靜電場中電場強度的多極展開

崔明，崔元順

(1.淮陰工學院 人事處，江蘇 淮安 223003;2.淮陰師范學院 物理與電子電氣工程學院，江蘇 淮安 223300)

0 引言

電磁場中的多極展開方法與內容主要涉及靜電場的電勢、穩(wěn)恒磁場的磁矢勢及輻射場的推遲勢等方面，無論是在理論物理研究，還是在工程技術應用中都具有十分重要的地位，例如，在原子結構與光譜學中，原子核與外場相互作用能級或光譜的超精細結構需要考慮原子核的高階極矩表示;在分子物理中，單個一氧化碳分子、氟化氫分子是純粹的偶極分子代表，二氧化碳即是典型的純粹線形四極分子;在非線性光學中，需要考慮電偶極矩乃至電多極矩對外加周期性變化電磁場的非線性響應特性;在無線電物理中，各種利用微波技術的天線發(fā)射與接收、電磁散射與逆散射、測井技術、探礦等等領域得到廣泛應用［1－8］。已有文獻表明［9－11］，在涉及電磁場中多極展開問題時幾乎都是采用勢函數(shù)的辦法，本文不同于現(xiàn)有文獻，試圖另辟蹊徑，就靜電場問題，直接從電場強度矢量的疊加原理出發(fā)，著力于研究小區(qū)域中電荷分布在遠區(qū)產生電場強度的多極展開過程，給出一些新的公式與結果，為相關場合下的需要提供參考。

1 電場強度的多極展開

在真空情況下，當空間有限區(qū)域V中分布連續(xù)電荷ρ(r')時，由此電荷在場點r處產生的電場強度為［9］

其中，體積分遍及電荷分布的區(qū)域，場源 r'到場點 r的位置矢量為 R=r－r'，而距離R=，如圖1所示。

依據(jù)(1)式中被積函數(shù)形式，對函數(shù)r/R3的每個直角坐標分量分別按照(2)式進行處理。令

圖1 物理模型

即

其中，兩點“∶”代表并矢間的二次內積。對于(3)式中的第二部分，因為2r=er、2xi=exi，有

故矢量和為

其實，利用關系r'·(2φ)=(r'·2)φ，(3)式中的第二部分也可以直接由下式給出

同樣地，對于(3)式中更高階的第三部分，仿效上述運算有

化合物 3B08：質譜 ESI／MS（negative mode），m／z 273，［M－H］－。 1H NMR（500 MHz，CDCl3，TMS），δ為8.59（s，1H），8.34（d，J＝8.0 Hz，1H），8.16（d，J＝8.0 Hz，1H），7.64（t，J＝8.0 Hz，1H），7.31～7.34（m，2H），7.03（t，J＝8.5 Hz，2H），6.75（br.s，1H，NH），4.62（d，J＝6.0 Hz，2H）。

綜合以上計算，給出對應于多元函數(shù)標量展開(2)式的矢量展開式為

將(7)式代入(1)式，可得電場強度的展開結果為

其中

2 結果分析

現(xiàn)在對(8)式中展開結果的各主要項進行分析與討論，并闡述其物理意義。

若定義體系的電偶極矩矢量為

(14)式即置于坐標原點的電偶極矩P在遠區(qū)產生的靜電場強度。此外，因為，故可以將(14)式改寫為

依據(jù)E=－2φ關系，不難給出該電偶極子在遠區(qū)產生的靜電勢

對于(11)式，若定義體系的電四極矩并矢為

故(18)式可以改寫為

借此可以給出該電四極矩產生的靜電勢為

將(16)式、(20)式等關系與采用電勢展開方法所給出的表達式比較，可見結果完全一致［9］，表明上述的計算過程是可靠的。

3 結束語

本文不同于電勢函數(shù)的方法，直接以電場強度的積分表達式(1)式作為出發(fā)點，研究小區(qū)域中電荷分布在遠區(qū)產生電場強度的多極展開方法，給出其處理過程與技巧。除了(9)式之外，用各階極矩描述電荷分布偏離球對稱的程度，用置于坐標原點的各階極矩產生的電場強度逐步逼近其真實的結果。借助于常見的極矩定義(13)、(17)式，直接給出電場強度矢量的表示(14)、(18)式。此外，為了考察計算的可靠性，便于同電勢展開結果作比較，文中還給出了與電場強度相對應的電勢表示式。文中對展開式每項代表的物理意義進行了分析探討，對于相關的教學及應用具有一定的參考價值.

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