點與檢波點連線在界面的投影上，因此，檢波點接收到的射線數(shù)量有限。利用編寫的程序正演得到的射線路徑和合成地震記錄顯示，直達波及反射波時距曲線與共面斜井斜層相比會部分扭曲。在PC2．2 GHz微機上單炮正演平均用時為7 s，準確地表現(xiàn)出斜井井間高斯射線束正演方法具有的運動學和動力學特征。

圖6 三維斜井傾斜地層模型射線路徑及合成地震記錄Fig．6 Seam path and synthetic seismogram of tilt stratigraphic model of 3D declined well

4 結論

斜井井間地震高斯射線束正演方法能夠正確反映斜井井間地震地震波的運動學特征，并且具有十分清楚的地震波動力學特征，能夠清晰地反映地震波在介質中的傳播規(guī)律。所得結果與理論相符，證明該方法及所編軟件適用于斜井井間地震正演模擬，并且正演速度快，在斜井井間地震勘探開發(fā)領域有非常好的應用前景。

［1］ 何惺華．井間地震［M］．北京:石油工業(yè)出版社，2008:1-8，54-138．

［2］ 徐峰．地震勘探新技術［M］．北京:石油工業(yè)出版社，2009:148-156，191-200．

［3］ 鄧飛，劉超穎．三維射線快速追蹤及高斯射線束正演［J］．石油地球物理勘探，2009，44(2):158-165．DENG Fei，LIU Chao-ying．3-D rapid ray-tracing and Gaussian ray-beam forward simulation［J］．Oil Geophysical Prospecting，2009，44(2):158-165

［4］ 張釙，劉洪，李幼銘．射線追蹤方法的發(fā)展現(xiàn)狀［J］．地球物理學進展，2000，15(1):36-45．ZHANG Po，LIU Hong，LI You-ming．The situation and progress of ray tracung method research［J］．Progress In Geophysics，2000．3，15(1):36-45．

［5］ 竇玉坦，郭常升，毛中華，等．井間地震波動方程正演數(shù)值模擬及其應用［J］．地球物理學進展，2007，22(6):1867-1872．DOU Yu-tan，GUO Chang-sheng，MAO Zhong-hua，et al．The wave equation forward numerical simulation and application in crosswell seismic［J］．Progress in Geophysics，2007，22(6):1867-1872．

［6］ Cerveny V．Synthetic body wave seisnograms for laterally varying structures by the Gaussian beam method［J］．Geophys，1983，73:389-426．

［7］ Ross N Hill．Gaussian beam migration［J］．Geophysics，1990，55:1416-1428．

［8］ 周熙襄，劉學才，蔣先藝．二維高斯射線束地震模型［J］．石油地球物理勘探，1991，26(4):452-464．ZHOU Xi-xiang，LIU Xue-cai，JIANG Xian-yi．Seismic model made by two-dimensional Gaussian beam method［J］．Oil Geophysical Prospecting，1991，26(4):452-464．

［9］ David Kincaid，Ward Cheney．數(shù)值分析［M］．王國榮，譯．北京:機械工業(yè)出版社，2005:276-296．

［10］William H Press，Saul A Teukolsky．C 數(shù)值算法［M］．傅祖蕓，趙梅娜，譯．北京:電子工業(yè)出版社，2004:92-95．

［11］徐果明，衛(wèi)山，高爾根，等．二維復雜介質的塊狀建模及射線追蹤［J］．石油地球物理勘探，2001，36(2):213-219．XU Guo-ming，WEI Shan，GAO Er-gen，et al．Block model building and ray-tracing in 2-D complicated medium［J］．Oil Geophysical Prospecting，2001，36(2):213-219．