基于DOA測量的多目標(biāo)位置信息場定位精度分析

馬賢同，羅景青

1.電子信息控制重點實驗室，合肥230037

2.電子工程學(xué)院，合肥230037

無源定位屬于被動定位，系統(tǒng)具有很好的隱蔽性，不易受到干擾和攻擊，是目前定位研究的主要方向。目前主要的無源定位技術(shù)中應(yīng)用的最廣泛的是：測向交叉定位法[1]和時差定位法[2-3]。很多學(xué)者對復(fù)合定位法進行了研究，主要包括聯(lián)合利用方位角與時間差信息的DT法[4]、聯(lián)合利用方位角與多普勒（Doppler）信息的DF法[5]等。

相較于上述定位方法，測向交叉定位法具有全方位、快速、探測距離遠、抗干擾能力強等優(yōu)點。在實戰(zhàn)中，偵察系統(tǒng)往往在同一時間面對的是空間多個輻射源的復(fù)雜電磁環(huán)境，有時需要對多個同類輻射源同時進行定位?，F(xiàn)有的諸多定位方法都是針對單目標(biāo)定位的，它們在進行定位計算之前，都要知道測量參數(shù)是關(guān)于某個確定目標(biāo)的。文獻[6]直接利用觀測站得到的方位數(shù)據(jù)，用尋找最大可能密度區(qū)域的方法來確定目標(biāo)的位置，但只研究了一個目標(biāo)的情況。而位置信息場定位法不需要對測量參數(shù)按目標(biāo)進行分類，同時確定目標(biāo)數(shù)目和目標(biāo)的位置。例如，對測得的一組方位角數(shù)據(jù)，不知道這些方位角數(shù)據(jù)是關(guān)于一個目標(biāo)的還是兩個目標(biāo)的或者更多目標(biāo)的，這時可用位置信息場定位法確定目標(biāo)數(shù)目和目標(biāo)的位置。在此基礎(chǔ)上，對基于DOA信息的位置信息場定位方法進行了精度分析，通過理論推導(dǎo)得到了定位誤差的協(xié)方差矩陣，運用橢圓概率誤差與定位誤差幾何分布來描述定位精度。研究結(jié)果為該類系統(tǒng)的技術(shù)作戰(zhàn)運用提供了理論支持。

1 目標(biāo)位置信息場定位法原理

定義在指定區(qū)域內(nèi)關(guān)于感興趣目標(biāo)或目標(biāo)群位置分布的函數(shù)，為目標(biāo)位置信息場函數(shù)，簡稱目標(biāo)位置信息場或位置信息場。目標(biāo)位置信息場是一個標(biāo)量場，是關(guān)于目標(biāo)或目標(biāo)群位置分布特征的一個描述。在二維平面或三維空間甚至更高維空間，關(guān)于目標(biāo)和目標(biāo)群的本體位置特征可用一個精確位置概率分布密度來表達：

其中，X表示所關(guān)心的可能存在目標(biāo)的位置，NT為目標(biāo)的個數(shù)，αi為在位置Xi存在目標(biāo)的相對可靠性因子，KX為歸一化系數(shù)，而δ(·)為犾拉克函數(shù)。

一般，式（1）很難得到，而可以得到的只是式（1）的一個估計。當(dāng)獲得了一批觀測（信號測量數(shù)據(jù)或測量參數(shù)集）Z后，由于觀測的有限時域特性和有限頻域特性，得到的結(jié)果是式（1）與一些函數(shù)的卷積：

式中，fX(X|Z)就是基于觀測Z的關(guān)于目標(biāo)的位置信息場函數(shù)，…，NT為當(dāng)目標(biāo)作為單目標(biāo)時Xi的估計結(jié)果，是Z的函數(shù)。是某個在X=處取極大值且只有一個極值的實函數(shù)。Z實際上是一觀測空間，它可以是任何與目標(biāo)位置有關(guān)的觀測值的集合，可以是多個觀測矢量的組合。之所以給出單目標(biāo)時的估計結(jié)果，是因為在多目標(biāo)情況，由于各目標(biāo)后驗概率密度函數(shù)的互相影響，其估計結(jié)果可能不再具有與式（1）相對應(yīng)的形式。

需要指出的是，式（1）中的Z可以是多個方位或方位和距離或功率或衰減因子及相關(guān)參數(shù)，也可以是到達時間、到達時間差、頻差、相位差、相位差變化率、方位變化率等等，當(dāng)然還可以是直接時域采樣數(shù)據(jù)[7]、直接頻域采樣數(shù)據(jù)[8]，甚至可以是位置取樣值本身。根據(jù)Z，求得fX(X|Z)，并從中分析出目標(biāo)的個數(shù)、目標(biāo)的位置的方法，稱之為位置信息場定位法[9]。

2 基于DOA測量的位置信息場定位法

2.1 觀測模型

一般，無論是無源定位，還是有源定位，總是靠多次測量與目標(biāo)位置有關(guān)的參數(shù)或信號后，對目標(biāo)位置進行確定（估計）的。對只測向定位（以方位角為例）而言，P個觀測站所得到的觀測值Z可描述成多個獨立測量的方位角矢量的組合：

其中M≥1，表示獨立觀測的次數(shù)。而相應(yīng)于zm的目標(biāo)“響應(yīng)”函數(shù)hm(XE)為：

其中，m=1，2，…，M，XE=(xE，yE)為目標(biāo)位置坐標(biāo)，XE可能是一個確知參量，也可能是多個確知參量，還可以是隨機參量。對于多目標(biāo)的情況，它可以是任意一個目標(biāo)的位置坐標(biāo)。以兩個目標(biāo)（用1和2表示）為例，(xE，yE)可能是目標(biāo)1的坐標(biāo)，也可能是目標(biāo)2的坐標(biāo)。式（4）中(xpm，ypm)，?p=1，2，…，P，為在獲得第m組測量值時觀測站p所對應(yīng)的位置。一般地，對陣列測向系統(tǒng)而言，方位角定義為陣列法線方向到輻射源波達方向的夾角。假設(shè)陣列基線方向與X軸方向一致，如圖1所示。

圖1 陣列布局示意圖

每個獨立的觀測量一般均是受測量噪聲污染后的與目標(biāo)位置有關(guān)的函數(shù)：

其中，hm(XE)為目標(biāo)對應(yīng)于測量zm無噪時的“響應(yīng)”，其形式由式（4）確定，而vm是觀測量zm的測量誤差，假定測量噪聲是零均值的，其協(xié)方差矩陣為：

設(shè)XE的先驗概率密度為p0(X)，則可定義目標(biāo)位置信息場為：

是觀測矢量zm與場內(nèi)點X處目標(biāo)響應(yīng)hm(X)的標(biāo)稱化距離（歐氏距離）。為一代價函數(shù)，而

2.2 代價函數(shù)的選取

對可能存在目標(biāo)的一個感興趣的區(qū)域，就某一觀測站而言，區(qū)域內(nèi)的每一點都可以得到相對于該觀測站的一個方位角，這些方位角組成一個集合，用B表示。對于觀測站測得的每一個方位角z而言，z∈B。B中一些方位角是與z離得比較“近”的，一些則離得比較“遠”。在對目標(biāo)進行定位的過程中，就需要對B中的方位角進行處理，使得與z離得比較“近”的方位角信息對定位結(jié)果的“貢獻”大，使與z離得比較“遠”的方位角信息對定位結(jié)果的“貢獻”小。

設(shè)方位角測量誤差的均值為0，標(biāo)準差為σθ。對某一觀測站得到的每一個方位角z，式（8）可以寫為：

其中||???表示取絕對值，且

h(X)表示區(qū)域X內(nèi)任意一點(x，y)對應(yīng)于觀測站(xp，yp)的方位角。則代價函數(shù)可以定義如下：

其中，γ為一門限。

由于式（10）代價函數(shù)的選取，在一定程度上突出了有價值信息對定位結(jié)果的“貢獻”，對不可靠的或者價值小的信息的“貢獻”進行了弱化。

3 基于DOA測量的位置信息場定位精度分析

位置XE的估計是使式（7）最大的估計，結(jié)合代價函數(shù)，在目標(biāo)附近區(qū)域內(nèi)，可以推得，使式（7）最大的估計也是使

取最小值的估計。

其中，當(dāng)XE=(xE，yE)T時：

作近似處理：

且假定：

再考慮到zm=hm(XE)+vm，由式（12）可得：

對式（15）兩邊求均值，可得：

對式（15）兩邊求協(xié)方差矩陣，可得：

其中PXE為定位誤差協(xié)方差矩陣，化簡式（17）可得：

令最終計算得到的定位誤差協(xié)方差矩陣為：

3.1 橢圓概率誤差表示法

根據(jù)協(xié)方差矩陣PXE，可以確定定位誤差橢圓關(guān)于x，?y的方程為：

其中，D2=-2 ln(1-P)，通常將P=0.5所對應(yīng)的橢圓稱為橢圓概率誤差；xE、?yE為目標(biāo)輻射源坐標(biāo)值。定位誤差橢圓的半長軸a、半短軸b和長軸方向θ的計算參見文獻[10]。

3.2 定位誤差幾何分布表示法

根據(jù)式（19），則定位誤差的幾何分布（Geometric Dilution of Precision，GDOP）可表示為：

根據(jù)GDOP分布圖及測向定位原理可以得出，誤差最小的定位方向應(yīng)位于基線的法線方向，下面的仿真實驗將會驗證這一點。

4 仿真實驗

假設(shè)三個觀測站對輻射源進行測向定位，觀測站1的位置為(-30 km，3 km)，得到關(guān)于輻射源的方位角為29.8°和47.2°；觀測站2的位置為(0 km，3 km)，得到關(guān)于輻射源的方位角為8.3°和27.5°；觀測站3的位置為(30 km，3 km)，得到關(guān)于輻射源的方位角為－17.9°和0.5°，稱相鄰兩個觀測站的距離為基線長度，此時基線長度l為30 km。圖2（a）是利用觀測站得到的方位角畫出的測向定位線，其中“o”表示觀測站的位置，圖2（b）是運用位置信息定位的效果圖，可以確定目標(biāo)的個數(shù)為2，目標(biāo)的位置分別為(9 km，70 km)和(30 km，59 km)。

圖2 位置信息場定位

（1）測向精度對定位精度的影響

觀測站的位置同上不變，圖3繪制了測向精度σθ分別為1°和0.5°時的定位精度分布圖。圖3中（a）采用橢圓概率誤差表示法，（b）采用定位誤差幾何分布表示法，分別描繪了觀測站周圍100 km內(nèi)的定位誤差分布情況。從圖中可以看出：隨著測向精度提高，定位精度明顯提高，測向精度對定位精度產(chǎn)生了主要的影響。

（2）基線長度對定位精度的影響

設(shè)觀測站1的橫坐標(biāo)為分別為－50 km和－70 km，觀測站2的位置分別為50 km和70 km，其他條件不變，即考慮基線長度l為50 km和70 km的情況；測向精度σθ為1°。定位精度分布如圖4所示。結(jié)合圖3和圖4可以看出：隨著基線長度的增長，定位精度明顯提高，基線長度對定位精度產(chǎn)生了主要的影響。

5 總結(jié)

針對不可區(qū)分的多個同類輻射源定位的問題，由于很難分辨某個測量參數(shù)是關(guān)于某個確定目標(biāo)的，現(xiàn)有的方法也就無法獲得輻射源目標(biāo)的位置信息；而位置信息場定位法可以對不可區(qū)分的多個同類輻射源定位，同時確定目標(biāo)數(shù)目和多個目標(biāo)的位置。在此基礎(chǔ)上，對基于DOA測量的位置信息場定位方法進行精度分析，仿真實驗運用橢圓概率誤差和定位誤差幾何分布來描述定位精度。結(jié)合理論指導(dǎo)與仿真實驗，說明了位置信息場定位法是一種有效的多目標(biāo)定位方法。得出的若干結(jié)論，為該類系統(tǒng)的技術(shù)作戰(zhàn)運用提供了理論支持。

圖3 測向精度單獨對定位精度的影響

圖4 基線長度單獨對定位精度的影響

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