高中生數(shù)學解題錯誤探析及其矯正研究

●馬文杰

高中生數(shù)學解題錯誤探析及其矯正研究

●馬文杰

高中生在數(shù)學解題中出現(xiàn)的各種錯誤有一定的必然性與合理性，并具有重要的教學價值，是在數(shù)學教學過程中可資借鑒的重要的教學資源之一。面對高中生在解題中出現(xiàn)的形形色色的錯誤，在數(shù)學教學中教師應該持有積極的態(tài)度，運用科學的方法引導學生分析產(chǎn)生錯誤的認識根源，揭示錯誤的類型與程度，探究相應的矯正方法，并通過必要的正誤對比，逐步加深學生對錯誤解法的認識，及其對正確解法的理解。在綜合相關研究的基礎上，提出了矯正高中生數(shù)學解題錯誤的4條教學策略。

高中生；數(shù)學解題錯誤；認識根源；矯正策略

解題是高中數(shù)學教學與數(shù)學學習的重要活動之一，在解題過程中學生難免會出現(xiàn)各種各樣的錯誤。不少高中數(shù)學教師對學生在解題中出現(xiàn)的錯誤缺乏正確的認識與足夠的重視，對其解題錯誤的分析與矯正往往乏善可陳，缺乏效果。在教學過程中有時候會出現(xiàn)教師辛辛苦苦地糾錯，學生依然故我地出錯的尷尬局面。心理學家蓋耶（A.Guyer）說：“誰不考慮嘗試錯誤，不允許學生犯錯誤，就將錯過最富有成效的學習時刻?！盵1]錯誤本身并不可怕，可怕的是無視學生的學習錯誤，或對學生的學習錯誤持有消極的態(tài)度與錯誤的對待方式，比如在教學過程中對學生學習錯誤的嚴重忽視，或者片面化歸因與簡單化處理，等等。在教學中教師如果能夠以積極的態(tài)度和科學的方式對待學生在數(shù)學學習（包括解題過程）中出現(xiàn)的各種錯誤，必能使學生的數(shù)學學習錯誤發(fā)揮出其應有的教育價值。本文綜合高中生解題錯誤的相關研究，并在教學實踐的基礎上對高中生數(shù)學解題錯誤的原因進行深入探析，并提出相應的矯正策略。

一、在教學中對學生數(shù)學學習（解題）錯誤常見的認識誤區(qū)

在平常的數(shù)學教學活動中，在對待學生學習過程中出現(xiàn)的錯誤上，有些教師還存在一些誤區(qū)：[2]（1）粗暴對待錯誤；（2）沒有足夠耐心；（3）害怕學生出錯；（4）通過反復訓練糾正錯誤。另外，我們認為教師在對待學生數(shù)學學習過程中出現(xiàn)的錯誤上還存在以下誤區(qū)：（1）對數(shù)學學習錯誤歸因的簡單化、片面化、表面化與靜態(tài)化，沒有認識到學生在數(shù)學學習過程中出現(xiàn)的錯誤的歷史性、復雜性、多樣性、反復性、個體性、群體性，以及動態(tài)性，更沒有認識到學生在數(shù)學學習中所出現(xiàn)的某些錯誤的必然性與合理性。比如把學生數(shù)學學習（解題）錯誤總是簡單地歸結為：學習不積極、聽課不認真、解題不仔細，等等；（2）對數(shù)學學習錯誤的簡單否定，及其錯誤矯正方式的直接化與簡單化，和由此導致的錯誤矯正的低效性與無效性。比如很多教師糾正學生解題錯誤的方式就是在課堂教學中把正確解法直接講解一遍，缺乏對錯誤根源的探析，正誤解法的必要對比，以及適當?shù)淖兪骄毩暎瑢W生改正解題錯誤很多時候也只是把老師講解的“正確解答”依葫蘆畫瓢地重新書寫一遍，缺乏對錯解的深入分析與必要反思，等等；（3）缺乏對數(shù)學學習（解題）錯誤及其教育價值的辯證認識。只看到數(shù)學學習（解題）錯誤的惡的一面，比如數(shù)學學習（解題）錯誤對學生數(shù)學學習的干擾與阻滯，等等，而看不到其善的一面，比如數(shù)學學習（解題）錯誤的合理性、資源性價值與可利用性，及其數(shù)學學習（解題）錯誤對學生數(shù)學思維特征與數(shù)學思維水平的揭示，對數(shù)學教學的診斷與反饋功能，等等。

二、對高中生數(shù)學解題錯誤應持有的基本認識

陳丹（2006年）[3]認為教師對學生學習過程中出現(xiàn)的錯誤應該持有以下一些基本的態(tài)度：（1）尊重學生的見解；（2）幫助學生比較不同觀念；（3）要有足夠的耐心；（4）要懂得學生的心理；（5）幫助學生形成對待學習錯誤的積極態(tài)度。

我們認為對待高中生數(shù)學解題錯誤應該持有以下的基本認識：（1）數(shù)學解題錯誤具有一定的必然性與合理性。由于高中數(shù)學的抽象性、嚴謹性，以及知識容量大，習題難度高（題目類型多，解題技巧強，計算量大，等等）等特點，和高中生認知發(fā)展的不平衡性與個體差異性等，因此，一直以來數(shù)學都是高中各科中較為難學的一門學科，也是較易造成兩極分化的一門學科。另一方面，在數(shù)學發(fā)展的歷史過程中，許多數(shù)學家也犯過形形色色的錯誤，現(xiàn)在來看，當時的數(shù)學家所犯的有些錯誤堪稱“低級”，但由歷史相似性原理可知，高中生在數(shù)學學習過程中也會在一定程度上“重蹈歷史覆轍”，因此，他們在數(shù)學學習（解題）中所發(fā)生的各種錯誤有一定的必然性與合理性；（2）數(shù)學解題錯誤的資源性價值與可利用性。學生在解題中出現(xiàn)的各種錯誤并不是一無是處，而是具有重要的教育價值。如果教師在數(shù)學教學過程中能夠充分發(fā)掘與有效利用學生的各種錯誤資源，完全可以實現(xiàn)變廢為寶。有些解題錯誤具有一定的偶發(fā)性，是由粗心大意或一時疏漏所造成的，對這類偶發(fā)性的錯誤完全可以通過引導學生認真分析題意，仔細運算或進行適當?shù)慕忸}檢驗等解決。有些解題錯誤包含一定的正確因素，在教學過程中進行錯誤分析時既要指出其錯誤之處，分析其錯誤的性質，又要積極利用其正確因素，合理構建糾錯過程，使學生對其解題錯誤的認識更加辯證、全面、深入和客觀。有些解題錯誤具有典型性、普遍性與根本性，比如題目類別的錯誤識別、解題方向的錯誤確定、解題方法（策略）的不當選擇、數(shù)學性質的錯誤運用，等等。對此類具有一定普遍性與根本性的錯誤，在教學過程中應該引導學生在獨立思考，或共同探究與討論的基礎上，從認識根源上揭示錯解的根本原因，以及錯誤的性質與程度，提出相應的矯正方法，并通過必要的正誤對比加深學生對正確解題方法的認識與理解；（3）數(shù)學解題錯誤的教學診斷功能。不管學生的解題過程與解題結果正確與否，都能揭示有關數(shù)學教學與數(shù)學學習過程的大量信息。比如普遍性和典型性的解題錯誤可以揭示學生在數(shù)學認知上存在的普遍性問題，偶發(fā)性和個別性錯誤可以揭示個別學生的認知特點與不足，等等。在備課前通過專門設計的測試題，及其對學生解答過程的正誤分析，可以較為準確地了解其已有的知識儲備，認知特點和思維水平，為教學預設與教學定向奠定堅實的基礎。在教學過程中，學生所出現(xiàn)的各種理解錯誤，包括解題錯誤，可以為教學效果的及時診斷與教學過程的即時調整提供基本依據(jù)，而在課后教師還可以通過專門設計的測試題，或者有針對性的作業(yè)等對教學效果進行進一步的檢驗，這可為后續(xù)教學的調整與改變提供更為全面和深入的依據(jù)?？傊?，不論是哪一種數(shù)學學習（解題）錯誤，都能在一定程度上揭示學習者的知識貯備、認知特點、思維水平，以及非智力因素等方面的重要信息。

三、對高中生數(shù)學解題錯誤（失敗）的原因探析

吳茜（2011年）[4]認為對高中生數(shù)學解題失敗的成因及矯正策略的分析，具有以下的基本意義：（1）使教師的教學過程更具有針對性；（2）有助于揭示學生解題的思維過程；（3）有助于發(fā)展學生的自我批判能力；（4）有助于增強學生學習的自信心；（5）有助于完善數(shù)學認知結構，并認為高中生在數(shù)學解題中失敗的主要原因有：[5]（1）已有知識不充足；（2）概念理解不透徹；（3）公式掌握不到位；（4）解題反思不到位；（5）最初審題不細致；（6）不善歸納與整理；（7）數(shù)學學習習慣方面；（8）數(shù)學解題心理方面。胡望秋（2007年）[6]認為造成初中學生解題錯誤的干擾主要來自以下兩方面：（1）小學數(shù)學的干擾；（2）初中數(shù)學前后知識的干擾，并提出了相應的應對策略：（1）課前準備要有預見性；（2）課內講解要有針對性；（3）課后講評要有總結性。

綜合吳茜（2011年）、[7]胡望秋（2007年）[8]等有關學生解題錯誤的研究，我們認為高中生數(shù)學解題錯誤的基本原因從大的方面可以概括為：（1）數(shù)學教材本身的原因。比如高中數(shù)學教材的抽象性與嚴謹性等都比較高，知識容量比較大，對數(shù)學知識（方法）多以簡縮化、靜態(tài)化的方式呈現(xiàn)，缺乏對數(shù)學思維過程的有效揭示，等等。另外，數(shù)學課程在素材選擇、內容安排與組織等方面的缺陷與不足，又進一步加大了學生在數(shù)學學習中出錯的可能性。另一方面，在數(shù)學發(fā)展過程中當時的數(shù)學家所犯的各種錯誤，在高中生學習數(shù)學的過程中也會不同程度的“重現(xiàn)”，再加上高中生認知水平與思維水平的差異性與不平衡性等特點，因此，從某種意義上來說，高中生在數(shù)學學習（包括數(shù)學解題）過程中發(fā)生一些錯誤，有一定的必然性與合理性；（2）數(shù)學教學過程本身的原因。比如教師對學生已有的數(shù)學知識基礎與數(shù)學思維水平了解不夠，教學準備不足，教學方法選擇不當，教材內容把握不準確，甚至對某些數(shù)學內容的理解有科學性錯誤，或者教學過程中的反饋與調節(jié)缺乏靈活性，等等，都會在一定程度上造成教學失誤。另外，“課堂教學是由多要素構成的復雜系統(tǒng)，系統(tǒng)的結構性和關系性決定著：盡管課堂教學作為有目的、有意識的教育活動，是必須也能夠進行預設的，但不可能完全像計算機輸出程序一樣按部就班且精密地運行，不可避免地帶有不確定和生成的性質。”[9]這樣學生在數(shù)學學習過程（包括數(shù)學解題活動）中出現(xiàn)一些錯誤也就“情有可原”了；（3）學生數(shù)學學習本身的原因。比如學生已有數(shù)學知識儲備不足，無法繼續(xù)學習新的內容，或者學生的認知水平遠遠低于學習內容的基本要求，難以理解新的數(shù)學內容，或者由于已有的數(shù)學知識產(chǎn)生的負遷移，對新知識的學習造成了嚴重干擾，等等。另外，數(shù)學學習錯誤（包括解題錯誤）也與學生的非智力因素密切相關，比如有些學生數(shù)學學習動機嚴重不足，缺乏學習動力，感受不到學習的樂趣，等等，這樣他（她）在數(shù)學學習過程中出現(xiàn)各種錯誤（包括解題錯誤）就更“不足為奇”了。

四、數(shù)學解題錯誤的基本類型

李允（2011）認為學生的錯誤大致可分為如下幾種類型：[10]（1）“認知過程中的錯誤和社會行為中的錯誤。認知過程中的錯誤是針對學習的內容所出現(xiàn)的各種問題；社會行為錯誤主要指違規(guī)違紀行為。”；（2）按照錯誤主體的多寡，可分為個體錯誤和群體錯誤。針對群體錯誤，教師應該反思自己的教學活動設計及其實施是否處于學生的最近發(fā)展區(qū)；（3）按照錯誤的不同性質，可將錯誤分為合理性錯誤和非合理性錯誤。合理性錯誤是指學生回答或表現(xiàn)出來的結果雖然不完全正確，但卻包含著合理性因素，而非合理性錯誤是指學生回答與表現(xiàn)結果，及其認知過程都不正確；（4）按照錯誤形成的原因，可將錯誤分為主觀性錯誤與非主觀性錯誤。主觀性錯誤是由學生自身的原因所造成的，而非主觀性錯誤是由學生主觀以外的其它要素影響所導致的錯誤。

陶君（2008年）[11]結合個人的實際教學經(jīng)驗，把高中生在數(shù)學學習中常見解題錯誤分為4類：（1）基礎不扎實；（2）思維不嚴密；（3）方法不得當；（4）解題不規(guī)范。黃興豐、程龍海（2003年）[12]將學生在幾何解題中的錯誤分為5類：（1）“閱讀理解（包括對圖形的理解）”錯誤；（2）“轉換”錯誤；（3）“加工技能”錯誤；（4）“策略選擇”錯誤；（5）“編碼”錯誤。并從心理學的角度總結了學生出錯的原因：（1）過強的動機、不正確的觀念是引起理解、技能選擇錯誤的主要因素；（2）知識基礎和認知圖式的缺陷是導致轉換、加工技能錯誤的主要因素；（3）策略選擇錯誤是由以上兩個因素共同引起的，因而成為影響問題解決的最大因素。

綜合解題錯誤的相關研究[13][14][15][16][17][18][19]，根據(jù)解題錯誤的性質，我們把高中生數(shù)學解題錯誤主要分為以下幾類：

（1）知識性錯誤。這里主要指解題者由于數(shù)學知識上的缺陷與不足所造成的各種錯誤。如誤解題意、概念混淆、公式法則的誤用，以及定理的錯用，等等；（2）邏輯性錯誤。這里主要指違反基本邏輯規(guī)則所產(chǎn)生的推理與論證錯誤。如，虛假論據(jù)、不能推出、偷換概念、循環(huán)論證、分類不當（比如在分類中出現(xiàn)子項交叉關系或從屬關系、分類層次混亂、分類標準不統(tǒng)一、以偏概全、忽視特例，等等）、不等價變換，等等。邏輯性錯誤主要表現(xiàn)為推理的無效性與虛假性。有些邏輯性錯誤比較明顯，易于分析，而有些邏輯性錯誤相對隱蔽，需要在解題教學中進行深入分析，才能揭示其錯誤；（3）策略性錯誤。由于解題方法或解題策略的錯誤選擇或不當運用，造成的解題錯誤或解題受阻。比如由于對題目類型的錯誤識別造成解題方法的選擇不當，或者由于對某種數(shù)學方法的錯誤認識而導致解題錯誤，比如以特殊驗證代替一般性論證，等等。有些解題方法或解題思路雖沒有本質錯誤，但解題過程過于曲折隱晦，或存在思維回路等，導致整個解題過程費時費力，且易于出錯，明顯違背解題的“經(jīng)濟性原則”、簡潔性原則與和諧性原則，尤其在各種數(shù)學考試中，即使最終勉強解題成功，也由于費時費力而造成“潛在失分”，也可以認為是解題策略選擇不當；（4）心理性錯誤。這里指解題者雖然具備了解決問題的必要數(shù)學知識與基本技能，但由于某些心理原因而產(chǎn)生的各種解題錯誤。比如看錯題、抄錯題、遺漏條件、書寫丟三落四、運算過程中的各種“低級錯誤”、答非所問，甚至在解答過程中遺漏對某些問題的解答，或者不按題目要求作答，以及無故變更問題，等等。尤其在各類數(shù)學考試中，由于考試焦慮等造成的各種“低級解題失誤”更是屢見不鮮。

五、高中生數(shù)學解題錯誤的矯正策略

胡望秋（2007年）針對初中學生解題錯誤提出的應對策略是：[20]（1）課前準備要有預見性。“預防錯誤的發(fā)生，是減少初中學生解題錯誤的主要方法”；（2）課內講解要有針對性。在課內講解時，對于容易混淆的概念，可以運用對比教學的方法，引導學生弄清它們的區(qū)別和聯(lián)系，及其本質特點。對于各種數(shù)學規(guī)律與數(shù)學性質，應當引導學生搞清它們的來源，分清它們的條件和結論，明白它們的基本用途和適用范圍，以及應用時應注意的問題。課堂提問與課堂練習是及時了解學生課堂學習情況的常用方法，對學生的錯誤回答與錯誤解答，要分析其產(chǎn)生的原因，并有針對性地提出矯正方法?？傊?，通過課堂教學，不僅要教會學生數(shù)學知識，而且要引導學生掌握識別錯誤、分析錯誤與改正錯誤的基本方法；（3）課后講評要有總結性。要認真分析學生作業(yè)中暴露出的各種問題，對其中的典型錯誤進行相應的分析與整理，并通過有針對性的作業(yè)講評，進行適當?shù)目偨Y，以達到鞏固學生數(shù)學知識、強化數(shù)學技能，以及提升數(shù)學能力的基本目的，并進一步增強學生識錯、析錯與改錯的基本方法與基本能力。

綜合羅增儒（2001）[21]胡望秋（2007年）、[22]陶君（2008年）[23]等的相關研究，我們認為為了有效矯正高中學生在數(shù)學解題中的各類錯誤，應該在平常的數(shù)學教學中注重以下方面：

（1）在平常的數(shù)學教學中進一步加強教學的針對性與有效性。應該根據(jù)學生的認知特點、思維水平、已有知識儲備、學習動機水平等進行科學合理的教學定位與教學定向，進一步加強教學預設的科學性與針對性。在教學過程中注重暴露思維過程，注重數(shù)學思想方法的教學，揭示數(shù)學概念、數(shù)學性質、數(shù)學思想方法的本質特點，并揭示不同數(shù)學知識、數(shù)學方法之間的本質區(qū)別和實質聯(lián)系。在教學過程中，可以通過教學觀察、課堂提問、課堂練習等方式積極收集各種教學反饋信息，并據(jù)此進行相應的教學調整。通過教學活動，引導學生在自己頭腦中建構起脈絡清晰、結構穩(wěn)定、普遍聯(lián)系的數(shù)學知識（方法）體系，這可以最大可能地減少學生在數(shù)學學習與數(shù)學解題中出現(xiàn)錯誤的可能性。

（2）在平常的數(shù)學教學和解題教學中把學生的數(shù)學學習錯誤與數(shù)學解題錯誤作為重要的教學資源，注重挖掘學生數(shù)學學習錯誤的教育價值?！芭c已經(jīng)定型的教材等外來資源相比，學生學習中產(chǎn)生的錯誤更貼近學生的實際，更能引起學生的興趣，更能促進其自我實現(xiàn)，因此學生的錯誤是更鮮活的教學資源?！盵24]在平常的教學中，應該積極收集與整理學生的各種典型性錯誤與普遍性錯誤，并把這些典型錯誤作為教學的切入點之一。教師對學生的各種數(shù)學學習（解題）錯誤應該有一定的預見能力，但沒有必要在教學過程中對學生錯誤處處設防，時時預警，以免擾亂學生自然的思維過程。對學生典型錯誤的分析應該自然地暴露其錯誤過程，“當錯誤暴露出來以后，教師應該盡量避免將之直接指出和予以糾正，因為這樣就剝奪了學生的反思機會。教師應當提供機會讓出錯的學生通過反思（或與同伴討論）自己發(fā)現(xiàn)并糾正錯誤。”[25]在教學中對學生數(shù)學學習錯誤（包括解題錯誤）矯正的關鍵是在共同討論和深入分析的基礎上，引導學生揭示錯誤的認識根源，及其錯誤的性質，探索相應的矯正方法，并配備一定的課堂練習與課后作業(yè)，使學生對正確的認識或解題方法能夠真正學到手。教師在每次糾錯的過程中都要引導學生在共同探究、討論交流的基礎上解決如下三個基本問題：①哪里出錯；②為何出錯；③怎么改正。

（3）對學生作業(yè)中出現(xiàn)的各種解題錯誤，教師可以在作業(yè)批改中進行適當批注或專門面批。在作業(yè)批改中，教師可以把學生的錯誤用批注等方式標記出來，比如指出錯誤的類型、性質及其錯誤的程度，并提出改正的基本要求，等等。也可以運用適當?shù)臅r機對學生作業(yè)進行當面批改，通過面對面的交流，教師對學生解題錯誤的認識根源，錯誤的性質，等等會有更加深入和全面的了解，可以進一步加強解題指導的針對性與有效性。另外，面批的過程也是師生交流的重要時機，有利于增進師生感情，也有利于激發(fā)學生的學習興趣與學習動機。

（4）注重全面發(fā)揮“糾錯本”的教育功能。對學生在平常的解題和考試中所出現(xiàn)的各種典型錯誤，應該引導學生利用“糾錯本”對自己的解題錯誤進行適當?shù)姆治雠c整理。在解題錯誤的分析與糾正過程中，主要應該引導學生分析錯題的認識根源、錯誤的性質，錯誤的類別、以及相應的矯正方法，并通過必要的正誤對比，加深對解題錯誤的認識，加強解題防錯能力，進一步強化對正確解法的認識，等等。此外，教師應該對學生錯解題的收集與整理工作，進行一定的“跟蹤”研究與督促檢查，以期對學生的改錯行為與改錯過程有更加深入與全面的了解，使學生的改錯過程真正落到實處，并充分發(fā)揮其應有的教育功能。

最后，我們要指出的是對學生在數(shù)學學習過程中出現(xiàn)的各種錯誤（包括解題錯誤），教師不能操之過急，更不能越俎代庖，而應該科學引導，并提供適當?shù)臋C會讓學生在獨立思考或共同探究的基礎上，自己去反思、發(fā)現(xiàn)與改進以幫助學生在思考解決問題的過程中掌握學習的方法，激發(fā)學生克服困難的勇氣并體驗問題解決后的成功感。

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（責任編輯：金傳寶）

馬文杰/華東師范大學博士研究生，主要研究方向為數(shù)學課程與教學論