淺析混合氣體溫度的分子動(dòng)力學(xué)

霍穎柳，蘇妙蘭，卜壽亮，黃真賢，劉玉峰，陳 彪，朱姍姍

(嘉應(yīng)學(xué)院物理與光信息科技學(xué)院，廣東梅州514015)

0 引言

根據(jù)經(jīng)典分子動(dòng)力學(xué)理論［1，2］，物質(zhì)的溫度與構(gòu)成物質(zhì)的原子或分子無(wú)規(guī)則熱運(yùn)動(dòng)的劇烈程度密切相關(guān).物質(zhì)的溫度越高，相應(yīng)的原子或分子的熱運(yùn)動(dòng)越快;反之，物質(zhì)的溫度越低，相應(yīng)的原子或分子的熱運(yùn)動(dòng)越慢.目前，人們想當(dāng)然地認(rèn)為，質(zhì)量相同、溫度分別為T(mén)1、T2的同種類(lèi)的氣體，所含的分子N1、N2仍然相等，且它們混合后，達(dá)到平衡時(shí)的溫度是它們?cè)瓉?lái)溫度之和的一半.那為什么會(huì)得出這樣的結(jié)果呢?那是因?yàn)槿藗兌颊J(rèn)為:兩質(zhì)量相同、溫度分別為T(mén)1、T2的同種類(lèi)的氣體的分子數(shù)相同，即N1=N2=N，

則分子平均平動(dòng)動(dòng)能分別為［3～6］:

則氣體的分子總動(dòng)能為:

將溫度分別為T(mén)1、T2的同種類(lèi)的氣體混合，設(shè)它們混合后的分子總動(dòng)能為為混合后的分子平均平動(dòng)動(dòng)能).

由能量守恒可知，混合前的分子總動(dòng)能與混合后的分子總動(dòng)能相等，所以有

即

由于混合后的分子平均平動(dòng)動(dòng)能為:

我們發(fā)現(xiàn)，眾多的國(guó)內(nèi)、外教材都想當(dāng)然地認(rèn)為結(jié)果如上所述，幾乎所有的老師和學(xué)生也都對(duì)此深信不疑.

然而，根據(jù)狹義相對(duì)論［7，8］，物質(zhì)的質(zhì)量隨速率的變化而變化，故對(duì)于相同宏觀質(zhì)量，不同溫度的同種氣體，溫度高意味著具有更大的平均分子運(yùn)動(dòng)速率，相應(yīng)分子運(yùn)動(dòng)質(zhì)量也會(huì)隨之變大，反之，溫度低時(shí)，相應(yīng)的運(yùn)動(dòng)速率變小，分子運(yùn)動(dòng)質(zhì)量也將隨之變小.于是，我們可以知道不同溫度的同種氣體在宏觀質(zhì)量相同的情況下，分子的數(shù)目應(yīng)該不相同，因此推出T=(T1+T2)/2的結(jié)論的前提已不再成立了.本項(xiàng)目將結(jié)合分子動(dòng)力學(xué)和狹義相對(duì)論，對(duì)此問(wèn)題進(jìn)行探索、分析和論證.

1 計(jì)算在相同質(zhì)量、不同溫度下同種氣體所含的分子數(shù)

我們先取質(zhì)量同為M，溫度分別為T(mén)1、T2的同種氣體，假設(shè)氣體都處于熱平衡狀態(tài)，根據(jù)麥克斯韋速率分布律［3～6］，有

根據(jù)狹義相對(duì)論［4］:

當(dāng)v∈(0，c)時(shí)，上式有意義.

由(2)式質(zhì)速方程我們知道，分子的質(zhì)量是隨著分子運(yùn)動(dòng)速率的變化而變化，而麥克斯韋速率分布函數(shù)即(1)式是在分子的質(zhì)量不變的情況下得到的，所以麥克斯韋速率分布函數(shù)中的歸一化常數(shù)C將發(fā)生變化.我們對(duì)麥克斯韋分布速率函數(shù)(1)式進(jìn)行修正有:

其中，C0(T)是新的歸一化常數(shù).

設(shè)m0為單個(gè)氣體分子的靜止質(zhì)量，N為總的分子數(shù)，根據(jù)麥克斯韋速率分布律，處在速率為v～v+dv區(qū)間內(nèi)的氣體分子總質(zhì)量為

將(3)式代入(5)式得

由速率分布函數(shù)的歸一化條件可得

所以，新的歸一化常數(shù)C0(T):

將(2)式代入(6)式得

根據(jù)(9)式，畫(huà)出下圖1所示的曲線，該曲線形象地描述出氣體分子數(shù)N與溫度T之間的關(guān)系:隨著溫度的變化，氣體的分子數(shù)也在不斷變化.而不是人們所認(rèn)為的那樣:質(zhì)量相同的氣體無(wú)論溫度如何改變，分子數(shù)都不變.

2 在狹義相對(duì)論的基礎(chǔ)上重新建立更為精確的溫度微觀表達(dá)式

由分子動(dòng)力學(xué)理論中的溫度微觀表達(dá)式可知，氣體分子的平均平動(dòng)動(dòng)能只與溫度有關(guān)，并與熱力學(xué)溫度成正比，即:，則對(duì)于速率在o～ c范圍內(nèi)的氣體分子的平均平動(dòng)動(dòng)能為

由(2)、(3)、(10)式，我們可得到更為精確的溫度微觀表達(dá)式所應(yīng)滿足的方程如下:

3 物質(zhì)混合前后溫度的變化規(guī)律

假設(shè)同種氣體的溫度分別為T(mén)1、T2，總分子數(shù)分別是N1、N2，則它們的分子平均平動(dòng)動(dòng)能分別為

混合前的同種氣體分子總動(dòng)能為

令N1=λN2，因?yàn)槲覀儚那懊娴腘－T圖像可知，在不同溫度下，質(zhì)量相同的同種氣體所含分子數(shù)不同，即令N1≠N2，所以λ≠1.

將N1=λN2代入(13)式可得:

進(jìn)而，由于T1≠T2，λ≠1，

即

故

4 結(jié)論

本文首先論證了質(zhì)量相同、溫度分別為T(mén)1、T2的同種氣體的分子數(shù)不相同，推翻了T=(T1+T2)/2成立的前提條件，進(jìn)而經(jīng)過(guò)進(jìn)一步的推導(dǎo)，證明出混合達(dá)到熱平衡后的溫度T≠(T1+T2)/2.同時(shí)，在此基礎(chǔ)上建立了更加精確的溫度微觀表達(dá)式所應(yīng)滿足的方程.

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