金屬鍛造重復過程的輸出反饋控制

齊跡，房漢雄

（齊齊哈爾大學通信與電子工程學院，黑龍江齊齊哈爾161006）

重復過程是具有較強的工程實際背景的二維線性系統(tǒng)[1]，在煤礦開采，金屬鍛造中已有重要的應(yīng)用[2]，重復過程的控制理論已經(jīng)成為迭代學習控制算法分析和綜合的一個重要基礎(chǔ)[3]。該過程的特性在于它是由一系列重復動作構(gòu)成，這種動作在一個固定的有限時間內(nèi)動態(tài)進行，并且每一次動作的輸出結(jié)果又作用于下一次動作，對下一次動作的輸出結(jié)果產(chǎn)生影響。

線性重復過程具有二維系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)，但連續(xù)線性重復過程在一個方向上是離散的，在另一個方向上卻是連續(xù)時間的。此外，重復過程每一次動作在有限時間內(nèi)動態(tài)進行的特點又區(qū)別于一般的二維線性系統(tǒng)，因而不能直接利用標準系統(tǒng)理論來解決線性重復過程的控制問題。為了解決這個問題，Rogers等提出了線性重復過程的穩(wěn)定性理論[4]。近年來，基于線性矩陣不等式方法[5]對重復過程進行研究出現(xiàn)了一些有益的成果，文獻[6]研究了其穩(wěn)定性問題；文獻[7-8]研究了其H∞控制問題；文獻[9]研究了其L2-L∞濾波問題；文獻[10]研究了其H∞模型降階問題。

在許多實際問題中，系統(tǒng)的狀態(tài)往往是不能直接測量的，因此，用輸出反饋來控制線性重復過程，以使得閉環(huán)過程穩(wěn)定更具有實際意義。文中應(yīng)用Lyapunov函數(shù)及線性矩陣不等式技術(shù)研究了金屬鍛造重復過程的輸出反饋控制問題，給出了輸出反饋控制器設(shè)計方法，得出了控制器存在的充分條件，并將控制器的設(shè)計轉(zhuǎn)化為一個凸優(yōu)化的求解問題。文章最后以數(shù)值算例驗證了所提出的輸出反饋控制設(shè)計方法的可行性。

1 金屬鍛造過程的建模

金屬鍛造是非常普通的工業(yè)過程，工件是在通過兩個輥碎機之后發(fā)生變形的，其簡單的示意圖如圖1所示。其中工件從左向右運動，工件左邊的厚度用yk-1（t），再經(jīng)過鍛壓之后其厚度變?yōu)閥k（t）。

圖1 金屬鍛造過程Fig.1 Metal rolling process

圖2給出了一個較簡單的金屬鍛造的線性模型，圖中各個部分說明如下：

Fm：外部電機施加的壓力；Fs：彈簧產(chǎn)生的力；M：吊錘的質(zhì)量；λ1：彈簧系數(shù)；λ2：金屬壓條的強度系數(shù)；金屬壓條與鍛造機械的組合強度系數(shù)

圖2 金屬鍛造的簡單線性模型Fig.2 Simple linear model of metal rolling process

從圖2可以建立如下動力學方程：

其中y（t）代表吊錘下降的長度（如圖2所示）。

基于（1）-（3），可以建立如下的動態(tài)方程：

對式（4）進行適當?shù)碾x散化，并設(shè)設(shè)采樣周期為T，便可得到

我們設(shè)t=pT，yk+1（p）=yk+1，式（5）可以轉(zhuǎn)化為

其中xk（p）=[yk（p-1）y（p-2）yk-1（p-1）yk-1（p-2）]T，uk（p）=FM（p）

B1=a3，B2=b

可以看出，方程（7）為標準的離散線性重復過程的動態(tài)方程，其中xk（p）為過程的狀態(tài)向量，yk（p）為過程的剖面向量，uk（p）為控制輸入。

2 輸出反饋控制器的設(shè)計

針對離散線性重復過程（7）設(shè)計輸出反饋控制器需要滿足兩個條件：

1）閉環(huán)過程（13）沿通道穩(wěn)定問題。

2）設(shè)計控制器，推導控制器存在的充分條件，求出控制器參數(shù)矩陣，使閉環(huán)過程（13）沿通道穩(wěn)定。

現(xiàn)在我們要設(shè)計適當?shù)目刂破?，使得閉環(huán)過程沿通道穩(wěn)定。設(shè)計如下的輸出反饋控制器：

其中：K1，K2為待設(shè)計的輸出反饋控制器的增益矩陣。

將（8）代入（7）式得：

令：

此時閉環(huán)過程的方程為：

重寫（10）得：

2.1 閉環(huán)過程（11）的穩(wěn)定性

本節(jié)我們分析閉環(huán)過程（11）的穩(wěn)定性。下面的定理將給出閉環(huán)過程（11）沿通道穩(wěn)定的充分條件。

定理1閉環(huán)過程（11）沿通道穩(wěn)定的充分條件是存在矩陣P＞0，Q＞0，使得如下線性矩陣不等式組成立：

證明：建立閉環(huán)過程（11）沿通道穩(wěn)定的條件。選取如下的Lyapunov函數(shù)：

其中：

這里P＞0和Q＞0為待定的矩陣，考慮如下的差分：

沿閉環(huán)過程Σ可得：

因此，

其中：ηk（p）=[xTk（p）yT

k-1（p）]T，

利用Schur補引理，LMI（15）式暗示Π1＜0，所以對所有的有ΔV（k，p）＜0，根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性定理可知，閉環(huán)過程（11）沿通道是穩(wěn)定的。定理1得證。

2.2 控制器求解

本節(jié)我們給出金屬鍛造重復過程的輸出反饋控制器的求解方法。

定理2考慮離散線性重復過程（7），則存在形如（8）式的控制器，使閉環(huán)過程（11）沿通道穩(wěn)定的充分條件為存在矩陣變量R＞0，S＞0，X1＞0和X2＞0，使如下線性矩陣不等式成立：

證明：用矩陣diag{r-1，S-1，R-1，S-1}對式（15）進行全等變換，并令P=R-1，Q=S-1得

考慮式（12），同時令X1=LR，X2=K贊2S，BP=PB，可以得到（20）式，因此，式（13）是保證閉環(huán)過程（11）沿通道穩(wěn)定的輸出反饋控制器。定理2得證。

3 仿真研究

這里，系統(tǒng)的參數(shù)給定為λ1=600，λ2=2000，M=100，T=0.1，從而可計算出λ=461.54以及如下的矩陣：

因此，通過求解線性矩陣不等式（20）可得：

考慮式（13），進而可以求得

4 結(jié)束語

本章對金屬鍛造過程進行離散線性重復過程的建模，并對其進行輸出反饋控制器的設(shè)計，最后用數(shù)字軟件進行求解，結(jié)果表明該設(shè)計合理。從而說明重復過程理論具有較強的實際應(yīng)用背景，為工程實際提供了較好的借鑒方法。

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